离散数学自学考试真题附答案打印版Word文档格式.docx
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10.下列式子正确的是()
A.∈B.
C.{}
D.{}∈
11.设解释R如下:
论域D为实数集,
a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):
x<
y.下列
公式在R下为真的是()
A.(x)(y)(z)(A(x,y))→
A(f(x,z),f(y,z))
B.(x)A(f(a,x),a)
C.(x)(y)(A(f(x,y),x))
D.(x)(y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))
12.设B是不含变元x的公式,谓词公
式(x)(A(x)→B)等价于()
A.(x)A(x)→B
B.(x)A(x)→B
C.A(x)→B
D.(x)A(x)→(x)B
13.谓词公式(x)(P(x,y))→
(z)Q(x,z)∧(y)R(x,y)中变元x()
A.是自由变元但不是约束变元
B.既不是自由变元又不是约束变元
C.既是自由
变元又是
约束变元
D.是约束变
元但不是
自由变元
14.若P:
他
聪明;
Q:
他用功;
则“他虽聪明,但不用功”,可符号化为()
A.P∨QB.P∧┐Q
C.P→┐QD.P∨┐Q
15.以下命题公式中,为永假式的是
A.p→(p∨q∨r)
B.(p→┐p)→┐p
C.┐(q→q)∧p
D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)
二、填空题(每空1分,共20分)
16.在一棵根树中,仅有一个结点的入度为______,称为树根,其余结点的入度均为______。
17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2,4〉,〈3,3〉,〈4,2〉},R的关系矩阵MR中m24=______,m34=______。
18.设〈s,*〉是群,则那么s中除______
外,不可能有别的幂等元;
若〈s,*〉有零元,则|s|=______。
19.设A为集合,P(A)为A的幂集,则
〈P(A),〉是格,若x,y∈P(A),
则x,y最大下界是______,最小上界是______。
19.设函数f:
X→Y,如果对X中的任意
两个不同的x1和x2,它们的象y1和y2也不同,我们说f是______函数,
如果ranf=Y,则称f是______函数。
21.设R为非空集合A上的等价关系,
....
其等价类记为〔x〕R。
x,y∈A,若〈x,y〉∈R,则
〔x〕R与〔y〕R的关系是______,而若
〈x,y〉R,则〔x〕R∩〔y〕R=______。
22.使公式(x)(y)(A(x)∧
B(y))(x)A(x)∧(y)B(y)成
立的条件是______不含有y,______
不含有x。
23.设M(x):
x是人,D(s):
x是要死的,则命题“所有的人都是要死的”可
符号化为(x)______,其中量词
(x)的辖域是______。
24.若H1∧H2∧⋯∧Hn是______,则称
H1,H2,⋯Hn是相容的,若H1∧H2∧⋯
∧Hn是______,则称H1,H2,⋯Hn是不相容的。
24.判断一个语句是否为命题,首先要
看它是否为,然后再看
它是否具有唯一的。
三、计算题(共30分)
26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所
示,试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。
27.(5)
设A={a,b},P(A)
是A的幂集,
是对称差运算,可以验证<
P(A),>
是群。
设
n是正整数,求
({a}
-1{b}{a})
n
{a}
-n{b}
n{a}n
28.(6
分)设A={1,2,3,4,5},A
上偏序
关系
R={〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,1〉,〈4,2〉,〈4,3〉,〈3,5〉,〈4,5〉}∪
IA;
(1)作出偏序关系R的哈斯图
(2)令B={1,2,3,5},求B的最大,最小元,极大、极小元,上界,下确
界,下界,下确界。
29.(6分)求┐(P→Q)(P→┐Q)的主
合取范式并给出所有使命题为真的赋值。
30.(5分)设带权无向图G如下,求G的最小生成树T及T的权总和,要求写出解的过程。
31.(4
分)求公式┐((x)F(x,y)→
(
y)G(x,y))∨(
x)H(x)
的前束范
式。
四、证明题(共20
分)
32.(6
分)设T是非平凡的无向树,T中
度数最大的顶点有
2个,它们的度
数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2
片树叶。
33.(8
分)设A是非空集合,F是所有从
A到A的双射函数的集合,
是函数
复合运算。
证明:
〈F,〉是群。
34.(6分)在个体域D={a1,a2,⋯,an}中
证明等价式:
(x)(A(x)→B(x))(x)A(x)
→(x)B(x)
五、应用题(共15分)
35.(9分)如果他是计算机系本科生或
者是计算机系研究生,那么他一定
学过DELPHI语言而且学过C++语言。
只要他学过DELPHI语言或者
C++语言,那么他就会编程序。
因此
如果他是计算机系本科生,那么他就会编程序。
请用命题逻辑推理方法,证明该推理的有效结论。
36.(6分)一次学术会议的理事会共有
20个人参加,他们之间有的相互认识但有的相互不认识。
但对任意两
个人,他们各自认识的人的数目之
和不小于20。
问能否把这20个人排在圆桌旁,使得任意一个人认识其
旁边的两个人?
