导数练习题及答案Word格式.docx
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+2+3.由f(x)在x=—3时取得极值,
即f'
(—3)=0,即27-6a+3=0,二a=5.
4.函数y=的大致图象为()
解析函数的图象关于x=—1对称,排除A、C,当x>
—1时,y=—(x+1)为减函数,故选D.
5.二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f'
(x)
的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点所在象限是()
A.第一B.第二
C.第三D.第四
答案C
解析vy=f'
(x)的图象过第一、二、三象限,故二次函数y=f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧,又因为其图象过原点,故顶点在第三象限.
6.已知函数f(x)=—x3+2—x—1在(一X,+^)上是单调函数,
则实数a的取值范围是()
A.(—汽—)B.[-,]
C.(,+^)D.(—,)
答案B
解析f'
(x)=—3x2+2—1W0在(—g,+x)恒成立,△=4a2—12<
0?
—<
aw.
7.设f(x)=x,若f'
(X。
)=2,则xo等于()
A.e2B.2
D.e
(x)=x•(x)+(x)•x=1+x.
f'
(xo)=1+Xo=2,
二xo=1,
二Xo=e.
8.设函数f(x)=x—x(x>
o),则y=f(x)()
A.在区间(,1)(1,e)内均有零点
B.在区间(,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
解析由题意得f'
(x)=,令f'
(x)>
o得x>
3;
令f'
(x)vo得ovxv3;
f'
(x)=o得x=3,故知函数f(x)在区间(o,3)上为减函数,在区间(3,+^)为增函数,在点x=3处有极小值1—3vo;
又f
(1)=>
o,f(e)=—1vo,f()=+1>
o.
9.设函数f(x)=x3+x2+B,其中9€[o,],则导数f'
(1)
的取值范围是()A.[-2,2]B.[,]
C.[
,2]D
.[,2]
答案
D
解析
Vf'
(x)=x29
+x•9,
•f'
(1)=
9+9=
2(9+9)
=2(
9+).
•/0W
9w,
•w9+w
,
••W(9+)w1...W2(9+)w2.
10.方程2x3—6x2+7=0在(0,2)内根的个数有()
A.0B.1
C.2D.3
解析令f(x)=2x3—6x2+7,
•f'
(x)=6x2—12x=6x(x—2),
由f'
0得x>
2或xv0;
(x)v0得0vxv2;
又f(0)
=7>
0,
f
(2)=—1v0,•方程在(0,2)内只有一实根.
二、填空题
11.若曲线y=+x在点(1,k)处的切线平行于x轴,贝Uk=.答案—1
解析求导得y'
=k+,依题意k+1=0,
所以k=—1.
12.已知函数f(x)=—x3+在区间(一1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是.
答案a>
3
解析由题意应有f'
(x)=-3x2+a>
0,在区间(一1,1)上恒成立,贝Ua>
3x2,x€(-1,1)恒成立,故a>
3.
13.在平面直角坐标系中,点P在曲线C:
y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.
答案(2,15)
=3x2-10=2?
x=±
2,又点P在第二象限内,二x=-2,得点P的坐标为(—2,15)
14.函数f(x)=x3+2++a2,在x=1时有极值10,那么a,b的值分别为.
答案4,-11
+2+b,f'
(1)=2a+b+3=0,
f
(1)=a2+a+b+1=10,
,或,当a=-3时,x=1不是极值点,a,b的值分别为4,-11.
三、解答题
15.设<
a<
1,函数f(x)=x3-2+b(-1<
x<
1)的最大值为1,最小值为-,求常数a,b.
解令f'
(x)=3x2-3=0,
得x1=0,x2=a.
f(0)=b,f(a)=-+b,f(-1)=-1-a+b,
f
(1)=1-a+b
因为<
1,所以1-a<
0,
故最大值为f(0)=b=1,
所以f(x)的最小值为f(—1)=-1-a+b=-a,
所以一a=—,所以a=.
故a=,b=1.
16.若函数f(x)=4x3-+3在[-,]上是单调函数,则实数a的取值范围为多少?
解f'
(x)=12x2-a,若f(x)在[-,]上为单调增函数,则
(X)》0在[-,]上恒成立,
即12x2-a》0在[-,]上恒成立,
•••aw12x2在[-,]上恒成立,二aw(12x2)=0.
当a=0时,f'
(x)=12x2>
0恒成立(只有x=0时f'
(x)=0).
•a=0符合题意.
若f(x)在[-,]上为单调减函数,
则f'
(x)w0,在[-,]上恒成立,
即12x2-awo在[-,]上恒成立,
•a>
12x2在[-,]上恒成立,
•a》(12x2)=3.
当a=3时,f'
(x)=12x2-3=3(4x2-1)wo恒成立(且只有x
=±
时f'
因此,a的取值范围为awo或a>
17.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000n元(n为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
⑵讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100-2n=200n(元),底
面的总成本为160nr2元,
所以蓄水池的总成本为(200n+160nr2)元.
又根据题意200n+160nr2=12000n,
所以h=(300-4r2),
从而V(r)=nr2h=(300r—4r3).
因为r>
0,又由h>
0可得r<
5,
故函数V(r)的定义域为(0,5).
⑵因为V(r)=(300r—4r3),
故V(「)=(300—12r2).
令V(r)=0,解得r1=5,「2=—5(因为r2=—5不在定义域内,舍去).
当r€(0,5)时,V(r)>
0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r€(5,5)时,V(r)<
0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
17.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为:
y=x3—x+8(0vxw120).已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
解
(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时,
要耗油(x40-X40+8)X2.5=17.5(升).
(2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=(x—x+8)=x+—(0vxw120),
h(x)=—=(0vxw120).
令h'
(x)=0,得x=80.
当x€(0,80)时,h'
(x)v0,h(x)是减函数;
当x€(80,120)时,h'
0,h(x)是增函数.
•••当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
答当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油
17.5升.当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
18.已知函数f(x)=x3—x—(a€R,a^O).
(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
⑶若对任意的x€[1,+~),都有f(x)>
0成立,求a的取值范围.
解
(1)当a=3时,f(x)=x3—3x—,f
(1)=0,
••f(x)=x—,••f
(1)=—2,
•••曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程2x+y-2=0.
⑵f'
(x)=x2-=(x>
0).
1当av0时,f'
(x)=>
0恒成立,函数f(x)的递增区间为(0,+).
②当a>
0时,令f'
(x)=0,解得x=或x=-(舍).
x
(0,)
(,+TO)
f(x)
——
+
f(x)
减
极小
值
增
•函数f(x)的递增区间为(,+x),递减区间为(0,)
⑶对任意的x€[1,+x),使f(x)>
0成立,只需对任意的
x€[1,+x),f(x)>
0.
1当av0时,f(x)在[1,+~)上是增函数,•只需f
(1)>
0,而f
(1)=-1-=0,
•av0满足题意,
2当0va<
1时,0vw1,f(x)在[1,+~)上是增函数,•只需f
(1)>
0而f
(1)=—1—=0,
•0va<
1满足题意;
3当a>
1时,〉1,f(x)在[1,]上是减函数,[,+^)上是增函数,•只需f()>
0即可,而f()vf
(1)=0,•a>
1不满足题意;
综上,a€(—a,0)U(0,1]
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