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一元一次方程行程问题培优拔高
一元一次方程
知识点:
1、什么是一元一次不等式?
2、解一元一次不等式的步骤?
(用一道例题说明)
3、解一元一次不等式与解一元一次方程的区别和联系?
一、等式与方程
1.等式:
(1)定义:
含有等号的式子叫做等式。
(2)性质:
①等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式的值不变。
若那么
②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式,等式的值不变。
若那么有或()
③对称性:
若,则
④传递性:
若,则
(3)拓展:
①等式两边取相反数,结果仍相等.
如果,那么
②等式两边不等于0时,两边取倒数,结果仍相等.
如果,那么
③等式的性质是解方程的基础,很多解方程的方法都要运用到等式的性质.
如移项,运用了等式的性质①;去分母,运用了等式的性质②.
④运用等式的性质,涉及除法运算时,要注意转换后除数不能为0,否则无意义.
2.方程:
(1)定义:
含有未知数的等式叫做方程。
(2)说明:
①方程中一定有含一个或一个以上未知数,且方程是等式,两者缺一不可。
②未知数:
通常设x、y、z为未知数,也可以设别的字母,全部小写字母都可以。
未知数称为元,有几个未知数就叫几元方程。
一道题中设两个方程时,它们的未知数不能一样!
③“次”:
方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。
指的是含有未知数的项中,未知数次数最高的项对应的次数,也就是方程的次数。
未知数次数最高是几就叫几次方程。
④方程有整式方程和分式方程。
整式方程:
方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程:
分母中含有未知数的方程叫做分式方
二、一元一次方程
1.一元一次方程的概念:
(1)定义:
只含有一个未知数(元)且未知数的指数是1(次)的整式方程叫做一元一次方程。
(2)一般形式:
(a,b为常数,x为未知数,且)。
(3)注意:
①该方程为整式方程。
②该方程有且只含有一个未知数。
③该方程中未知数的最高次数是1。
④化简后未知数的系数不为0.如:
,它不是一元一次方程。
⑤未知数在分母中时,它的次数不能看成是1次;如,它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解法:
(1)方程的解:
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,一般写作:
“”的形式。
(2)解方程:
求出方程的解的过程,也可以说是求方程中未知数的值的过程,叫解方程。
(3)移项:
①定义:
从方程等号的一边移到等号另一边,这样的变形叫做移项。
②说明:
Ⅰ移项的标准:
看是否跨过等号,跨过“=”号才称为移项;移项一定改变符号,不移项的不变。
Ⅱ移项的依据:
移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质①。
Ⅲ移项的原则:
移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并,方便求解。
(4)解一元一次方程的一般步骤及根据:
①去分母——等式的性质②
②去括号——分配律
③移项——等式的性质①
④合并——合并同类项法则
⑤系数化为1——等式的性质②
⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等(在草纸上)
(5)一般方法:
①去分母,程两边同时乘各分母的最小公倍数。
②去括号,一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号。
但顺序有时可依据情况而定使计算简便,本质就是根据乘法分配律。
③移项,方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
(一般都是把未知数移到一起)
④合并同类项,合并的是系数,将原方程化为()的形式。
⑤系数化1,两边都乘以未知数的系数的倒数。
⑥检验,用代入法,在草稿纸上算。
(6)注意:
(对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握,更要观察所求方程的形式、特点,灵活变化解题步骤)
①分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数,局部变形;
②去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,
Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘,即每一项都要乘
Ⅱ分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号(整体思想);
③去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
④移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
⑤系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号(打草稿认真计算);
⑥不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法;
⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦,不要跳步,一步步仔细算。
(7)补充:
分数的基本性质:
与等式基本性质②不同。
分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数,分数的值不变。
3.一元一次方程的应用:
(1)解决实际应用题的策略:
①审题:
就是多读题,读懂题,读的时候一定沉下心去,不能慌不要急躁,要细,一个字一个字的精读,要慢,边读边思考。
找到已知条件,未知条件,找到数量关系和等量关系,可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系,审题往往伴随下个步骤。
②设出适当未知数,往往问什么设什么,有时也间接设未知数,然后用未知数通过关系表示出其他相关的量。
③找出等量关系,用符号语言表示就是列出方程。
(2)分析问题方法:
①文字关系分析法,找关键字词句分析实际问题中的数量关系
②表格分析法,借助表格分析分析实际问题中的数量关系
