等差数列的前n项和讲课讲稿Word文件下载.docx

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5X5—1

2

d=24,

（2）设等差数列的首项为a1,公差为d,

即5a1+10d=24,所以a〔+2d=£

所以a2+a4=2（a1+2d）=2X乍=譽

nn—1

⑶因为an=a1+（n—1）d,Sn=na1+2d,

又a1=1,an=—512,Sn=—1022,

1+n—1d=—512,①

所以1

n+qnn—1d=—1022,②

把（n—1）d=—513代入②得

n+刃（—513）=—1022,解得n=4,

所以d=—171.

a1+d+a1+4d=19,

⑷由已知可得5X4

5a1+-^d=40,

解得a1=2,d=3,

所以aio=ai+9d=2+9X3=29.

等差数列中基本计算的两个技巧：

（1）利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d,n,an和Sn,—般是利用公式列出基本量ai和d的方程组，解出ai和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.

（2）利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：

若m+n=p+q（m,n,

nai+an

p,q€N+）,贝Uam+an=ap+aq,常与求和公式Sn=2结合使用.

［再练一题］

1.等差数列中：

（1）ai=105,an=994,d=7,求Sn；

（2）an=8n+2,d=5,求S20；

（3）d=3,n=37,Sn=629,求ai及an.

【解】

（1）由an=ai+（n-1）d且ai=105,d=7,

nai+an

128X105+994

得994=105+（n-1）X7,解得n=128,

=70336.

（2）van=8n+2,—ai=10,又d=5,

20X20-120ai+X5=20X10+10X19X5=1150.

na1+an

Sn=2，得

an=a1+12,

37a+an

2=629,

⑶将d=3，n=37,S=629代入an=a1+（n-1）d,

a1=11,解得

an=23.

等差数列前n项和公式在实际中的应

用

为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：

从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元•那么从2011年起的未来

10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比

上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.

【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”

工程的经费都比上一年增加50万元，

所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛an｝，其中，ai=500,d=50.那么，到2020年（n=10），投入的资金总额为

10X10—1

S10=10X500+2X50=7250（万元），

即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.

有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：

（1）问题中所涉及的数列｛an｝有何特征；

（2）是求数列｛an｝的通项还是求前n项和；

（3）列出等式（或方程）求解.

2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？

图1-2-2

【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记

为数列｛an｝，其中ai=1,ai20=120.根据等差数列前n项和公式得S120=

120X1+120

2=7260.

即V型架上共放着7260支铅笔.

［探究共研型］

等差数列前n项和的性

质

探究1设｛an｝是等差数列，公差为d,Sn是其前n项和，那么Sm,®

m—S3m-S2m也成等差数列吗？

如果是，它们的公差是多少？

【提示】由Sm=a1+a2+…•+am，S2m—Sm—am+1+am+2+…+a2m—a1+

md+a2+md+…+am+md—Sm+m2d，

Ir2

同理S3m—S2m—a2m+1+a2m+2+…+a3m—S2m—Sm+md，

所以Sm,S2m—Sm,S3m—&

m也成等差数列，公差为m2d.

探究2设S、Tn分别为两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和，那么bn与12^1

【提示】

anS2n—1

bn—T2n—1

有怎样的关系？

请证明之.

【证明】

an2ana1+a2n-1

bn—2bn—bl+b2n—1

2n—1a1+a2n—1

2S2n-1

2n—1b1+b2n—1T2n—1

（1）等差数列｛an｝的前m项和为

30,前2m项和为100,求数列｛an｝的前3m项的和S3叫

Si7n+2a5

（2）两个等差数列｛an｝,｛bn｝的前n项和分别为S和Tn,已知讯—"

n+3，求^

的值.

【精彩点拨】⑴利用Sm,S2m—Sm,S3m—S^m成等差数列求解.

（2）利用前

n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.

【尝试解答】⑴在等差数列中，Sm,®

m—Sm,S3m—&

m成等差数列，「30,70,

S3m-100成等差数列,

•'

•2X70=30+（S3m—100）,.°

S3m=210.

as2a59a1+a9S965

（2）b5=2b5=9bi+b9=T^=乜.

巧妙应用等差数列前n项和的性质

⑴“片段和”性质.

若｛an｝为等差数列，前n项和为Sn,则Sn,S2n—Sn,S3n—S2n,…构成公差为n2d的等差数列.

⑵项数（下标）的“等和”性质.

（3）项的个数的“奇偶”性质.

｛an｝为等差数列，公差为d.

S偶一S奇=nd;

S偶an+1

S奇an

①若共有2n项，贝US2n=n（an+an+1）；

②若共有2n+1项，贝US2n+1=（2n+1）an+1；

S偶一S奇=—an+1；

=

S奇n十i

（4）等差数列｛an｝中，若Sn=m,Sm=n（mMn）,贝USm+n=—（m+n）.

