中考数学经典几何证明题.docx
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中考数学经典几何证明题
17.(2005浙江台州)如图,在平面直角坐标系内,⊙C与y轴相切于D
点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.
(1)求点C的坐标;
(2)连结BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得
AB2=BP·BE,能否推出AP⊥BE?
请给出你的结论,并说明理由;
(3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ·EQ?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.
18.(2005上海长宁)如图1,抛物线关于y轴对称,顶点C坐标为(0,h)(h>0),交x轴于点A(d,0)、B(-d,0)(d>0)。
(1)求抛物线解析式(用h、d表示);
图4
(2)如图2,将ABC视为抛物线形拱桥,①~⑤拉杆均垂直x轴,垂足依次在线段AB的6等分点上。
h=9米。
(i)求拉杆⑤DE的长度;
(ii)若d值增大,其他都不变,如图3。
拉杆⑤DE的长度会改变吗?
(只需写结论)
(3)如图4,点G在线段OA上,OG=kd(比例系数k是常数,0≤k≤1),GF⊥x轴交抛物线于点F。
试探索k为何值时,
tg∠FOG=tg∠CAO?
此时点G与OA线段有什么关系?
O
19.(2006上海金山)已知:
抛物线经过A(2,0)、B(8,0)、C(0,)
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,把△APB翻折,使点P落在线段AB上(不与A、B重合),记作,折痕为EF,设A=x,PE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当点在线段AB上运动但不与A、B重合时,能否使△EF的一边与x轴垂直?
若能,请求出此时点的坐标;若不能,请你说明理由。
20.(2006湖北十堰)已知抛物线:
(,为常数,且,)的顶点为,与轴交于点;抛物线与抛物线关于轴对称,其顶点为,连接,,.
注:
抛物线的顶点坐标为.
(1)请在横线上直接写出抛物线的解析式:
________________________;
(2)当时,判定的形状,并说明理由;
(3)抛物线上是否存在点,使得四边形为菱形?
21.(2006湖北宜昌)如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n<0)以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB=2OA.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE.过点A的直线y=kx+m交y轴于点F,FB=FA.抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM⊥x轴,垂足为点M.
(1)求k的值;
(2)点A位置改变时,△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变?
说明你的理由.
22.(2005黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,AB=25,顶点C在y轴的负半轴上,tan∠ACO=,点P在线段OC上,且PO、PC的长(PO (1)求AC、BC的长; (2)求P点坐标; (3)在x轴上是否存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形? 23.(2006黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴上,线段OA、OB的长(0A 是方程x2-18x+72=0的两个根,点C是线段AB的中点,点D在线段OC上,OD=2CD. (1)求点C的坐标; (2)求直线AD的解析式; (3)P是直线AD上的点,在平面内是否存在点Q,使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形? 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. O 1.(2004江苏宿迁)已知抛物线y=-x2+mx-m+2. (1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=,试求m 的值; (2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值. 2.(2005福建三明)已知二次函数(为常数,△=)的图象与轴相交于A,B两点,且A,B两点间的距离为,例如,通过研究其中一个函数及图象(如图),可得出表中第2行的相交数据。 △ -5 6 1 2 3 1 - -2 -2 3 (1)在表内的空格中填上正确的数; (2)根据上述表内d与△的值,猜想它们之间有什么关系? 再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想; (3)对于函数(为常数,△=)证明你的猜想 3.(2006上海浦东)已知: 二次函数图象的顶点在x轴上. (1)试判断这个二次函数图象的开口方向,并说明你的理由; (2)求证: 函数的图象与x轴必有两个不同的交点; (3)如果函数的图象与x轴相交于点A(x1,0)、B(x2,0),与y轴相交于点C,且△ABC的面积等于2.求这个函数的解析式. 4.(2005天津)已知二次函数. (1)若a=2,c=-3,且二次函数的图像经过点(-1,-2),求b的值; (2)若a=2,b+c=-2,b>c,且二次函数的图像经过点(p,-2),求证: b≥0; (3)若a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图像经过点(q,-a),试问当自变量x=q+4时,二次函数所对应的函数值y是否大于0? 请证明你的结论. 5.(2006江苏盐城)已知: 如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB,过B作BC⊥AB,交AE于点C. (1)当B点的横坐标为时,求线段AC的长; (2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合);(3)设过点P(0,-1)的直线l与 (2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1,y1)、M2(x2,y2),且x12+x22-6(x1+x2)=8,求直线l的解析式. 6.(2006广东广州)已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0). (1)求证: 该抛物线与x轴有两个不同的交点; (2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是 否存在实数m、n,使得AP=2PB? 若存在,则求出m、n满足的条件;若不存在,请说明理由. 1.(2001天津)已知: 在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4cm,AB=8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点.若P为AB边上的一个动点,PQ∥BC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y. (1)如图,当AP=3cm时,求y的值; (2)设AP=xcm,试用含x的代表式表示y(cm)2; (3)当y=2cm2时,试确定点P的位置. 2.(2002上海)操作: 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q. 图5图6图7 探究: 设A、P两点间的距离为x. (1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系? 试证明你观察得到结论; (2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形? 如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.(图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和图7备用) 4.(2004山东枣庄)如图,在△ABC中,AB=17,AC=5,∠CAB=45°,点O在BA上移动,以O为圆心作⊙O,使⊙O与边BC相切,切点为D,设⊙O的半径为x,四边形AODC的面积为y. C (1)求y与x的函数关系式; (2)求x的取值范围; (3)当x为何值时,⊙O与BC、AC都相切? 5.(2004浙江宁波)已知是半圆的直径,AB=16,P点是AB上的一动点(不与A、B重合),PQ⊥AB,垂足为P,交半圆O于Q;PB是半圆O1的直径,⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切,切点分别为M、N、C. (1)当P点与O点重合时(如图1),求⊙O2的半径r; B (2)当P点在AB上移动时(如图2),设PQ=x,⊙O2的半径r.求R与x的函数关系式,并求出r取值范围. 6.(2005河北)如图12,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21。 动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。 设运动的时间为t(秒)。 (1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式; 图3 (2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形? (3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时,求∠BQP的正切值; (4)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD? 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。 7.(2005河南)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=2,DC=2,点P在边BC上运动(与B、C不重合),设PC=x,四边形ABPD的面积为y。 (1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)若以D为圆心、为半径作⊙D,以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P,当x为何值时,⊙D与⊙P相切? 并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。 8.(2005江苏宿迁)已知: 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3厘米,CB=4厘米.两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动.当点Q运动到点A时,P、Q两点运动即停止.点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒,设点P运动时间为(秒). (1)当时间为何值时,以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分)等于2厘米2; (2)当点P、Q运动时,阴影部分的形状随之变化.设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(厘米2),求出S与时间的函数关系式,并指出自变量的取值范围; (3)点P、Q在运动的过程中,阴影部分面积S有最大值吗? 若有,请求出最大值;若没有,请说明理由. 9.(2005江苏泰州)图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合). (1)操作: 固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2); 探究: 在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系? 试证明你的结论. (2)操作: 将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3); 探究: 设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围. (3)操作: 图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠ACC′=α(30°<α<90°=(图4); (C/) 探究: 在图4中,线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化? 如果没有变化,请你求出C′N·E′M的值,如果有变化,请你说明理由. [ 10.(2005江苏南通)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-10,0),B(-8,6),O为坐标原点,△OAB沿AB翻折得到△PAB.将四边形OA
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