全等三角形动点问题Word文档格式.docx
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解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°
,点D在射线BC上运动时(与点B不重合),如图,线段CF,BD之间的位置关系为_____________,数量关系为______________.请利用图2或图3予以证明(选择一个即可).
例2.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=CB,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE,连接DE、DF、EF.
(1)求证:
△ADF≌△CEF.
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.(3)在此运动变化的过程中,四边形CDFE的面积是否保持不变?
试说明理由.(4)求△CDE面积的最大值.
变式如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②DE长度的最小值为4;
③四边形CDFE的面积保持不变;
④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是( )
A.①②③B.①③C.①③④D.②③④
例3.正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A,点G.E分别在线段AD、AB上(如图
(1)所示),连接DF、BF.
DF=BF
(2)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG、BE(如图
(2)所示),在旋转过程中,请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想.
例4.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
变式如图,在等边△ABC中,AB=9cm,点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动,点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒钟.
(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗?
请你表示出来.
(2)请问几秒钟后,△PBQ为等边三角形?
(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
【拓展提高】
1..两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
DC⊥BE
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°
的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
3.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°
,D为AB边的中点,∠EDF=90°
,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.
当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证
当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
4.如图,AC为正方形ABCD的一条对角线,点E为DA边延长线上的一点,连接BE,在BE上取一点F,使BF=BC,过点B做BK⊥BE与B,交AC于点K,连接CF,交AB于点H,交BK于点G.
BH=BG;
(2)求证:
BE=BG+AE.
5.正方形四条边都相等,四个角都是90°
.如图,已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,点E是直线MN上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)如图1,当点E在线段BC上(不与点B、C重合)时:
①判断△ADG与△ABE是否全等,并说明理由;
②过点F作FH⊥MN,垂足为点H,观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,当点E在射线CN上(不与点C重合)时:
①判断△ADG与△ABE是否全等,不需说明理由;
②过点F作FH⊥MN,垂足为点H,已知GD=4,求△CFH的面积.
6.如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M、N分别为EB、CD的中点,易证:
CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时,CD=BE是否依然成立?
若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕点A旋转到图3位置时,△AMN是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;
若不是,请说明理由.
7.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧做△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°
,则∠BCE=_________度;
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图2,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?
请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的结论.
8.思考与推理如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6cm,CB=CD,AB⊥BC,CD⊥AD,∠BCD=120°
.∠PCQ=60°
,两边分别交线段AB、AD于点P、Q,把△PBC绕点C顺时针旋转120°
得到△MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明(△PBC与△MDC除外).
探究与应用在上边的条件下,若∠PCQ绕顶点C在∠BCD内转动,两边始终与线段AB、AD相较于点P、Q,试探究在转动过程中△APQ的周长是否变化,若不变,求它的周长;
若变化,请说明理由.
9.问题情境:
如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°
,AD⊥BC于点D,可知:
∠BAD=∠C(不需要证明);
特例探究:
如图2,∠MAN=90°
,射线AE在这个角的内部,点B、C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:
△ABD≌△CAF;
归纳证明:
如图3,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:
△ABE≌△CAF;
拓展应用:
如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为______________.
10.如图①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°
,BC=2,AD是BC边上的高.作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,且DE=BC,且连接AE、BG.
(1)试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°
,或小于90°
),DG、DE分别交AB、AC于点M和N(如图②),则
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,请予以证明;
如果不成立,请说明理由.
11.如下图,已知正方形ABCD中,边长为10厘米,点E在AB边上,BE=6厘米.
(1)如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPE与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPE与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿正方形ABCD四边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇?
12.
(1)操作发现:
如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?
并证明你发现的结论.
(2)类比猜想:
如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与
(1)相同,猜想AF与BD在
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?
并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?
若不成立,是否有新的结论?
并证明你得出的结论.
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