人口指数增长模型和Logistic模型Word文档下载推荐.docx
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1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
提示:
指数增长模型:
Logistic模型:
解:
模型一:
指数增长模型。
Malthus模型的基本假设下,人口的增长率为常数,记为r,记时刻t的人口为
,(即
为模型的状态变量)且初始时刻的人口为
,因为
由假设可知
经拟合得到:
程序:
t=1790:
10:
1980;
x(t)=[];
y=log(x(t));
a=polyfit(t,y,1)
r=a
(1),x0=exp(a
(2))
x1=x0.*exp(r.*t);
plot(t,x(t),'
r'
t,x1,'
b'
)
结果:
a=
r=
x0=
所以得到人口关于时间的函数为:
,其中x0=,
输入:
t=2010;
x0=;
x(t)=x0*exp*t)
得到x(t)=。
即在此模型下到2010年人口大约为
。
模型二:
阻滞增长模型(或Logistic模型)由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,人口增长到一定数量后,增长率会下降,假设人口的增长率为x的减函数,如设
,其中r为固有增长率(x很小时),
为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),于是得到如下微分方程:
建立函数文件
functionf=curvefit_fun2(a,t)
f=a
(1)./(1+(a
(1)/*exp(-a
(2)*(t-1790)));
在命令文件中调用函数文件
%定义向量(数组)
x=1790:
1990;
y=[76...
92204];
plot(x,y,'
*'
x,y);
%画点,并且画一直线把各点连起来
holdon;
a0=[,1];
%初值
%最重要的函数,第1个参数是函数名(一个同名的m文件定义),第2个参数是初值,第3、4个参数是已知数据点
a=lsqcurvefit('
curvefit_fun2'
a0,x,y);
disp(['
a='
num2str(a)]);
%显示结果
%画图检验结果
xi=1790:
5:
2020;
yi=curvefit_fun2(a,xi);
plot(xi,yi,'
);
%预测2010年的数据
x1=2010;
y1=curvefit_fun2(a,x1)
holdoff
运行结果:
a=
y1=
其中a
(1)、a
(2)分别表示
中的
和
,y1则是对美国美国2010年的人口的估计。
第二题:
问题重述:
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给与鼓励,俱乐部只准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):
身长(cm)
重量(g)
765
482
1162
737
1389
652
454
胸围(cm)
问题分析:
鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。
一般来说,鲈鱼的胸围越大,鱼的体重会越重,身长越长,体重也越重。
但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联系,共同影响鱼的体重。
建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律
模型假设:
1、鲈鱼的身长越长体重越重,体重与身长存在正相关关系;
2、鲈鱼的胸围越大体重也越重,体重与胸围存在正相关的关系;
3、鲈鱼的胸围、身长互相影响,共同作用鲈鱼的体重;
4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。
符号说明:
鲈鱼的身长
鲈鱼的胸围
鲈鱼的体重
模型的建立及求解:
(一)、鲈鱼体重与身长模型的确立
为了研究鲈鱼身长与体重的关系,我们利用已测量的数据,取出身长及体重的数据,利用MATLAB软件画出散点图,如下:
从图形上看,鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系,我们利用多项式拟合的方法,得到:
(1)
根据拟合的函数,我们画出拟合图:
从拟合图上看,大部分原始数据在拟合函数附近,说明用二次函数拟合的效果较好,下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计,用相对误差检验拟合度,得到下表:
表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
拟合值(g)
相对误差(%)
从表中的数据,我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大,说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
(二)、鲈鱼体重与胸围的模型确立
仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响,我们采用与模型一相同的方法,先画出鲈鱼体重与胸围的散点图:
从图形上看,鲈鱼体重与胸围可能成线性关系,利用多项式拟合的方法,我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式:
(2)
根据拟合函数
(2),画出胸围与体重关系的拟合图:
利用拟合函数及实际数据,求出实际值与拟合值得相对误差表:
表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
拟合值(cm)
从鲈鱼胸围与体重的拟合图,及表二中的数据,我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高,鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大,说明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
(三)、建立体重与身长、胸围相互影响的模型
实际情况下,鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响,因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。
此模型的建立是基于假设⑶,(4),即:
鲈鱼的体态用与胸围等周长,与身长等高的圆柱形来近似。
因为圆柱体的体积等于底面积乘高,底面积可以用周长表示:
.因此可以分析得出
.又物体质量等于密度与体积的乘积,因此只需根据数据求出密度即可。
于是身长、胸围与体重的关系可以表示为:
,问题转化为对系数
的求解。
根据已知数据,利用MATLAB软件求解,得到:
(3)
因此,
(4)
利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表:
表三、重量估计值及相对误差
估算值(g)
740
472
1115
490
1491
616
根据表三的数据,可以知道模型三的拟合程度也较好,相对于模型一、二,此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响,用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际。
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- 关 键 词:
- 人口 指数 增长 模型 Logistic
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