高中数学必修4三角函数知识点归纳总结经典Word文件下载.docx

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jijt

k=0,-

42

所以一在第一、1

6、弧度制：

弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.

兀180°

7、角度与弧度的转化：

10.01745157.30=5718

180兀

8、角度与弧度对应表

角度

f

O

30

45

60

901

120

135

150

180

360

弧度

2兀

3兀

竺

7T

6

9、弧长与面积计算公式

弧长：

dR;

面积：

R2,注意：

这里的：

•均为弧度制

2、三角函数值对应表

度

0“

30c

45：

60“

90

120c

135s

150s

180c

270*

31

n

2n

5兀

ji

sin。

1

至

鱼

旻

42

cos«

返

卫

-1

tana

乜

无

主

3、三角函数在各象限中的符号

口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为全stc”）

4、三角函数线

tan：

/二塑二a!

=a「

xOMOA

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

5、同角三角函数基本关系式

sin•工"

cos1

sina口‘

tantancot：

=1

cos：

（sinj】cosj）12sin_：

icos：

（sin：

-cosj）1-2sin二cos：

（sin爲'

sin：

-cos：

•cos〉,三式之间可以互相表示）

6、诱导公式

m+a

奇变偶不变，符号看象限（所谓奇偶指的是2一中整数n的奇偶性，把〉看作锐

角）

①•公式

（一）：

〉与：

」2k：

k•Z

sin（工112k二）二sin：

；

cos（="

2^：

）二cos：

tan（x'

2k二）二tan：

2•公式

（二）：

〉与-：

'

sin「--sin：

cos「-cos；

tan--tan：

3•公式（三）：

〉与■:

■■

sin二：

--sin：

cos二：

--cos：

tan二；

-tan：

4•公式（四）：

〉与二-〉

sin■:

--■-sin：

cos二-：

--cos：

tan■:

--■--tan：

5•公式（五）：

〉与一•：

•

sincos二；

cossin二；

6.公式（六）：

_:

匚与一-.-.:

fn）fji

sin—_：

二cos、£

cos—一：

二sin、£

22

7.公式（七）

sin主*「cos：

cos空：

=sin：

；

2；

2；

8

.公式（八）

三、三角函数的图像与性质

1、将函数y=sinx的图象上所有的点，向左（右）平移|勒个单位长度，得到函数

y=sinx亠‘：

j的图象；

再将函数y=sinx」'

j的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）

到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y二sin■■:

-■:

的图象；

再将函数

co

y二sin「x川。

？

的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），

得到函数y=Asin「x亠门］的图象。

2、函数y=Asin'

-x^'

S.A0^0的性质：

一2兀1⑷川

①振幅：

A;

②周期：

T;

③频率：

f;

④相位：

■'

X—；

⑤初相：

蛍T2兀

\

3、周期函数：

一般地，对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足fx，T=fx，那么函数fx就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.

4、⑴y=Asin「x对称轴：

令x—，得x=2

„k兀一①kn（p

对称中心：

•*；

帰=k二，得x,（,0）（kZ）;

©

3

kj[_cp

⑵y=Acos（x）对称轴：

令x:

，得x=

31j,.3T

k兀十一一①kn+—一®

曲=k,得x2—,（2一,0）（匕Z）；

2：

.■'

.■：

.■

⑶周期公式：

A丸）.

②函数y=Atan®

x+°

啲周期T=二（A、3、®

为常数，且A丸）.

5、三角函数的图像与性质表格

函「

y=sinx

y=cosx

y=tanx

性质、

数

Jy

J

y

L

l>

.iiI

9

j\

图

/

»

J\;

J\->

i\k22Ji

*V/

您5

\!

y*

（j

X/孑

像

*

[

i

h

疋

义

R

（〈XI

X式如■

51十一,ke

1z、

域

值

1-1,1]

最

当

x

=2k^+—（k€Z）

、

当x

=2k兀（k^Z）时，

时，ymax=1；

=1；

当x=2k兀+兀

RFT-rl曰./古rLt十曰.十[、/古

ymax

既尢最大值也无最小值

TT

=2k2（“Z）

（k-

Z）时，ymin=T•

时，『min=-1-

周

期

性

奇

偶

奇函数

偶函数

单

调

在|一=+2k兀，=+2kn：

l

122」（k乏Z）上是增函数；

亠「兀3兀

在；

|一+2"

—+2kn

122」

（k€z）上是减函数.

在［一兀十2kir,2k兀】

（k乏Z）

上是增函数；

在I2k兀，2k兀+兀］（keZ）

上是减函数.

亠『JIJI

在k兀——,kn+—

122丿

（k乏Z）上是增函数.