③示意图分析法,通过画图帮助分析实际问题中的数量关系
(3)设未知量方法:
一个应用题,往往涉及到几个未知量,为了利用一元一次方程来解应用题,我们总是设其中一个未知量为x,并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量,然后列出方程。
①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题,与其它量关系多,好表示其它量,好表示等量关系;
②有直接设未知量和间接设未知量,还有不常见的辅助设未知量。
(4)找等量关系的方法:
“等量关系”特指数量间的相等关系,是数量关系中的一种。
数学题目中常含有多种等量关系,如果要求用方程解答时,就需找出题中的等量关系。
①标关键词语,抓住关键句子确定等量关系。
(比如多,少,倍,分,共)解题时只要找出这种关键语句,正确理解关键语句的含义,就能确定等量关系。
②紧扣基本公式,利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系.(比如体积公式,单价×数量总价,单产量×数量=总产量,速度×时间=路程,工效×时间=工作总量等。
这些常见的基本数量关系,就是等量关系)
③通过问题中不变的量,相等的量确定等量关系.就是用不同的方法表示同一个量,从而建立等量关系。
④借助线段图确定等量关系。
线段图能使抽象的数量关系具体化,使隐蔽的数量关系明朗化。
对于较复杂的题目,同学们可借助线段图找等量关系。
(5)列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点:
①“审”:
要沉着冷静,耐下心去,慢读细读多读,透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系。
②“设”:
设一个恰当的未知数,若有单位一定加单位,表示多项式加单位括号。
③“列”:
根据等量关系列出方程,即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式的单位统一,用题目中的原数;题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用,重复用一个条件会得到恒等式,解不出来。
④“解”:
解出方程,一定在草纸上一步步认真计算,先化简往往会简化计算。
⑤“验”:
检验两方面,一是解得是否正确,用代入法;二是是否符合实际情况。
⑥“答”:
写出答案,一定要答完整,有单位要加单位。
注意:
应用题分类只是帮助同学们理解记忆,切不可死记题型,生搬硬套,实际上法无定法,要多加练习,培养分析问题解决问题的能力,熟练掌握列方程解应用题的一般方法。
(6)解应用题关键与核心:
根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系(这是关键一步)。
就是抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程。
核心是设出适当未知量,根据关系表示出其它量,表示出等量关系中的各个部分,从而列出方程。
(8)实际问题的常见题目类型:
基本量、基本关系、等量关系:
①“和、差、倍、分类问题”:
弄清和谁比,比谁多,比谁少
增长量=原有量×增长率,现有量=原有量+增长量
②“等积变形问题”:
锻造前的体积=锻造后的体积
长方体的体积=长×宽×高,圆柱的体积=底面积×高
③“打折利润问题”:
利润是和成本比的
利润=售价-进价,利润率=,售价=标价×折扣
④“行程问题”:
(相遇问题和追及问题)
路程=时间×速度,时间=,速度=
(注意单位:
路程——米、千米;时间——秒、分、时;速度——米/秒、、千米/小时)
⑤“销售问题”
总价=单价×数量,总钱数=各部分钱数和.
⑥“利率(息)问题”
本息和=本金+利息,利息=本金×利率×时间(期数).
⑦“工程问题”
工作总量=工作时间×工作效率,工作总量=各部分工作量的和.
⑧数字问题(包括日历中数字规律)
⑨比例分配问题
⑩调配问题
解题思路:
1、审——读懂题意,找出等量关系。
2、设——巧设未知数。
3、列——根据等量关系列方程。
4、解——解方程,求未知数的值。
5、答——检验,写答案(注意写清单位和答话)。
6、练——勤加练习,熟能生巧。
触类旁通,举一反三。
第一讲行程问题
基本关系式:
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
(2)基本类型
①相遇问题:
快行距+慢行距=原距
②追及问题:
快行距-慢行距=原距
③航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
顺速–逆速=2水速;顺速+逆速=2船速
顺水的路程=逆水的路程
注意:
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静水速)不变的特点考虑相等关系。
常见的还有:
相背而行;环形跑道问题。
【经典例题】
例1、甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
例2、某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回,到达A、B两地之间的C地,一共航行了7小时,已知此船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米,求A、B两地之间的路程。
一、相遇问题
A.基础训练
1.小李和小刚家距离900米,两人同时从家出发相向行,小李每分走60米,小刚每分走90米,几分钟后两人相遇?
2.小明和小刚家距离900米,两人同时从家出发相向行,5分钟后两人相遇,小刚每分走80米,小明每分走多少米?
3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行,王强每分行60米,赵文每分行80米,王强出发3分钟后赵文出发,几分钟后两人相遇?
4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行,甲车先出发,每小时行60千米,1小时后乙车出发,每小时行40千米,乙车出发几小时两车相遇?
5.两村相距35千米,甲乙二人从两村出发,相向而行,甲每小时行5千米,乙每小时行4千米,甲先出发1小时后,乙才出发,当他们相距9千米时,乙行了多长时间?
6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行,甲比乙每小时多行1千米,5小时后二人相遇,求两人的速度。
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