根据是什么?
答案:
一、单项选择题(本大题共15小题,每小题1分,共15分)
1.B
2.D
3.A
4.A
5.D
6.D
7.D
8.C
9.D
10.B
11.A
12.A
13.C
14.B
15.C
二、填空题
16.0
1
17.1
18.单位元1
19.x∩y
x
∪y
20.入射
21.[x]R=[y]R
22.A(x)
B(y)
23.(M(x)→D(x))
M(x)
→
D(x)
24.可满足式
永假式(或矛盾
式)
25.陈述句
真值
三、计算题
26.M=
2
M2=2
4
Mij2
18,
6
i1
j1
G中长度为2的路总数为18,长度为
2的回路总数为6。
27.当n是偶数时,
x∈P(A),x
n=
当n是奇数时,
n=x
于是:
当
n是偶数,({a}-1{b}
{a})n
{a}-n{b}n{a}n
=
({a}-1)n{b}n{a}
({a}-1{b}{a})n
{a}-n{b}
n{a}n
={a}-1{b}{a}({a}-1)n{b}
={a}-1{b}{a}{a}-1{b}{a}
28.
(1)偏序关系R的哈斯图为
(2)B的最大元:
无,最小元:
无;
极大元:
2,5,极小元:
1,3下界:
4,下确界4;
上界:
无,上确界:
无
29.原式(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))
((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))
(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))
(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))
(P∧Q)∨(P∧┐Q)
P∧(Q∨┐Q)
P∨(Q∧┐Q)
(P∨Q)∧(P∨┐Q)
命题为真的赋值是P=1,Q=0和
P=1,Q=1
30.令e1=(v1,v3),e
2=(v4,v6)
e
3=(v
2,v
5),
4=(v3,v6)
5=(v
3),
6=(v1
v2)
7=(v
1,v
4),
8=(v4
v3)
=(v
v
5
),
10
)
9
3
令ai为ei
上的权,则
a1<
a2<
a3<
a4<
a5=a6=a7=a8<
a9=a10
取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈
T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即,
T的总权和=1+2+3+4+5=15
31.原式┐(x1F(x1,y)→
y1G(x,y1))∨x2H(x2)(换名)
┐x1y1(F(x1,y)→
G(x,y1))∨x2H(x2)
x1y1┐(F(x1,y1)→
x1y1x2(┐(F(x1,y1)→
G(x,y1))∨H(x2)
四、证明题
32.设T中有x片树叶,y个分支点。
于是T中有x+y个顶点,有x+y-1条边,由握手定理知T中所有顶点的度数之的
xy
d(vi)=2(x+y-1)。
i1
又树叶的度为1,任一分支点的度大于等于2
且度最大的顶点必是分支点,于是
d(vi)
≥
x·
1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4
从而2(x+y-1)
≥x+2y+2k-4
x≥2k-2
