11 拉普拉斯方程与泊松方程Word文档格式.docx

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1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为

，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。

文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。

　　==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==

　　若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式

，即可导出静电场的泊松方程：

，

式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×

10-12法／米。

在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程

。

在各分区的公共界面上，V满足边值关系　　

式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。

边界条件和解的唯一性

　　为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。

有两类基本的边界条件：

给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；

给定边界面上各点的自由电荷

，叫做诺埃曼边界条件。

　　边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。

　　除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。

各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程

　　在SI制中，静磁场满足的方程为

式中j为传导电流密度。

第一式表明静磁场可引入磁矢势r）描述：

　　在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j0的区域里，磁矢势满足的方程为

　　选用库仑规范，墷•r）=0，则得磁矢势r）满足泊松方程

式中纯数μr为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×

10-6亨／米。

在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程　　

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。

对比静电势的解，可得矢势方程的解。

　　参考书目

　　郭硕鸿著:

《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。

　　J.D.杰克逊著，朱培豫译：

《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。

（J.D.Jackson，ClassicalElectrodynamics，JohnWilye&

Sons，NewYork，1976.）

拉普拉斯方程与泊松方程

实际上在很久以前读论文的时候就经常遇到拉普拉斯方程和泊松方程，每次都是不求甚解。

最近在看利用梯度域的方法来处理二维图形问题，又遇到了拉普拉斯方程与泊松方程。

实在不能忍了，就去维基上搜了一下，彻底弄清了这两个方程的神秘面纱。

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拉普拉斯方程（Laplace'

sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。

因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。

求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。

定义

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：

上面的方程常常简写作：

或

其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：

其中Δ称为拉普拉斯算子.

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数f（x, 

y, 

z），即：

则该方程称为泊松方程。

拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。

偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 

Laplaceoperator 

或简称作 

Laplacian。

拉普拉斯方程的狄里克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。

为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：

固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄里克雷问题的解。

拉普拉斯方程的诺依曼型边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。

从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。

拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。

任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。

这种非常有用的性质称为叠加原理。

可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

三维拉普拉斯方程

基本解

拉普拉斯方程的基本解满足

其中的三维δ函数代表位于的一个点源。

由基本解的定义，若对u 

作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么

由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r 

相关的解中。

如果我们选取包含点源、半径为a 

的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理

求得在以点源为中心，半径为r 

的球面上有

所以

经过类似的推导同样可求得二维形式的解

[编辑]格林函数

格林函数一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V 

的边界S 

上还满足一定的边界条件的基本解。

譬如，可以满足

现设u 

为在V 

内满足泊松方程的任意解:

且u 

在边界S 

上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到

un 

和Gn 

分别代表两个函数在边界S 

上的法向导数。

考虑到u 

和G 

满足的条件，可将上式化简为

所以格林函数描述了量f 

和g 

对（x'

y'

z'

）点函数值的影响。

格林函数在半径为a 

的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld,1949）：

距球心ρ的源点P 

的通过球面的“反射镜像”P'

距球心

需要注意的是，如果P 

在球内，那么P'

将在球外。

于是可得格林函数为

式中R 

表示距源点P 

的距离，R'

表示距镜像点P'

的距离。

从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。

设ρ、θ和φ为源点P 

的三个球坐标分量。

此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z 

轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。

于是球面内拉普拉斯方程的解为：

式中

这个公式的一个显见的结论是：

若u 

是调和函数，那么u 

在球心处的取值为其在球面上取值的平均。

于是我们可以立即得出以下结论：

任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。