高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面的位置关系基丛点练理Word下载.docx
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(A)若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线
(B)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
(C)若a,b不同在平面α内,则a与b异面
(D)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
由异面直线的定义可知选D.
3.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( C )
(A)当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件
(B)当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
(C)当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
(D)当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
C中,当m⊂α时,若n∥α,则直线m,n可能平行,可能异面;
若
m∥n,则n∥α或n⊂α,所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件.
4.(xx江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( D )
(A)相交或平行(B)相交或异面
(C)平行或异面(D)相交、平行或异面
依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
5.(xx陕西质量检测)在正四棱柱ABCDA′B′C′D′中,AB=1,AA′=2,则AC′与BC所成角的余弦值为( C )
(A)(B)(C)(D)
由题意知,∠AC′B′即为AC′与BC所成的角,连接AB′,在
Rt△AB′C′中,AC′=,B′C′=1,
故cos∠AC′B′=.
6.(xx济南一模)在正四棱椎VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成的角的大小为 .
如图,设AC∩BD=O,连接VO,因为四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.
答案:
7.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线MN与AC所成的角为60°
.
其中正确的结论为 (注:
把你认为正确的结论序号都填上).
由题图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且此角为60°
③④
8.(xx揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为 .
如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,
因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,
则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,
AD1==a.
所以,在△AB1D1中,由余弦定理得
cos∠AB1D1===,
所以∠AB1D1=60°
60°
9.A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:
直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
(1)证明:
假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.
(2)解:
取CD的中点G,连接EG,FG,则EG∥BD,
所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.
在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°
即异面直线EF与BD所成的角为45°
能力提升练(时间:
15分钟)
10.(xx四川雅安考试)下列说法错误的是( D )
(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直
(C)如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直
(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行
选项A,B,C均正确,故排除.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行,D错误.故选D.
11.(xx云南师大附中适应性考试)三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°
∠BAC=90°
且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为( D )
(A)1(B)(C)(D)
如图所示,把三棱柱补成四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设AB=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=a,A1D1=a,所以sin∠A1BD1=.
12.(xx台州一模)以下四个命题中:
①不共面的四点中,任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相连的四条线段必共面.
正确命题的个数是( B )
(A)0(B)1(C)2(D)3
①显然是正确的,可用反证法证明.②若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面.③如图,显然b,c异面,故不正确.④空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.
13.四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,AB=PA=2,M,N分别为PA,PB的中点,则MD与AN所成角的余弦值为 .
取CD的中点E,连接AE,NE,MN,易得MN
DE,于是可得MD∥NE,则∠ANE为异面直线AN与MD所成的角,在△ANE中,
AE=,NE=MD=,
AN=PB=,
cos∠ANE=
=
=.
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,E,F四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明:
(1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,
所以EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD.
所以EF,BD确定一个平面.
即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.
又Q∈EF,所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点,
同理,P点也是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,
所以R∈A1C,R∈α且R∈β.
则R∈PQ,
故P,Q,R三点共线.
精彩5分钟
1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断正确的是 .(填所有正确结论的序号)
①MN与CC1垂直;
②MN与AC垂直;
③MN与BD平行;
④MN与A1B1平行.
解题关键:
连接B1C,则点M是B1C的中点,根据三角形的中位线,证明MN∥B1D1.
连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,
所以MN∥B1D1,
因为CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,
所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD,故①②③正确.
又因为A1B1与B1D1相交,
所以MN与A1B1不平行,因此④错误.
①②③
2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有 条.
构造平面将问题转化为直线和平面的交点问题.
法一 如图所示,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.即满足条件的直线有无数条.
法二 在A1D1上任取一点P(图略),过点P与直线EF作一平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.
无数
2019-2020年高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面的位置关系课时训练理
1,10,12,14
2,3,7,12
4,5,6,8,9,11,13
基础对点练(时间:
30分钟)
若m∥n,则n∥α或n⊂α,所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件.
4.(xx陕西质量检测)在正四棱柱ABCDA′B′C′D′中,AB=1,AA′=2,则AC′与BC所成角的余弦值为( C )
由题意知,∠AC′B′即为AC′与BC所成的角,连接AB′,在Rt△AB′C′中,AC′=,B′C′=1,
5.正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( D )
(A)0<
θ<
(B)0<
θ≤
(C)0≤θ≤
(D)0<
当P在D1处时,CP与BA1所成角为0;
当P在A处时,CP与BA1所成角为,
所以0<
θ≤.故选D.
如图,设AC∩BC=D,连接VO,因为四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO⊥平
面ABCD,故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.
7.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
8.(xx揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=
∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为 .
10.(xx四川雅安诊断)下列说法错误的是( D )
如图所示,把三棱柱补成四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设AB=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=a,A1D1=a,所以sin∠A1BD1=.
①显然是正确的,可用反证法证明.②若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面.③如图,显然b,c异面,故不正确.④空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.
取CD的中点E,连接AE,NE,MN,易得MN
DE,于是可得MD∥NE,则∠ANE为异面直线AN与MD所成的角,在△ANE中,
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,
1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断正确的是 .(填所有正确结论的序号)
连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,
2.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°
;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上四个结论中,正确结论的序号是 .
把平面展开图还原为正方体,观察正方体进行判断.
把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示,则AB⊥EF,EF与MN为异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,故①③正确.
①③
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