33.从定义出发证明:
由于集合
A是非
空的,故显然从
A到A的双射函数
总是存在的,如
A上恒等函数,因
此F非空
(1)f,g∈F,因为f和g都是A到
A的双射函数,故fg也是A到A
的双射函数,从而集合F关于运算是封闭的。
(2)f,g,h∈F,由函数复合运算的
结合律有f(gh)=(fg)h故运
算是可结合的。
(3)A上的恒等函数IA也是A到A的
双射函数即IA∈F,且f∈F有
IAf=fIA=f,故IA是〈F,〉中的
幺元
(4)f∈F,因为f是双射函数,故
其逆函数是存在的,也是
A到A的
双射函数,且有f
f-1=f
-1
A
f=I
因此f-1是f的逆元
由此上知〈F,〉是群
34.证明(
x)(A(x)
→B(x))
x(┐A(x)∨B(x))
(┐A(a)∨B(a
))∨(┐A(a)∨
B(a2))∨⋯∨(┐A(an)∨B(an)))
(┐A(a)∨A(a
)∨⋯∨┐A(a)
∨(B(a1)∨B(a2)∨⋯∨(B(an))
┐(A(a1)∧A(a2)∧⋯∧A(an))∨
(┐B(a1)∨B(a2)∨⋯∨(B(an))
┐(x)A(x)∨(x)B(x)
(x)A(x)→(x)B(x)
五、应用题
35.令p:
他是计算机系本科生
q:
他是计算机系研究生
r:
他学过DELPHI语言
s:
他学过C++语言
t:
他会编程序
前提:
(p∨q)→(r∧s),(r∨s)
→t
结论:
p→t
证
①pP(附加前提)
②p∨qT①I
③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入)
④r∧s
T
②③I
⑤r
④I
⑥r∨s
⑤I
⑦(r∨s)→tP(
前提引入)
⑧t
⑤⑥I
36.可以把这20个人排在圆桌旁,使得任一人认识其旁边的两个人。
根据:
构造无向简单图G=<
V,E>
其
中V={v1,v2,⋯,V20}是以20个人为顶点的集合,E中的边是若任两个人
vi和vj相互认识则在vi与vj之间连一条边。
Vi∈V,d(vi)是与vi相互认识的人
的数目,由题意知vi,vj∈V有
d(vi)+d(vj)20,于是G中存在汉密尔顿回路。
设C=Vi1Vi2⋯Vi20Vi1是G中一条汉
密尔顿回路,按这条回路的顺序按其排座位即符合要求。
全国2004年4月高等教育自学考试
第一部分选择题
(共15分)
一、单项选择题(本大题共
15小题,
每小题1分,共
15分)
1.下列是两个命题变元
p,q的小项是
A.p∧┐p∧q
B.┐p∨q
C.┐p∧q
D.┐p∨p∨q
2.令p:
今天下雪了,q:
路滑,则命
题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可
符号化为()
A.p→┐q
B.p∨┐q
C.p∧q
D.p∧┐q
3.下列语句中是命题的只有(
D.(X-
Y)-Z=X-(Y∪Z)
A.1+1=10
10.设*是集合A上的二元运算,称
Z
B.x+y=10
是A上关于运算*的零元,若(
C.sinx+siny<
A.x
A,有x*Z=Z*x=Z
D.xmod3=2
B.Z
A,且
A有x*Z=Z*x=Z
4.下列等值式不正确的是(
C.Z
A有x*Z=Z*x=x
A.┐(x)A(x)┐A
D.Z
B.(
x)(B→A(x))
B→(
x)A(x)
11.在自然数集N上,下列定义的运算
C.(
∧B(x))
∧
中不可结合的只有(
x)B(x)
A.a*b=min(a,b)
D
.
