二次函数动点问题解答方法技巧分析Word格式文档下载.docx

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考

③求直线、抛物线解析式

示

③探究动三角形面积是定

④相似三角形

③动三角形面积函

值

点

⑤不等式

数④矩形性质

④探究等腰三角形存在性

①菱形是含60°

的特殊菱形；

①观察图形构造特

①直角梯形是特殊的（一底

△AOB是底角为30°

的等腰三

征适当割补表示面

角是45°

）

角形。

积

②点动带动线动

②一个动点速度是参数字母。

②动点按到拐点时

③线动中的特殊性（两个交

③探究相似三角形时，按对应角

间分段分类

点D、E是定点；

动线段PF

特

不同分类讨论；

先画图，再探究。

③画出矩形必备条

长度是定值，PF=OA）

④通过相似三角形过度，转化相

件的图形探究其存

④通过相似三角形过度，转

似比得出方程。

在性

化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式

⑤探究等腰三角形时，先画

求出a、t的值。

图，再探究（按边相等分类

讨论）

共同点：

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；

④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）

2

1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是

A（4，0），B（

2，0），E（0，8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），

顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平

方向分别向右、向左运动；

与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向

分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间

t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？

若能，求出此时t的值；

若不能，请说

明理由．

[解]

（1）点A（40），，点B（20），，点E（08），关

于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），

F（0，8）．

设抛物线C2的解析式是

yax2

bx

c（a0），

16a

4b

c

，

a

则4a

2b

0，解得

b

6，

8．

所以所求抛物线的解析式是

y

x2

6x8．

（2）由

（1）可计算得点

M（3，1），N（31），．

过点N作NH

AD，垂足为H．

当运动到时刻t时，AD

2OD

8

2t，NH

2t．

根据中心对称的性质

OA

OD，OM

ON，所以四边形

MDNA是平行四边形．

所以

S

△

．

ADN

所以，四边形

MDNA的面积S

（8

2t）（1

2t）

4t2

14t

8．

因为运动至点

A与点D重合为止，据题意可知

0≤t

4．

所以，所求关系式是

8，t的取值范围是0≤t

（3）S

4

t

7

81，（0≤t

4）．所以t

时，S有最大值

81．

3

提示：

也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形

MDNA能形成矩形．

由

（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是

AD，MN，所以当AD

MN时四边形

MDNA是矩形．

所以OD

ON．所以OD2

ON2

OH2

NH2．

所以t2

0．解之得t1

6

2，t2

2（舍）．

所以在运动过程中四边形

MDNA可以形成矩形，此时

2．

[点评]本题以二次函数为背景，

结合动态问题、存在性问题、

最值问题，是一道较传统的压

轴题，能力要求较高。

2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线

c与坐标轴交于

A，B，C三点，

点A的横坐标为

1，过点C（0，3）的直线y

3x

3与x轴交于点Q，点P是线段BC上

4t

的一个动点，PH

OB于点H．若PB5t，且0

1．

（1）确定b，c的值：

b

_____，c

_____；

（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：

B（___，），Q（___，___），P（___，___）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？

若存在，

求出所有t的值；

若不存在，说明理由．

[

解

]

（）b

9

c3

（2）B（4，0）

Q（4t，0）

P（44t，3t）

C

（3）存在t的值，有以下三种情况

P

①当PQ

PB时

PH

OB，则GH

HB

A

O

Q

H

Bx

44t

4tt

②当PB

QB时，得4

4t5t

D

③当PQ

QB时，如图解法一：

过

Q作QD

BP，又PQ

QB

B

5t

BP

5t又△BDQ∽△BOC

BD

BQ

32

则BD

BO

BC

5

57

解法二：

作Rt△OBC斜边中线OE

则OE

△OEB∽△PQB

E

BE，BE

，此时

BE

OB

PB

5t

解法三：

在Rt△PHQ中有QH2

PH2

PQ2

（8t

4）2

（3t）2

（4

4t）2

57t2

32t

32，t

0（舍去）

HQ

又

当t

或

4或32时，△PQB为等腰三角形．

解法四：

数学往往有两个思考方向：

代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。

代数讨论：

计算出△

PQB三边长度，均用

t表示，再讨论分析

Rt△PHQ中用勾股定理计算

PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用

t表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，

1、2

小题不难，第3

小题

是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，

需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检

验，在本题中若求出的

t值与题目中的0

t1矛盾，应舍去

3.

1x与抛物线y

1x26交于

A，B

两点．

如图

，已知直线

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；

）如图

两处．用铅笔拉着这

（

，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在

根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点

P将与A，B构成无数个三角形，

这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？

如果存在，

求出最大面积，并指出此时P点

的坐标；

如果不存在，请简要说明理由．

BP

OxOx

AA

图1

1x2

图2

x1

[解]

（1）解：

依题意得

解之得

y2

y1

x

A（6，3，）B（，42

（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1）

由

（1）可知：

OA35OB25

AB

55

OM

1AB

过B作BE⊥x轴，E为垂足

Ｅ

M

由△BEO∽△OCM，得：

OC

，OC

OE

同理：

OD

5，

5，，

，5

第26题

设CD的解析式为y

kx

b（k

0）

k

AB的垂直平分线的解析式为：

2x

（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点

P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交

点的直线y

m上，并设该直线与

x轴，y轴交于G，H两点（如图

2）．

m

抛物线与直线只有一个交点，

G

1（m

6）

0，

25

23

在直线GH：

P1，

中，

4图2

，，

GH

H0

设O到GH

的距离为d，

1GHd

1OGOH

5d

d5

AB∥GH，

P到AB的距离等于O到GH的距离d．

另解：

过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h

与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C

（x,）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。

最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3

小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

4.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为010，，8，4，顶点C，D在第一象

限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E4，0出发，沿

x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时

间为t秒．

（1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数

图象为抛物线的一部分（如图②所示）

，求P，Q两点的运动速度．

（3）求

（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积

S取最大值时点P

的坐标．

（4）若点P，Q保持

（2）中的速度不变，则点

P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着

时间t的增大而增大；

沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间

t的增大而减小．当点P

沿着这两边运动时，使

∠OPQ

90的点P有

个．

ca

0的顶点坐标是

4acb2

（抛物线yaxbx

2a

4a

s

28

20

10t

图①

图②

[解]

（1）作BF

y轴于F．

A010，，B

8，4

FB

8，FA

6．

10．

P从点A运动到点B用了10秒．

（2）由图②可知，点

又AB1010，101．

P，Q两点的运动速度均为每秒

1个单位．

（3）方法一：

作

PG

y轴于G，则PG∥BF．

GA

AP

FA

，即

10

3t．

OG

t．

OQ

t，

1OQOG

1t410

即S

3t2

19t

20．

19

，且0

≤

≤10