对

称

对称中心（k.OXk€Z）

对称轴x=k兀+》（k€z）

对称中心

f兀）

k兀+—,0gZ）

12丿

对称轴x=k兀（k乏Z）

fkqX-|

对称中心1—,0l（k^Z）

12/:

无对称轴

6.五点法作y二Asin「'

x'

的简图，设t=x，取0、一、二、—、2来求相

22

应x的值以及对应的y值再描点作图

7.y=Asin（「x」：

）的的图像

苗尸山心+卩）

横坐标伸长（0<

d）<

D或缩短（ty>

1）?

|J原来的二倍

纵坐标不变

纵坐标伸长（AA1）或缩短（O<

A<

1）到原来的A倍V=A

r槿坐标不变”

第二种变换：

1

•初坐标伸长（0<

fi）<

l）或缩短⑷>

1）到原来的石倍廿一品

=sinx匚►y-smajx

图象向左（倂>

0）或

一,y=sin（@tr+e）

向右（卩<

0）平移旦个单位

横坐标不变

纵坐标伸长〔41）或缩短（O<

1）到原来的A倍v二/衣班莎+卩）

8.函数的变换：

（1）函数的平移变换

1目二f（x）—y=f（x-a）（a0）将y=f（x）图像沿x轴向左（右）平移a个单位

（左加右减）

2y=f（x）、、二f（x）-b（b0）将y=f（x）图像沿y轴向上（下）平移b个单位

（上加下减）

（2）函数的伸缩变换:

1y=f（x）、丫二f（wx）（w0）将y=f（x）图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的

1一

倍（w1缩短，0：

w:

1伸长）

w

2y二f（x）>

y=Af（x）（A0）将y二f（x）图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来

的A倍（A1伸长，0：

A：

1缩短）

（3）函数的对称变换

①y=f（x）'

y=f（-x））将y=f（x）图像绕y轴翻折180°

整体翻折）

（对三角函数来说：

图像关于x轴对称）

2y二f（x）—；

y二-f（x）将y二f（X）图像绕x轴翻折180°

图像关于y轴对称）

3y=f（x）ty=f（x）将y=f（x）图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴

翻折到左侧（偶函数局部翻折）

4y=f（x）—；

y=f（x）保留y二f（x）在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折

上去（局部翻动）

四、三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

（1）sin（二，■-'

）〜n：

cos：

sin：

cos:

（2）sin（；

、一：

）=sin：

cos；

-sin：

cos-

⑶cos（'

■）二cos：

cos-sin：

sin:

（4）cos（）二cos：

cos：

sin：

sin-

tantanP

（5）tan（二亠P）tan=tan--tan「卩i1tantan

1-tan^tanP

tantanP

（6）tan（二」■■■■）tan：

-「tan：

二taIT1tan：

tan:

1+tanatanP

⑺asin「bcos〉=••.a2•b2sin（「'

）（其中，辅助角「所在象限由点（a,b）所在的象限

决定⑸宀島,宀命,3吩，该法也叫合一变形）.

（8）

=tan（—）

1-tan：

1tan^

2.二倍角公式

（1）sin2a=2sinacosa

2222

（2）

cos2a=cosa-sina=1-2sina=2cosa-1

（3）

3.降幕公式：

21cos2a

cosa二

（1）

4.升幕公式

.21-cos2a

（2）sina二

2a

（2）1-cos：

=2sin—2

（4）1=sin二“cos:

2口

（1）1cos：

=2cos—

（3）1二sin：

=（sincos—）

aa

（5）sin：

-2sincos—

g

5.半角公式（符号的选择由一所在的象限确定）

（1）

sin—cosa

cos旦

1cosa

丄a

-cosa

sina

1-cosa

tan—二

cosa

1-tan—

（2）COS：

=—

1tan—

6.万能公式

（）sin:

2tan—

2tanl

7.三角变换：

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活

运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

角的变换：

角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加

删除角的恒等变形

函数名称变换：

三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。

采用公式：

asin日+bcos=Ja1+b2sin®

其中cos—__asi2b

J产書’w2+b2

=sinx.3cosx

j22*（.3）2

sinx:

——

J12+（V3）2

cosx）

TlTL

xcos—cosxsin—）

33

（3）注意“凑角”

cosf匸）=?

（4）常数代换：

在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数

别是常数1”可转化为sin2a+cos2a”

（5）幕的变换:

对次数较高的三角函数式一般采用降幕处理，有时需要升幕例如：

.1cosa常用升幕化为有理式。

（6）公式变形：

三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。

（7）结构变化：

在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移

、分解因式、配方

项，或变乘为除，或求差等等。

在形式上有时需要和差与积的互化

等。

（8）消元法：

如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法

（9）思路变换:

如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去

选择更合适、简捷的方法去解题目。

（10）利用方程思想解三角函数。

如对于以下三个式子：

sina■cosa，sinacosa

sina-cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。

8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：

1y=asinxb（或acosxb）型：

利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论

2y=asinxbcosx型：

弓I进辅助角化成y二.a2•b2sin（x•「）再利用有界性

3y=asin2x+bsinx+c型：

配方后求二次函数的最值,应注意sinx兰1的约束

4y=_b型：

反解出sinx,化归为sinx兰1解决

csinx+d

⑥y=a（sinx'

cosx）'

bsinxcosx'

c型：

常用到换元法：

t=sinx，cosx,但须

注意t的取值范围：

t<

42。

.ABCsincos—

9•三角形中常用的关系：

sinA二sin（BC）,

sin2A=「sin2（BC）,

cosA--cos（BC）,coQA二coQ（BC）

常见数据

sin15二cos75二一^62,sin75二cos15二一62

44

tan15"

=2-、..3,tan75‘=2.、3,