小学奥数思维训练幻方与数阵图扩展通用版.docx

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小学奥数思维训练幻方与数阵图扩展通用版

2014年四年级数学思维训练：

幻方与数阵图扩展

1．把1，2，…，9填入图20﹣1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．

2．如图，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

3．如图，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

4．如图所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

5．如图，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．

6．请将如图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：

方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：

标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么？

7．请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种？

8．请在如图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7．

9．将1至5这5个数字填入图中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．

10．请在图中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．

11．将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的．请问：

这个和最小是多少？

最大是多少？

12．将1，2，3，…，24，25分别填入图20﹣12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

13．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．

14．在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于．那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？

15．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．

16．如图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．

17．将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．

18．请将1至10填入如图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．

19．如图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．

20．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数是多少？

21．请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在图中的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等．应怎样填？

22．将1至9填人图中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16．

23．如图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？

请给出一种填法．

24．如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少？

请给出一种填法．

25．请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．

26．如图是有名的“六角幻方”：

将l到19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等，美国数学爱好者阿当斯从l910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填人了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．

27．在图中有6个正方形，请你将1至9填人图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．

28．在图中的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．

29．将1至9分别填人图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？

30．将0，1，2，…，9这10个数分别填人图20﹣30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？

最小是多少？

请分别给出使得和最大、最小的填法．

31．在下面的图中有11个空的圆圈，要求把1～13这些数填入各圈内（其中3，4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面两个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面一个圈中的数），并且最下面空着的四圆圈中的数之和等于43．

32．图中共有10个圆圈，6条直线．请问：

（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等？

（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？

（3）请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．

参考答案

1．由以上分析可得：

【解析】

试题分析：

我们从图中可以看出：

中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：

可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．

解：

根据题意可得：

当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：

2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；

当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：

1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；

当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：

1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；

由以上分析可得：

点评：

解答此题的关键是求出中间圆圈的数是多少，然后再进一步解答即可．

2．

【解析】

试题分析：

首先根据第1列的三个数为16、11、12，求出幻和为：

16+11+12=39；然后根据幻和为39，分别求出空格里的数即可．

解：

因为第1列的三个数为16、11、12，

所以幻和为：

16+11+12=39；

因此第2行的第2个数为：

39﹣11﹣15=13，

第1行的第3个数为：

39﹣12﹣13=14，

第1行的第2个数为：

39﹣16﹣14=9，

第2列的第3个数为：

39﹣9﹣13=17，

第3列的第3个数为：

39﹣14﹣15=10．

．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出幻和是多少．

3．

【解析】

试题分析：

首先求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：

12+9+5+8=34，然后根据这个共同的和为34，分别求出空格里的数即可．

解：

每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：

12+9+5+8=34，

所以第3行的第1个数为：

34﹣5﹣16﹣3=10，

第2列的第1个数为：

34﹣4﹣5﹣11=14，

第1行的第1个数为：

34﹣14﹣7﹣12=1，

第2行的第1个数为：

34﹣1﹣10﹣8=15，

第2行的第4个数为：

34﹣15﹣4﹣9=6，

第3列的第4个数为：

34﹣7﹣9﹣16=2，

第4列的第4个数为：

34﹣12﹣6﹣3=13．

．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为34．

4．

【解析】

试题分析：

首先根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：

2+3+7=12；然后用12减去6，可得第4列的第1个数和第3个数的和是6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；再求出第1行的4个数的和是：

2+4+5+5=16，根据各行所填的数之和为16，各列所填的数之和为12，求出其余的空格中的数即可．

解：

根据第1列的三个数分别为2、3、7，

可得各列的各数之和均为：

2+3+7=12，

所以第4列的第1个数和第3个数的和是：

12﹣6=6，

因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；

因为第1行的4个数的和是：

2+4+5+5=16，

所以第2行的第2个数和第3个数的和是：

16﹣3﹣6=7，

第3行的第2个数和第3个数的和是：

16﹣7﹣1=8，

第2列的第2个数和第3个数的和是：

12﹣4=8，

第3列的第2个数和第3个数的和是：

12﹣5=7，

因此第2行的第2个数和第3个数分别是5、2，

第3行的第2个数和第3个数分别是3、5．

答：

标有符号“*”的方格内所填的数是1．

．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等”，注意答案不唯一．

5．

【解析】

试题分析：

如图，首先根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为14+15+16=45；然后根据幻和为45，分别求出a、c、d、e的值即可．