x)(
y)(A(x)
B.a*b=a+b
B(y))
(x)A(x)
→(
y)B(y)
C.a*b=GCD(a,b)(a,b
的最大公约数)
5.谓词公式(
x)P(x,y)
D.a*b=a(modb)
x)(Q(x,z)
x)(y)R(x,y,z)
12.设R为实数集,R+={x|x
∈R∧x>
0},
中量词
x的辖域是(
*是数的乘法运算,<
R+,*>
是一个
x)Q(x,z)
群,则下列集合关于数的乘法运算
y)R(x,y,z))
构成该群的子群的是(
B.Q(x,z)
y)R(x,y,z)
A.{R+中的有理数}
C.Q(x,z)
B.{R+中的无理数}
D.Q(x,z)
C.{R+中的自然数}
6.设R为实数集,函数f:
R→R,f(x)=2
x,
D.{1,2,3}
则f是(
13.设<
A,*,>
是环,则下列正确的是
A.满射函数
B.入射函数
A.<
A,
是交换群
C.双射函数
B.<
A,*>
是加法群
D.非入射非满射
C.对*是可分配的
7.设A={a,b,c,d}
,A上的等价关系
D.*对是可分配的
R={<
a,b>
<
b,a>
c,d>
d,c>
}
∪
14.下列各图不是欧拉图的是
IA,则对应于R的A的划分是(
A.{{a},{b,c},{d}}
B.{{a,b},{c},{d}}
C.{{a},{b},{c},{d}}
D.{{a,b},{c,d}}
15.设G是连通平面图,G中有6
个顶
8.设A={?
},B=P(P(A)),以下正确
点8条边,则G的面的数目是(
的式子是(
A.2个面
A.{?
{?
}}∈B
B.3个面
B.{{?
?
C.4个面
C.{{?
},{{
?
}}}
∈B
D.5个面
D.{?
{{?
}}}∈B
9.设X,Y,Z是集合,一是集合相对
第二部分
非选择题(共85分)
补运算,下列等式不正确的是(
二、填空题(本大题共
10小题,每空
A.(X-Y)-Z=X-
(Y∩Z)
1分,共20
B.(X-Y)-Z=(X-
Z)-
Y
16.一公式为
之充分必要条件是
C.(X-Y)-Z=(X-
(Y-Z)
其析取范式之每一析取项中均必
同时包含一命题变元及其否定;
一
仅当G是
,并且所有结点的度数
中的整除关系,求集合D={2,3,4,6}
公式为
都是
。
的极大元,极小元,最大元,最小
其合取范式之每一合取项中均必
25.在下图中,结点v2的度数是
,
元,最小上界和最大下界。
同时包含一命题变元及其否定。
结点v5
的度数是
17.前束范式具有形式
(Q1V1)(Q2V2)⋯
四、证明题(本大题共
3小题,第32~33
(QnVn)A,其中
Qi(1≤i
≤n)
小题每小题
6分,第
34小题8分,共
为
,A为
的谓词公式。
20分)
18.设论域是{a,b,c}
,则(
x)S(x)
32.(6分)用等值演算法证明
((q
∧s)
等价于命题公式
;
→r)∧(s→(p∨r))
(s∧(p→q))→
r
19.设R为A上的关系,则R的自反闭
33.(6分)设n阶无向树G=<
V,E>
中
包r(R)=
,对称闭包
三、计算题(本大题共
6小题,第26
有m条边,证明m=n-
1。
s(R)=
—27小题每小题
4分,第28、30
34.
8
分
20.某集合A上的二元关系R具有对称
5分,第
29、31小题
P={?
{1},{1,2},{1,2,3}}
,是集合
性,反对称性,自反性和传递性,
每小题6分,共
30分)
P上的包含关系。
此关系
R是
,其关系矩阵
26.(4分)求出从A={1,2}
到B={x,y}
(1)证明:
<
P,>
是偏序集。
是
的所有函数,并指出哪些是双射函
(2)在
(1)的基础上证明<
21.设<
S,≤>
是一个偏序集,如果S中
数,哪些是满射函数。
是全序集
的任意两个元素都有
27.(4分)如果论域是集合
{a,b,c}
五、应用题(本大题共
2小题,第35
和
,则称S关于≤构成一个
试消去给定公式中的量词:
小题9分,第
36小题6分,共15分)
格。
(y)(x)(x
y
0)。
35.(9分)在谓词逻辑中构造下面推
22.设Z是整数集,在Z上定义二元运
28.(5分)设A={a,b,c}
,P(A)是
理的证明:
每个
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