导数的概念几何意义及其运算Word下载.docx
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(一)基础知识回顾:
1.导数的定义:
函数y=f(x)在x0处的瞬时变化率
lim型=lim
f(x0+Ax)-f(x0).
称为函数y=f(x)在X=x0处的导数,记作f/(X0)或
线的斜率。
基础练习:
2.设曲线y=ax
2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=()
A.1
D.-1
3.设P为曲线C:
y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范
围为[0引,则点P横坐标的取值范围为()
1
4.直线y=-x+b是曲线y=1nx(x>
0)的一条切线,则实数b=
5.设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()
X—1
A.2
C.-1D.—2
2
X—y+1=0
(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)
9、如果质点A按规律S=2t3运动,则在t=2秒时的瞬时速度为()
(A)6(B)8(C)16(D)24
10、(2005重庆理科)曲线y=x3在点(a,a3)(aH0)处的切线与x轴、直线的三角形的面积为
答案
D7.(A)
&
解:
y'
=2x+1,设切点坐标为(X0,y0),则切线的斜率为2X0+1,且yorXo+XoH
于是切线方程为y—xo—Xo—1=(2xo+1)(x—X0),因为点(一1,0)在切线上,可解得
cb1
2a=—
22
+b7
a+—:
=—,
44
又f'
(X)=a+右,
X
Ia=1,3
解得2故f(X)=x—-
b=3.X
函数的单调性、极值、最值与导数
1函数单调性的充分条件:
函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
若f'
(X)>
0,则函数y=f(x)在(a,b)内单调递增;
若f'
(x)v0,则在(a,b)内单调递减.
2、函数单调性的必要条件:
若y=f(x)在(a,b)内单调递增,则f'
(x)>
0;
若在(a,b)内单调递减,则f'
(x)<
0.
3、函数单调区间的求法:
(注意单调区间的表达)
首先,确定函数y=f(x)的定义域;
其次,求f'
(X);
最后,在定义域中解不等式
f(X)A0得增区间,解不等式f'
(X)<
0得减区间.
1极值的概念:
设函数y=f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有
f(x)Cf(x0)(f(X)>
f),我们就说f(x0)是函数f(X)的一个极大(小)值,记作
y极大值=f(X0Xy极小值=f(x。
》,把x0点叫做函数的极大(小)值点
特别地,若函数y=f(X)可导,f'
(Xo)=0,而且在点X=x0附近的左侧
f'
(x):
>
0(厂(x)v0),右侧厂(x)<
0(f'
0),则称f(X0)是函数f(x)的一个极
大(小)值.
2、求可导函数极值的步骤:
①确定函数的定义域;
②求导数f'
(x卜③解方程f'
(x)=0:
④当「(兀)=0时,
(1)如果在x0附近的左侧f'
0,右侧f'
(x)vO,那么f(x0)是极大值;
(2)如果
在x0附近的左侧f'
(x):
0,那么f(x0)是极小值.
3、”f'
(x0)=0”是”x0是函数极值点.”的必要不充分条件.
4、函数最值的概念:
函数y=f(x)在[a,bI上所有点处最大(小)的函数值,称为y=f(x)的最大(小)值.
5、函数最值的判断:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a卜f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
6、极值与最值的区别与联系:
(1)函数极值是局部性质,最值是整体性质;
也可能不存在;
(2)函数在定义区间上最大、最小值最多各有一个,但极值可能不止一个,
基础练习:
1.(2008广东文)设a壬R,若函数
x
y=e+ax,x亡R有大于零的极值点,则(
11
a>
—D.a<
--
A.a<
—1B.aATC.
ee
/A、,兀3兀__
(A)(—,—)(B)(ji,2兀)(C)(——,一)(D)(2;
!
3兀)
2222
4.(2007广东文)函数f(x)=xlnx(x>
0)的单调递增区间是
3
5.(2007江苏)已知函数f(x)=x-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为
M,m,则M-m=.
6、已知函数f(x)=-X3+3x2+9x+a.(I)求f(x)的单调减区间;
(n)若f(x)在区间[—2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
322
7、已知函数f(x)=x+ax+bx+c在x=-—与x=1时都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对X引-1,2],不等式f(x)<
:
c2恒成立,求c的取值范围.
8.(2008北京文)已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(bH0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.
(I)求a,c的值;
(n)求函数f(x)的单调区间.
2]上的最大值和最小值;
上都是递增的,求a的取值范围。
9.(2004浙江文)已知a为实数,f(X)=(X2—4)(x-a)(I)求导数f\x);
(n)若f'
(—1)=0,求f(X)在[-2,
32
f(X)=X-x-x+a.(I)求f(x)的极值;
(川)若f(x)在(-8,-2]和[2,+s)
10.(2005全国卷II文科)设a为实数,函数
(II)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
函数的单调性、极值、最值与导数(答案)
1.A;
2•A;
3.B;
44〕;
5.32
Le,丿—
6、解:
(I)f(X)=-3x2+6x+9.令f'
0,解得x<
-1或X>
3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-或,_1),(3,+处).