解：

如图，根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，

可得b+12=15+11，

解得b=14，

所以幻和为：

14+15+16=45；

因此a=45﹣12﹣14=19，

c=45﹣19﹣16=10，

d=45﹣10﹣15=20，

e=45﹣16﹣11=18．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出幻和是多少．

6．△=5，▽=5，○=4．

【解析】

试题分析：

根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；因为d、f在第2行中，只能从1、3中各取一个，因为d在第1列中，所以d不能是3，只能是1，则f=3；因为k、m在对角线上，只能从1、4中各取一个，因为m在第1列中，所以m不能是1，只能是4，则k=1；因为○、b在第1行中，只能从2、4中各取一个，因为b在第4列中，所以b不能是4，只能是2，则○=4；所以j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5，据此解答即可．

解：

（1）根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；

又因为h在第3行中，所以h不能是4；

因为h在对角线上，所以h不能是5，

因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，

因为a在第1行中，

所以a不能是1，只能是3，则p=1；

（2）因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，

因为c在第1行中，

所以c不能是3，只能是5，则l=3；

（3）因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，

因为e在第2行中，

所以e不能是5，只能是4，则△=5；

同理，可得d=1，f=3；m=4，k=1；b=2，○=4；j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5．

答：

△=5，▽=5，○=4．

．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次”，逐一确定每个方格中的数字．

7．2种．

【解析】

试题分析：

首先第一行第二列的数最大，只能是9，第一行的第三列最小只能是1，第一行第一列只能是8，第二行第一列只能是7，第二行第三列只能是2，第三行第三列只能是3，第三行第二列只能是4，中间的数可以是6或5，而第三行第一列可以是6或5，所以满足要求的方法有2种方法．

解：

答案如下：

所以满足要求的填法共有2种．

点评：

解决此题的关键找出最大最小数的位置，进一步确定固定的数以及可调整的数，得出结论．

8．

【解析】

试题分析：

首先根据两个小圆圈内所填的数的差最大是：

8﹣1=7，可得当差为7时，只能是8与1的差；剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：

7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；同理，当差为5时，只能是6与1的差；5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；据此可得中间两个圆圈中的数分别为1、5，然后填上其余圆圈中的数即可．

解：

因为两个小圆圈内所填的数的差最大是：

8﹣1=7，

所以当差为7时，只能是8与1的差；

因为剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：

7﹣2=5，

所以当差为6时，只能是7与1的差；

同理，当差为5时，只能是6与1的差；

5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；

因此中间两个圆圈中的数分别为1、5，可得

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是判断出中间两个圆圈中的数只能是1和5．

9．

【解析】

试题分析：

1+2+3+4+5=15，根据题意，可得计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：

15×2÷3=10；然后根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3，据此解答即可．

解：

1+2+3+4+5=15，

根据题意，计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，

圆圈中的每个数均被计算了2次，

所以这个共同的和是：

15×2÷3=10；

根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，

可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出横线、竖线、大圆周上所填数之和均为10．

10．

【解析】

试题分析：

如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：

A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；最后根据B+C+E=2（A+B）=2×7=14，可得B=6，C=5，E=3，据此解答即可．

解：

如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：

A、B、C、D、E、F，

则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，

整理，可得A+B=C+D=E+F；

因为1+6=2+5=3+4，

所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；

又因为B+C+E=2（A+B）=2×7=14，

所以B=6，C=5，E=3，可得

．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是设图中的六块区域内填入的数分别为：

A、B、C、D、E、F，能判断出A+B=C+D=E+F．

11．这个和最小是11，最大是16，如图所示：

【解析】

试题分析：

根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9；据此解答即可．

解：

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，

根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；

（1）因为每个圆内的三个数之和都是相等的，

所以要使这个和最小，

则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4，

这个和最小是：

（45+0+1+2+3+4）÷5=11；

（2）所以要使这个和最大，

则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9，

这个和最大是：

（45+5+6+7+8+9）÷5=16．

答：

这个和最小是11，最大是16．

点评：

此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是判断出：

要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大．

12．4.