（5）等差数列｛an｝中，若Sn=Sm（mMn），贝USm+n=0.

3.已知两个等差数列｛an｝与｛bn｝的前n（n>

1）项和分别是Sn和Tn,且Sn:

Tn

a9

=（2n+1）:

（3n—2）,求$的值.

［解］

a92a9a1+a17b92b9bi+bi7

X17

S17

bi+bi7

xi7

Ti7

ai+ai7

2Xi7+i_35_5

3Xi7—2—49—7

等差数列前n项和的最

值

探究i将等差数列前n项和Sn=nai+丄d变形为S关于n的函数后，

该函数是怎样的函数？

为什么？

一nn—id2d

【提示］由于Sn=nai+2d=2n2+ai—2n,

所以当dM0时，3为关于n的二次函数，且常数项为0.

探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？

最小值？

【提示］由二次函数的性质可以得出，当d>

0时，S有最小值；

当dv0

时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，Sn取得最值.

在等差数列｛an｝中，aio=18,前

5项的和—15.

（1）求数列｛an｝的通项公式.

（2）求数列｛an｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.

【精彩点拨】

（1）直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首

项ai和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；

（2）可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.

a1+9d=18，

【尝试解答】

（1）由题意得5X4

5a1+—厂Xd=—15,

.'

an=3n—12.

na1+an12一、372147

⑵Sn=2=2（3n—21n）=?

n—2—8

•••当门=3或4时，

前n项的和取得最小值S3=®

=—18.

等差数列前n项和的最值问题的三种解法：

⑴利用an：

当ai>

0,dv0时，前n项和有最大值，可由an>

0且an+1<

0,求得n的值；

当aiv0,d>

0,前n项和有最小值，可由an<

0且an+i>

0,求得n的值.

dd

（2）利用Sn：

由Sn=2n2+ai—2n（d^0）,利用二次函数配方法求得最值时n的值.

（3）利用二次函数的图象的对称性.

4.在等差数列｛an｝中，ai=25,Si7=S9,求Sn的最大值.

【解】禾I」用前n项和公式和二次函数性质，由Si7=Sa得

i79

25Xi7+2（i7—i）d=25X9+2（9—i）d，解得d=—2,

•0=25n+2（n—i）（—2）=—（n—i3）2+i69,

•••由二次函数性质，当n=i3时，Sn有最大值i69.

1.设3为等差数列｛an｝的前n项和，3=4a3,a7=-2,则a9=（）

A.-6B.-4C.-2D.2

8ai+as

【解析】S8=2=4（a3+a6）,又Ss=4a3,所以a6=0,

又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.

【答案】A

2.记等差数列前n项和为3,若S2=4,9=20,则该数列的公差d等于（）

a1=2,

A.2B.3C.6D.7

2ai+d=4,

解得

【解析】由题意得

d=3.

4ai+6d=20,

【答案】B

3.在等差数列｛an｝中，ai=2,前三项和为15,则前6项和为（）

A.57B.-40C.-57D.40

【解析】由题意知a1+a2+a3=15,—3a2=15,a2=5,

•d=a2—a1=3,—an=3n-1,

62+17

••$=2=57.

4.在等差数列｛an｝中，已知ai=2,d=2,贝US2o=

820=20ai+20；

19Xd=20X2+2°

；

19X2=420.

【答案】420

5.等差数列｛an｝中，aio=30,a20=50.

（1）求通项公式an；

（2）若Sn=242，求n.

【解】

（1）由an=ai+（n—1）d,aio=30,a20=50,

ai+9d=30,

得方程组

ai+19d=50,

ai=12,解得

d=2,

得12n+

2"

-

X2=242,

所以an=2n+10.

解得n=11或n=—22（舍去），所以n=11.

学业分层测评（五）

（建议用时：

45分钟）

［学业达标］

一、选择题

1.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若ai+a3+a5=3,则S5=（）

A.5B.7C.9D.11

【解析】法一:

^ai+a5=2a3,.°

.ai+a3+a5=3a3=3,—a3=1,

5ai+a5

•85=2=5a3=5,故选A.

法二：

tai+a3+a5=ai+（ai+2d）+（ai+4d）=3ai+6d=3,

ai+2d=1,

5X4

.，S5=5ai+~2~d=5（ai+2d）=5,故选A.

2•已知｛an｝是公差为1的等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，若S8=4S4,则

aio=（）

1719

A.yB.qC.10D.12

【解析】t•公差为1,

8X8-1

S8—8a1+2X1=8a1+28,S4=4a1+6.

'

S8—4S4,.8a1+28—4（4a1+6）,解得a1—㊁，

119

.•010—a1+9d—2+9—㊁.故选B.

3.在等差数列｛an｝中，若S9—18,Sn—240,an-4—30,则n的值为（）

Sn—

na5+an-4

—240,

A.14B.15C.16D.17

•n（2+30）—480,.n—15.

