代数几何综合的题目Word下载.docx

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∴△ABO是等腰直角三角形.

∴∠AOB4=5°

.

∵∠yOC=45°

∴∠AOC（=90°

-45°

）+45°

=90°

.

∴AO⊥CO.

∵C'

O'

是CO平移得到,

∴AO⊥C'

∴△OO'

G是等腰直角三角形.

∵射线OC的速度是每秒2个单位长度

∴OO'

=2x.

∴其以OO'

为底边的高为x.

∴点G的坐标为（3,3）.

设抛物线表达式为y=ax2+bx,

整理,得x2-8x-10=0,

解得x1=4-,x2=4+,

此时,点P的坐标为（4-,-2）或（4+,-2）,

综上所述,点P的坐标为（4-,2）或（4+,2）或（4-,-2）或（4+,-2）时,△POB的面积S=8.

【技法梳理】

（1）判断出△ABO是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°

然后求出AO⊥CO,再根据平移的性质可得AO⊥C'

从而判断出△OO'

G是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解;

（2）求出OO'

再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标,然后设抛物线表达式为

y=ax2+bx,再把点B,G的坐标代入,利用待定系数法求二次函数表达式解答;

（3）设点P到x轴的距离为h,利用三角形的面积公式求出h,再分点P在x轴上方和下方两种情况,利用抛物线表达式求解即可.

举一反三

（第1题）

【小结】本题是二次函数、反比例函数综合题型,主要利用了等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理,待定系数法求二次函数表达式,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,要注意分情况讨论.

类型二几何图形为背景

典例2（2014·

湖北荆门）如图

（1）,已知:

在矩形ABCD的边AD上有一点O,OA=,以O为圆心,OA长为半径作圆,交AD于点M,恰好与BD相切于点H,过点H作弦HP∥AB,弦HP=3.若点E是CD边上一动点（点E与C,D不重合）,过点E作直线EF∥BD交BC于点F,再把△CEF沿着动直线EF对折,点C的对应点为G.设CE=x,△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.

（1）求证:

四边形ABHP是菱形;

（2）问△EFG的直角顶点G能落在☉O上吗?

若能,求出此时x的值;

若不能,请说明理由;

（3）求S与x之间的函数表达式,并直接写出FG与☉O相切时,S的值.

（1）

（2）

解析】

（1）连接OH,如图

（1）.

∵AB∥HP,∠BAD=90°

∴AQ⊥HP.

而AM是直径,

∴∠HOQ6=0°

则∠OHQ3=0°

∠APH=60°

又BD与☉O相切,

∴∠QHD9=0°

-∠OHQ6=0°

∴∠APH=∠QHD.

∴AP∥BH.

又AB∥HP,

∴四边形ABHP是平行四边形.

由AB⊥AM,AM是直径知AB是☉O的切线,而BD也是☉O的切线,

∴AB=BH.

∴四边形ABHP是菱形.

（2）点G能落在☉O上,如图

（1）.

方法一:

过C作射线CR⊥EF交EF于点R,交AD于点M1,交BD于点R1,交AP于点P1,则C关于EF对称点G在射线CR上.

当点G落在M1上时,M1E=CE=x,AB=CD=HP3,=AD=AB·

tan60°

=3,ED=CD-CE3=-x.

∴M1D=.

而MD=AD-AM=,

∴M1与M重合.

∴M在CP1上,则MP1⊥AP,而MP⊥AP.

∴P与P1重合,这时射线CR与☉O交于点M,P.

由AP∥BD,CP⊥AP,CR1=PR1,知C与P关于BD对称.

由于点E不与点D重合,故点G不可能落在P点.

∴点G只能落在☉O的M点上,此时x=2.

方法二:

连接CM,PM,如图

（1）,由

（1）知∠AMP∠=APH=60°

∴∠CMD∠=AMP6=0°

∴C,M,P三点共线.

∵∠BDA=30°

∴CM⊥BD.

而BD∥EF,

∴CM⊥EF,点C关于EF的对称点G落在CP上.

又点P到BD的距离等于点C到BD的距离（即点A到BD的距离）,EF与BD不重合,∴点G不能落在点P,可以落在☉O上的点M.

当点G落在☉O上的点M时,ME=CE=,x

∴点G落在☉O上的点M,此时x=2.

方法三:

证法略.

提示:

过C作C'

P⊥AP于点P'

交BD于点R'

可求CP'

=2CR'

=3,PM+CM3=,则

CP'

=CM+M,P从而C,M,P三点共线,x的值求法同上.

