中考数学考点复习专题因式分解基础提升.docx
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中考数学考点复习专题因式分解基础提升
2021中考考点复习专题
【因式分解】基础提升
一.选择题
1.下列左边到右边的变形,属于因式分解的是( )
A.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
B.x2﹣2x+1=x(x﹣2)+1
C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
D.x2﹣16+3x=(x+4)(x﹣4)+3x
2.下列因式分解正确的是( )
A.3ax2﹣6ax=3(ax2﹣2ax)B.x2+y2=(﹣x+y)(﹣x﹣y)
C.a2+2ab﹣4b2=(a+2b)2D.﹣ax2+2ax﹣a=﹣a(x﹣1)2
3.若关于x的二次三项式x2﹣4x+b因式分解为(x﹣1)(x﹣3),则b的值为( )
A.4B.3C.﹣4D.﹣3
4.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+2x﹣1B.x2﹣x+
C.x2+xy+y2D.9+x2﹣3x
5.下列四个多项式:
①﹣a2+b2;②﹣x2﹣y2;③1﹣(a﹣1)2;④x2﹣2xy+y2,其中能用平方差公式分解因式的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.已知664﹣1能被30﹣40之间的两个整数整除,则这两个整数是( )
A.35,37B.35,36C.34,38D.36,37
7.因式分解4x2+4x+1( )
A.4x(x+1)+1B.(4x+1)2C.(2x+1)2D.(2x﹣1)2
8.如图,边长为a,b的矩形的周长为10,面积为6,则a2b+ab2的值为( )
A.60B.16C.30D.11
9.已知x﹣y=
,xy=
,则xy2﹣x2y的值是( )
A.﹣
B.1C.
D.
10.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:
x﹣1,a﹣b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:
益,爱,我,数,学,广,现将3a(x2﹣1)﹣3b(x2﹣1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱学B.爱广益C.我爱广益D.广益数学
二.填空题
11.因式分解:
﹣5a3+10a2﹣15a= .
12.分解因式:
b4﹣b2﹣12= .
13.在实数范围内分解因式:
a3b﹣2ab= .
14.因式分解3xy﹣6y= .
15.已知xy=
,x﹣y=﹣3,则x2y﹣xy2= .
三.解答题
16.分解因式
(1)m3(x﹣2)+m(2﹣x)
(2)4a(b﹣a)﹣b2
17.已知△ABC的三边长a、b、c满足a4+b4+2a2b2﹣a2c2﹣b2c2=0,试判定△ABC的形状.
18.阅读下列材料:
已知a2+a﹣3=0,求a2(a+4)的值.
解:
∵a2=3﹣a
∴a2(a+4)=(3﹣a)(a+4)=3a+12﹣a2﹣4a=﹣a2﹣a+12=﹣(3﹣a)﹣a+12=9
∴a2(a+4)=9
根据上述材料的做法,完成下列各小题:
(1)若a2﹣a﹣10=0,则2(a+4)(a﹣5)的值为 .
(2)若x2+4x﹣1=0,求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值.
19.根据阅读材料,解决问题.
材料1:
若一个正整数,从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同,则称为“对称数”(例如:
1、232、4554是对称数).
材料2:
对于一个三位自然数A,将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字,得到三个新的数字x,y,z,我们对自然数A规定一个运算:
K(A)=x2+y2+z2,
例如:
A=191是一个三位的“对称数”,其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是:
2、8、2.则K(191)=22+82+22=72.
请解答:
(1)请你直接写出最大的两位对称数:
,最小的三位对称数:
;
(2)如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列,请直接写出第1100个对称数 ;
(3)一个四位的“对称数”B,若K(B)=8,请求出B的所有值.
20.利用完全平方公式进行因式分解,解答下列问题:
(1)因式分解:
x2﹣4x+4= .
(2)填空:
①当x=﹣2时,代数式x2+4x+4= .
②当x= 时,代数式x2﹣6x+9=0.
③代数式x2+8x+20的最小值是 .
(3)拓展与应用:
求代数式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、(x+1)(x﹣1)=x2﹣1,是整式乘法运算,不合题意;
B、x2﹣2x+1=(x﹣1)2,故此选项错误;
C、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),属于因式分解符合题意;
D、x2﹣16+3x=(x+4)(x﹣4)+3x,不符合因式分解的定义,不合题意.
故选:
C.
2.解:
A、3ax2﹣6ax=3ax(x﹣2),故此选项错误;
B、x2+y2,无法分解因式,故此选项错误;
C、a2+2ab﹣4b2,无法分解因式,故此选项错误;
D、﹣ax2+2ax﹣a=﹣a(x﹣1)2,正确.
故选:
D.
3.解:
由题意得:
x2﹣4x+b=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3,
∴b=3,
故选:
B.
4.解:
A、x2+2x﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意;
B、x2﹣x+
=(x﹣
)2,能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项符合题意;
C、x2+xy+y2不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意;
D、9+x2﹣3x不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意;
故选:
B.
5.解:
①﹣a2+b2,③1﹣(a﹣1)2,能用平方差公式分解因式,
②﹣x2﹣y2;④x2﹣2xy+y2,不能用平方差公式分解因式,
即能用平方差公式分解因式的有2个,
故选:
C.