4.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3—3，则豊等于（）

3111

A石%D.9

【解析】由题意S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.

S31

S6=3•不妨设S3=1,Sfc=3,贝USfc—S3=2,所以S9—Sfc=3,故S9=6,二

S12—S9=4,故Si2=10,

.鱼_3-S2=10.

5.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1_—11,a4+a6_—6,则当Sn取

得最小值时，n等于（）

A.6B.7C.8D.9

【解析】设公差为d,由a4+a6_2a5_—6,

得a5_—3_a1+4d,解得d_2,

nn—12

••S_—11n+2x2_n2—12n,

•••当门_6时，Sn取得最小值.

二、填空题

6.已知｛an｝为等差数列，3为其前n项和.若a1_6,a3+a5_0,贝US6_

【解析】'

-a3+a5_2a4,.°

.a4_0.

•a1_6,a4_a1+3d,：

d_—2.

6x6—1

•S3_6a1+d_6.

【答案】6

7.已知｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a2_—3,S5_10,则a9的值是.

5x4【解析】法一：

设等差数列｛an｝的公差为d,由S5_10,知S5_5a1+=

d_10,得a1+2d_2,即卩a1_2—2d.所以a2_a1+d_2—d,代入a1+a2_—3,

化简得d2-

-6d+9—0,所以d—3,a1——4.故a9—a1+8d——4+24—20.

5a1+as

设等差数列｛an｝的公差为d,由S5—10，知2—5a3—10,所以

a3=2.

所以由a1+a3—2a2,得a1—2a2—2,代入a1+a2——3,化简得a2+2a2+1

=0,所以a2——1.

公差d—a3—a2—2+1—3,故a9—a3+6d—2+18—20.

【答案】20

8.等差数列｛an｝的前9项的和等于前4项的和，若a1—1，ak+a4—0,则k

9X8

【解析】设｛an｝的公差为d,由3—S4及a1—1得9X1+〒Xd—4X1

4X311

+~2~Xd,所以d——6,又ak+a4—0,所以1+k—1X—石+

1+4—1X—6—0,即卩k—10.

【答案】10

三、解答题

9.一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之

和.

【解】设等差数列｛an｝的公差为d,前n项和为Sn,则

-nn—1

Sn—na1+2d.

10X9

由已知得

10a1+2~d—100,

100X99100a1+2d—10,

11

①X10—②，整理得d——55,

1099

代入①，得勿=

110X109

所以S11O=110ai+2d

1099110X10911

二110X100+2X-50

1099-109X11=110=—110.

100

故此数列的前110项之和为一110.

10.已知等差数列｛an｝中，a1=9,a4+a7=0.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和取得最大值?

【解】

（1）由a1=9,a4+a7=0,

得a1+3d+a1+6d=0,解得d=—2,

•an=a1+（n—1）d—11—2n.

（2）a1—9,d—-2,

Sn—9n+—2—（—2）——n2+10n

——（n—5）2+25,

•••当n—5时，Sn取得最大值.

［能力提升］

1.在项数为2n+1项的等差数列｛an｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n—（）

A.9B.10

C.11D.12

n+1

S奇—

a1+a2n+1

S偶—

na2+a2n

【解析】•••等差数列有2n+1项，

又ai+a2n+1=a2+a2n,

.躡n+1165

冠=~n~=150，

•n=10.

An7n+45

2.已知两个等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为An和Bn,且n+3，则使得an为整数的正整数n的个数是（）

A.2B.3

C.4D.5

anA2n-114n+387n+197n+1+1212

【解析】b"

=====7+,.n=

bnB2n-12n+2n+1n+1n+1

1,2,3,5,11.

【答案】D

3.在等差数列｛an｝中，d=2,an=11,Sn=35,则a1等于.

nn—1nn—1

【解析】因为Si=na1+2d,所以35=na1+2x2=na1+n（n

—1）①，又an=a1+（n—1）d=a1+2（n—1）,

••a+2（n—1）=11②，由①②可得a1—2a1—3=0,

解得a1=3或一1.

【答案】3或—1

4.从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件.

（1）记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为an,求an；

（2）求4月份的总销售量；

（3）按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，社会上就流行，而且销售

量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：

该款服装在社会上流行是否超过10天？

（1）从4月1日起每天销售量依次组成数列{an},（n€{1,2,…，30}）

依题意，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，

an=15n—5（1wnW12）.

a13，a14，a15，…，a3o是首项为a13=a12—10=165，公差为一10的等差数

列，

••an=165+（n—13）（—10）=—10n+295（13=n<

30），

15n—51WnW12，n€N+，

•'

an=

—10n+29513<

nW30，n€N+.

（2）4月份的总销售量为

1210+175

18X17X—10

+18X165+2=25