中考数学试题分类汇编解析36相似三角形.docx
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中考数学试题分类汇编解析36相似三角形
2018中考数学试题分类汇编:
考点36相似三角形
一.选择题(共28小题)
1.(2018•重庆)制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A.360元B.720元C.1080元D.2160元
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可.
【解答】解:
3m×2m=6m2,
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2,
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,
则面积扩大为原来的9倍,
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2,
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2,
故选:
C.
2.(2018•玉林)两三角形的相似比是2:
3,则其面积之比是( )
A.:
B.2:
3C.4:
9D.8:
27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:
∵两三角形的相似比是2:
3,
∴其面积之比是4:
9,
故选:
C.
3.(2018•重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为( )
A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.
【解答】解:
设另一个三角形的最长边长为xcm,
根据题意,得:
=,
解得:
x=4.5,
即另一个三角形的最长边长为4.5cm,
故选:
C.
4.(2018•内江)已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:
3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为( )
A.1:
1B.1:
3C.1:
6D.1:
9
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.
【解答】解:
已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:
3,
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1:
9,
故选:
D.
5.(2018•铜仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为( )
A.32B.8C.4D.16
【分析】由△ABC∽△DEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得△ABC与△DEF的面积比为4,又由△ABC的面积为16,即可求得△DEF的面积.
【解答】解:
∵△ABC∽△DEF,相似比为2,
∴△ABC与△DEF的面积比为4,
∵△ABC的面积为16,
∴△DEF的面积为:
16×=4.
故选:
C.
6.(2017•重庆)已知△ABC∽△DEF,且相似比为1:
2,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.1:
4B.4:
1C.1:
2D.2:
1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:
∵△ABC∽△DEF,且相似比为1:
2,
∴△ABC与△DEF的面积比为1:
4,
故选:
A.
7.(2018•临安区)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A.B.C.D.
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.
【解答】解:
由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,
A、C、D图形中的钝角都不等于135°,
由勾股定理得,BC=,AC=2,
对应的图形B中的边长分别为1和,
∵=,
∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,
故选:
B.
8.(2018•广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A.B.C.D.
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点,可得出DE为△ABC的中位线,进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比.
【解答】解:
∵点D、E分别为边AB、AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=()2=.
故选:
C.
9.(2018•自贡)如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为( )
A.8B.12C.14D.16
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.
【解答】解:
∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,
∴△ADE∽△ABC,
∵=,
∴=,
∵△ADE的面积为4,
∴△ABC的面积为:
16,
故选:
D.
10.(2018•崇明县一模)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:
EC=3:
1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A.3:
4B.9:
16C.9:
1D.3:
1
【分析】可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,
∴△DFE∽△BFA,
∵DE:
EC=3:
1,
∴DE:
DC=3:
4,
∴DE:
AB=3:
4,
∴S△DFE:
S△BFA=9:
16.
故选:
B.
11.(2018•随州)如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为( )
A.1B.C.1D.
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED,可得出=,结合BD=AB﹣AD即可求出的值,此题得解.
【解答】解:
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴()2=.
∵S△ADE=S四边形BCED,
∴=,
∴===﹣1.
故选:
C.
12.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是( )
A.=B.=C.=D.=
【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似三角形的性质即可找出==,此题得解.
【解答】解:
∵GE∥BD,GF∥AC,
∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,
∴=,=,
∴==.
故选:
D.
13.(2018•遵义)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为( )
A.5B.4C.3D.2
【分析】先求出AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论.
【解答】解:
如图,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,
∴AC=5
过点D作DF⊥AC于F,
∴∠AFD=∠CBA,
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠ACB,
∴△ADF∽△CAB,
∴,
∴,
设DF=x,则AD=x,
在Rt△ABD中,BD==,
∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°,
∴△DEF∽△DBA,
∴,
∴,
∴x=2,
∴AD=x=2,
故选:
D.
14.(2018•扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:
①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是( )
A.①②③B.①C.①②D.②③
【分析】
(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证;
(2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD即可;
(3)2CB2转化为AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证.
【解答】解:
由已知:
AC=AB,AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选:
A.
15.(2018•贵港)如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=( )
A.16B.18C.20D.24
【分析】由EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值.
【解答】解:
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∵AB=3AE,
∴AE:
AB=1:
3,
∴S△AEF:
S△ABC=1:
9,
设S△AEF=x,
∵S四边形BCFE=16,
∴=,
解得:
x=2,
∴S△ABC=18,
故选:
B.
16.(2018•孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:
①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断;③证△ADF≌△BAH即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证;⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断.
【解答】解:
∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,
∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,
∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,
∴∠ADC=15°,故①正确;
∵AE⊥BD,即∠AED=90°,
∴∠DAE=45°,
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,
∴∠AGF=75°,
由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误;
记AH与CD的交点为P,
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°,
则∠BAH=∠ADC=15°,
在△ADF和△BAH中,
∵,
∴△ADF≌△BAH(ASA),
∴DF=AH,故③正确;
∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,
∴△AFG∽△CBG,故④正确;
在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x,
设EF=a,
∵△ADF≌△BAH,
∴BH=AF=2x,
△ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,
∴BE=AE=AF+EF=a+2x,
∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,
∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,
∴△PAF∽△EAH,
∴=,即=,
整
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