6.解:
664﹣1
=(632+1)(632﹣1)
=(632+1)(616+1)(616﹣1)
=(632+1)(616+1)(68+1)(68﹣1)
=(632+1)(616+1)(68+1)(64+1)(64﹣
1)
=(632+1)(616+1)(68+1)(64+1)(62+1)(62﹣1)
=(632+1)(616+1)(68+1)(64+1)×37×35.
故选:
A.
7.解:
4x2+4x+1=(2x+1)2,
故选:
C.
8.解:
∵边长为a,b的矩形的周长为10,面积为6,
∴2(a+b)=10,ab=6,
∴a+b=5,
∴a2b+ab2=ab(a+b)
=6×5
=30.
故选:
C.
9.解:
∵x﹣y=
,xy=
,
∴xy2﹣x2y=﹣xy(x﹣y)=﹣
×
=﹣
.
故选:
A.
10.解:
3a(x2﹣1)﹣3b(x2﹣1)
=3(x2﹣1)(a﹣b)
=3(x+1)(x﹣1)(a﹣b),
∵x﹣1,a﹣b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:
益,爱,我,数,学,广,
∴3(x+1)(x﹣1)(a﹣b)对应的信息可能是我爱广益,
故选:
C.
二.填空题
11.解:
原式=﹣5a(a2﹣2a+3).
故答案是:
﹣5a(a2﹣2a+3).
12.解:
b4﹣b2﹣12=(b2﹣4)(b2+3)=(b+2)(b﹣2)(b2+3),
故答案为:
(b+2)(b﹣2)(b2+3).
13.解:
原式=ab(a2﹣2)=ab(a+
)(a﹣
).
故答案是:
ab(a+
)(a﹣
).
14.解:
3xy﹣6y=3y(x﹣2).
故答案为:
3y(x﹣2).
15.解:
x2y﹣xy2=xy(x﹣y)=
×(﹣3)=﹣
,
故答案为:
﹣
.
三.解答题
16.解:
(1)原式=m3(x﹣2)﹣m(x﹣2),
=m(x﹣2)(m2﹣1),
=m(x﹣2)(m+1)(m﹣1);
(2)原式=4ab﹣4a2﹣b2,
=﹣(4a2﹣4ab+b2)
=﹣(2a﹣b)2.
17.解:
△ABC是等边三角形.
证明如下:
因为a4+b4+2a2b2﹣a2c2﹣b2c2=0,
所以a4+2a2b2+b4﹣a2c2﹣b2c2=0,
(a2+b2)2﹣c2(a2+b2)=0,
(a2+b2)(a2+b2﹣c2)=0,
所以a2+b2﹣c2=0,
所以△ABC是直角三角形.
18.解:
(1)∵a2﹣a﹣10=0,
∴a2=a+10,
∴2(a+4)(a﹣5)
=2(a2﹣a﹣20)
=2(a+10﹣a﹣20)
=2×(﹣10)
=﹣20,
故答案为:
﹣20.
(2)∵x2+4x﹣1=0,
∴x2=1﹣4x,
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
=2x2(x2+4x﹣2)﹣8x+1
=2x2(1﹣4x+4x﹣2)﹣8x+1
=2x2×(﹣1)﹣8x+1
=﹣2(1﹣4x)﹣8x+1
=﹣2+8x﹣8x+1
=﹣1.
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1.
19.解:
(1)最大的两位对称数是99;最小的三位对称数是101.
故答案为:
99;101;
(2)∵一位数的对称数有9个;
两位数的对称数有9个,
三位数的对称数个位与百位可取1~9,十位可取0~9,
∴有90个;
四位数的对称数个位与千位可取1~9,十位与百位可取0~9,
∴有90个;
五位数的对称数万位与个位可取1~9,千位、百位、和十位可取0~9,
∴有900个,
此时99999为第1098个对称数,
∴第1100个对称数为101101.
故答案为:
101101;
(3)设四位的对称数B的各个数位上的数字分别2倍后,取个位数数字分别为a,b,b,a(0≤a≤8,0≤b≤8的整数),
∵K(B)=8,
∴a2+b2+b2+a2=8,
∴a2+b2=4,
∴a=0时,b=2;a=2时,b=0;
①当a=0,b=2时,四位的对称数为5115,5665;
②当a=2,b=0时,四位的对称数为1551,1001,6556,6006,
综上所述,B为5115,5665,1551,1001,6556,6006.
20.解:
(1)x2﹣4x+4=(x﹣2)2,
故答案为:
(x﹣2)2;
(2)①当x=﹣2时,
x2+4x+4
=(﹣2)2+4×(﹣2)+4
=4+(﹣8)+4
=0,
故答案为:
0;
②∵x2﹣6x+9=0,
∴(x﹣3)2=0,
∴x1=x2=3,
故答案为:
3;
③∵x2+8x+20=(x+4)2+4,
∴当x=﹣4时,x2+8x+20取得最小值4,
故答案为:
4;
(3)∵a2+b2﹣6a+8b+28=(a﹣3)2+(b+4)2+3≥3,
∴代数式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值是3.
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