(II)因为f(—2)=8+12-18+a=2+a,f
(2)=d+12+18+a=22+a,
所以f
(2)Af(-2).因为在(—1,3)上f'
0,所以f(x)在[—1,2]上单调递
增,又由于f(x)在[—2,—1]上单调递减,因此f
(2)和f(—1)分别是f(x)在区间[—2,
2]上的最大值和最小值.于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=—X3+3x2+9X-2.因此f(—1)=1+3—9—2=-7,
即函数f(x)在区间[—2,2]上的最小值为一7.
7、解:
(1)f(X)=X3+ax2+bx+c,厂(X)=3x2+2ax+b
由f‘(—-)=12—-a+b=0,厂
(1)=3+2a+b=0得a=—-,b=—2
3932
f(x)=3x2—X—2=(3x+2)(X—1),函数f(x)的单调区间如下表:
(-比,-2)
—2
(—-,1)
(1,+比)
f(X)
+
一
f(X)
极大值
极小值
所以函数f(X)的递增区间是(一
处,一一)与(1,+3C)。
递减区间是(一一,1)
33
222
X忘〔一1,2〕,当x=—上时,f(X)=二+c
327
f
(2)=2+c为最大值。
(2)f(X)=X3—lx2—2x+c,
为极大值,而f
(2)=2+c,则要使f(X)<
c2(〔一1,2〕)恒成立,只需cSf
(2)=2+c解得cc—1或c>
8.解:
(I)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数,所以,对任意的x€R,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.
323232
又f(x)=x+ax+3bx+c,所以-x+ax-3bx+c-2=-x-ax-3bx-c+2.
a=-a,
所以解得a=0,c=2.
c—2=—c+2.
(n)由(I)得f(x)=x3+3bx+2.所以f'
(x)=3x2+3b(bM0).
当bv0时,由f'
(x)=0得x=±
匸6.
X变化时,f'
(X)的变化情况如下表:
(-8,-J-b)
-£
—b
(-J-b,U-b)
J-b
(J-b,+8)
(X)
-
所以,当bv0时,函数f(X)在(4,-J=b)上单调递增,在(r匚b,口)上单调递减,在(J—b,+8)上单调递增.
当b>
0时,f'
(x)>
0所以函数f(X)在(-8,+8)上单调递增.
9.解:
(I)由原式得f(X)=X3-ax2-4x+4a,•••f(x)=3x2-2ax-4.
(n)由f'
(—1)=0得a=—,此时有f(X)=(x2-4)(x-—),f'
(X)=3x2-x-4.
22
4
由f'
(一1)=0得X=—或x=-1,
又f(4)=-|7,f(-1)=2,f(-2)=0,f
(2)=0,
3272
950
所以f(x)在[--2,2]上的最大值为—,最小值为-——.
227
(0,--4)的抛物线,由条件得
(川)解法一:
「(x)=3x2—2ax—4的图象为开口向上且过点
即中a8>
0•---2<
a<
2.
8-4a2
所以a的取值范围为[--2,2].
解法二:
令f'
(x)=0即3x2—2ax—4=0,由求根公式得:
Xi,2
所以f(x)=3x2—2ax—4.在(_oc,x1]和R,邑)上非负.由题意可知,当X<
2或X》22寸,f'
0,从而X1二2,X2<
2,
2+12<
a+6
va2+12丈a+6
即{r——一a6解不等式组得:
--2<
Na2+12<
6-a.
•••a的取值范围是卜-2,2].
10、【解】
(1)f(X)=3x2-2X-1,若f'
(x)=0,贝Ux=--,1
当x变化时,fTx),f(X)变化情况如下表:
(f-3)
(一才1)
(1,址)
f(x)
U
15
所以f(X)的极大值是f(——)=—+a,极小值是f
(1)=a—1.
327
f(x):
0,X取足够小的负数时,有f(x)<
0,所以曲.结合f(X)的单调性可知:
5
a巳二,———)时,它的极小值也小于0,因此曲线
27
(2)函数f(X)=X3-X2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.由此可知X取足够大的正数时,有线y=f(X)与X轴至少有一个交点
5f(X)的极大值上-+ac0,即
=f(x)与X轴仅有一个交点,它在(1,咼)上;
f(X)的极小值a—1>
0时,即a€(1,母)上时,它的极大值也小于0,y=f(x)与x轴
仅有一个交点,它在(=,_—)上.所以,当a忘(虫,一——)U(1,xc)时,曲线y=f(X)与X
轴仅有一个交点.
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- 导数 概念 几何 意义 及其 运算