【解析】

试题分析：

首先根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；然后根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i﹣a﹣*+31…②；再根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；再根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；再根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；再根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；再根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；

解：

根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，

可得g+19+25+13=20+9+23+12，

解得g=7；

根据第4列和第5行的各数之和相等，

可得b+25+14+3=i+8+15+24，

解得b=i+5…①；

根据第1列和第1行的各数之和相等，

可得i+12+23+9=a+b+*+13，

解得b=i﹣a﹣*+31…②；

由①②，可得a+*=26；

根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，

可得j+8+15+24=19+7+25+13，

解得j=17；

根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，

可得a+*+b+13=c+7+3+24，

解得c=b+5；

根据第2列和第3行的各数之和相等，

可得a+c+19+8=23+7+14+16，

解得a+c=33；

根据第5列和第2行的各数之和相等，

可得13+16+10+24=9+c+d+25，

解得c+d=29；

根据第3列和第4行的各数之和相等，

可得*+d+7+15=12+19+3+10，

解得*+d=22；

综上，可得a=22，*=4，

因此d=22﹣4=18，c=29﹣18=11，b=11﹣5=6，f=b﹣1=5，

e=（20+22+4+6）﹣（16+10+24）=52﹣50=2，

h=（20+22+4+6+13）﹣（12+19+3+10）=65﹣44=21，

i=（20+22+4+6+13）﹣（20+9+23+12）=65﹣64=1，

h=（20+22+4+6+13）﹣（1+8+15+24）=65﹣48=17．

答：

标有符号“*”的方格内所填的数是4．

．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的数的和相等”．

13．

【解析】

试题分析：

（1）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；然后根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；再根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；再求出另一条对角线上的三个数的和，进而求出c、d、e的值是多少即可．

（2）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；然后根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；最后根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，求出三个数的和是多少，进而求出n、m、p、r的值是多少即可．

解：

（1）根据第2行和第1列的各数之和相等，

可得a+95=100+19，

解得a=24；

根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，

可得f+19=95+100，

解得f=176；

根据第3行和第2列的三个数的和相等，

可得b+100=95+176，

解得b=171；

另一条对角线上的三个数的和为：

24+100+176=300，

所以c=300﹣24﹣171=105，

d=300﹣100﹣19=181，

e=300﹣95﹣176=29．

（2）根据第2行和第1列的各数之和相等，

可得q+6=5+9，

解得q=8；

根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，

可得s+6=9+8，

解得s=11；

根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，

可得三个数的和是：

5+8+11=24，

所以n=24﹣9﹣8=7，

m=24﹣5﹣7=12，

p=24﹣8﹣6=10，

r=24﹣12﹣8=4．

．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一确定每个空格中的数即可．

14．．

【解析】

试题分析：

首先根据题意，可得c+f=﹣=…①，e+f=﹣=…②；然后根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=+c﹣=+c；再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=+f﹣e，所以+c=+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=…③；由①②③，求出f、c的值，进而求出*是多少即可．

解：

根据题意，可得

c+f=﹣=…①，

e+f=﹣=…②；

根据第1行和第2列的三个数的和相等，

可得*=+c﹣=+c；

根据两条对角线上的三个数的和相等，

可得*=+f﹣e，

所以+c=+f﹣e，

整理，可得f﹣c﹣e=…③；

由①+②+③，可得3f=，

解得f=，

所以c=﹣=，

所以*=+c=+=．

答：

标有“*”的方格内所填的数是．

点评：

此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于”，确定出两条对角线上的数分别是多少．

15．

【解析】

试题分析：

首先根据第1行和第1列的三个数的和相等，可得第1行的第3个数为：

29+19﹣17=31；然后根据第2行的三个数和对角线上的三个数的和相等，可得第2行的第3个数为：

19+31﹣29=21；再根据第2行和第2列的三个数的和相等，可得第2列的第3个数为：

29+21﹣17=33；最后根据第1行和第3列的三个数的和相等，可得第1行的第1个数比第3列的第3个数多：

21﹣17=4，再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得第1行的第1个数和第3列的第3个数的和为：

19+31=50，据此求出第1行的第1个数