（3）由

（2）知:

①当点G在CM上运动时,0<

x≤2,

技法梳理】1）连接OH,可以求出∠HOD6=0°

∠HDO3=0°

从而可以求出AB=3,由HP

∥AB,HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形,再根据切线长定理可得BA=BH,即可证到四边形

ABHP是菱形.

（2）当点G落到AD上时,可以证到点G与点M重合,可求出x=2.

（3）当0≤x≤2时,如图

（1）,S=S△EGF,只需求出FG,就可得到S与x之间的函数表达式;

当2<

x≤3时,如图

（2）,S=S△GEF-S△SGR,只需求出SG,RG,就可得到S与x之间的函数表达式.举一反三

2.（2014·

湖北孝感）如图,在半径为6cm的☉O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一

点,且∠D=30°

下列四个结论

;

④四边形ABOC是菱形.

①OA⊥BC;

②BC=6cm;

③其中正确结论的序号是（）.

（第2题）

A.①③

C.②③④

D.①③④

B.①②③④

【小结】综合考查矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°

角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识,综合性非常强.

类型

（1）求a,b,c的值;

求圆心P的

求证:

在点P运动的过程中,☉P始终与x轴相交;

（3）设☉P与x轴相交于M（x1,0）,N（x2,0）（x1<

x2）两点,当△AMN为等腰三角形时,

纵坐标.

3.（2014·

湖南湘潭）△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC,

（1）求证:

△BDF∽△CEF;

（2）若a=4,设BF=m,四边形

ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当

m为何值时

S取最大值;

（3）已知A,D,F,E四点共圆

已知,求此圆直径.

（第3题）

参考答案

真题精讲】

在Rt△EMN中,由勾股定理,得

∴NF=CF.

∵EN=C,E

∴直线EF为线段CN的垂直平分线,即点N与点C关于直线EF对称.故命题②正确;

命题③错误.理由如下:

由题意,点F与点C（4,3）不重合,所以k≠4×

3=12,故命题③错误;

命题④正确.理由如下:

为简化计算,不妨设k=12m,则E（4m,3）,F（4,3m）.

设直线EF的表达式为y=ax+b,则有

令x=0,得y=3m+3,

∴D（0,3m+3）;

令y=0,得x=4m+4,

∴G（4m+4,0）.

如图,过点E作EM⊥x轴于点M,则OM=AE4=m,EM3=.在Rt△ADE中,AD=OD-OA3=m,AE=4m,由勾股定理,得DE=5m;

在Rt△MEG中,MG=OG-O（M4=m+4）-4m=4,EM=3,由勾股定理,得EG=5.

∴k=12m=1,故命题④正确.

综上所述,正确的命题是②④.

2.D解析:

∵点A是劣弧的中点,OA过圆心,

∴OA⊥BC,故①正确;

∵∠D=30°

∴∠ABC=∠D=30°

∴∠AOB=60°

∵点A是劣弧的中点,∴BC=2CE.

∵OA=O,B

∴OB=AB6=cm.

故③正确;

∵∠AOB=60°

∴AB=OB.

∵点A是劣弧的中点,∴AC=AB.

∴AB=BO=OC=CA.∴四边形ABOC是菱形.故④正确.

【课后精练】

2

1.

（1）把点A（-2,0）,B（4,0）分别代入y=ax+bx-3（a≠0）,得

∴PB=6-3t.

由题意得,点C的坐标为（0,-3）.

在Rt△BOC中,BC==5.

如图

（1）,过点Q作QH⊥AB于点H.

（第1题

（1））

∴QH∥CO.∴△BHQ∽△BOC.

（3）设直线BC的表达式为y=kx+c（k≠0）.把B（4,0）,C（0,-3）代入,得

3.

（1）∵DF⊥AB,EF⊥AC,

∴∠BDF=∠CEF=90°

∵△ABC为等边三角形

∴∠B=∠C=60°

∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,

∴△BDF∽△CEF.

（第3题

（1））

∴当m=2时,S取最大值,最大值为3.∴S与m之间的函数关系为

当m=2时,S取到最大值,最大值为3.（3）如图

（2）,

（第3题

（2））

∵A,D,F,E四点共圆,

∴∠EDF=∠EAF.

∵∠ADF=∠AEF=90°

∴AF是此圆的直径.

类型一

1.（2014·

云南昆明）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax*12+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-2,0）,B（4,0）两点,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式;

（2）点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?

（3）当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK∶S△PBQ=5∶2,求点K坐标.