学而思九年级数学教材汇编Word文档下载推荐.docx

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一次函数k2k2的图像对一切有意义的k恒过一定点，并求这个定点。

解由一次函数得（kpy=（2k-1）x-（k-10）,整理得

（2x-y-1）k-x-2yFn。

因为等式对一切有意义的k成立，所以得

x二

5

2x-y-1=019

彳y=竺

x2y-10=0,解得5

<

1219]

1219

y=

5，5时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定

例3:

已知m、n、c为常数，

解用1-x代换原方程中的

mf（x）nf（-x）=c（x1）.②

22

q_n①得mf（x）-nf（x）二mcxncxmc-nc.c*mnxm-n

f（x）二

m2「n2

_n2工0，并且mf（x—1）+nf（1—x）=cx,求f（x）。

x，得mf（X"

）•nf（x）=C（1-X）.①用x-1代换原方程中的X,得

因为m-n=0，所以

，所以

cc

f（x）x

m—nm+n

f（x）二mx（1-x）二m

例4:

如图，设m

f（X）在0,11上的最小值为

所以

1

（、Jf（0）=—（m^1）.

g（m）=tm

J

（1）=m（0cm<

d）.

g（m）1垃]

因此m在儿上为递减函数；

丄X」

mm因为当m_1时,

m-l_0,f（x）

m为递增函数,

f

（1）=

m-一

m）

.1m.

m

故g（m）的最大值为g

（1）"

.

X2-4

例5:

画函数

的图像。

x=0x=0x2_4=0

一切实数。

X-2,XV-2;

2_x,—2cxc0;

y=o

2x,0岂x：

2

—x—2,x2

g（m）_m在0,1上为递增函数,

X=-2,将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为x=-2的

例6:

一次函数y=也—k（k1）图像交X轴于A点，将此直线沿直线y=X翻折交y轴于B点，这两条

直线相交于P点，且四边形OAPB的面积为3,求k的值。

解设点P坐标为（t，t），又PAP与.OBP是翻折而成，所以Soap面积是四边形

3

OAPB的一半

等于2。

设y=0代入y=収-K得x

113

SOAPOAPC1t,

OAP222

"

在y=kx-k上，代入得3=3k-k,

t二3,即点

（诃由

P（3,3）.因点P

一、填空题

1•设y=（k2）x是反比例函数，则k=

象限时；

当x0时，y随x增大而

亠|x，

;

其图像经过第

2•两个一次函数y=3x12,7

3•等腰三角形一个底角的度数记作值范围是

y轴所围成的三角形面积是

2的图像与

y，顶角的度数记作x,将y表示成x的函数是

，其中X的取

_a“

2的图像与直线

5•已知四条直线"

论一3、八一1、八3

y

4.如果函数

y=3x-2平行，则a=。

、x^1所围成的车边形的面积是12,则m二

6•—次函数y=b的图像经过点p（1,2）且与x轴交于点A，与y轴交于点B。

线段0B的长为

O

SnNPAO=遲

7•已知一次函数

8•如果把函数y

y=kxb中，若x的值每增加4,y的值也相应增加8,则k二=2x的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是

4n2

y=（3n-1）（2n1）x3,则n的值为

9•已知一次函数

10若直线y=（mT）x•m-5不经过第二象限，则m的取值范围是

、解答题

11•求证：

不论k为何值，一次函数（2kT）x-（k•3）y-（k-⑴=0的图像恒过一定点。

12•某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润•已知这种商品每提高价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获

利最大•应把售出价定为多少元?

y=ax（1-x）（a0,0_x_1）

1.

y（k0）

x的图像分

函数a的最小值为

2•如图，正比例函数y=x和y=ax（a0）的图像与反比例函数

别交于A点和C点。

若直角三角形AOB和直角三角形C°

D的面积分别为'

和S，

则色与S2的大小关系是

3.点A（-4,0）、B（2,0）是平面直角坐标系中的两定点,件的直角三角形ABC或画出个。

y=-丄x+2

C是2图像上的动点，则满足上述条

4.直线ax+by+c=0（ab>

0，ac>

0）经过象限。

5.—个三角形以A=（0,0）、B（1,1）及C（9,1）为三个顶点，一条与x轴相垂直的直线将该三角形划分成面

积相等的两部分，则此直线的解析式为

y—

6.已知函数x及y=-X•4,则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积

为。

7.双曲线x与一次函数y=-也4,的图像有两个不同的交点，贝yk的取值范围是。

k1

y（k=0）ykx-4k

8.已知反比例函数x，当x时y随x的增大而增大，则一次函数2的图像经过

象限。

9.已知实数x、y满足4x・3y-12=0,则a二xy的取值范围是。

2m+152丄m

yxyx

10.—次函数44与33的图像在第四象限内交于一点，则整数m二。

二、解答题

11.设直线y=2（xT）与直线y=-2以-5）相交于点a，它们与x轴的交点为B,C，求ABC中BC边上的中线所在的直线方程。

12.已知函数f（x）=（m-2）x•2m-3,口）求证：

无论m取何实数，此函数图像恒过某一定点；

⑵当x在

1乞x乞2内变化时，y在4空y乞5内，求实数m的值。

13•若对于满足°

乞的一切实数x,函数y=（2k）x-3k7的值恒大于o,求实数k的取值范围。

14.A、B两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。

甲店需45吨，乙店需75吨，

丙店需40吨。

从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B厂到三商店每吨运费分别为4元、

8元、15元，如何分配使总运费最省？

在同一直角坐标系中

的大小关系

为3乞x^5时，有y

1.函数y=3x_b与y=ax.2的图像关于直线y=b对称则a=

2.三个一次函数y二11、y22、y33

是

3•已知函数

的图像如图所示，分别为直线h、l2、l3，则k1、k2、也y=（a-2）x-3a“，当自变量x的取值范围既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是

4.已知a<

bCC,则函数y=x—a+x—b+x—c的最小值是。

5.-次函数y"

（x）满足ff-f（x）LFx・7，则f（x）二

abbcca

===p,

6.已知abc=0并且cab，则一次函数丫二卩匕.1）的图像一定通过象限。

7•已知一次函数y=axb（a为整数）的图像经过点（98,19），它与X轴的交点为（p,0），与y轴的交点为（0,q）.若P为质数，q为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是个。

-1

8.把函数x的图像沿x轴向平移个单位，再沿y轴向

x—1

平移个单位，得到2—X的图像。

9.方程4x_y—6x•y•2=0表示成两个一次函数是。

10.—次函数y=ax，b的图像经过点（10,13）,它在x轴上的截距是一个质数，在y轴上的截距是一个

正整数，则这样的函数有个。

Sk

11.如图，设直线kx•（k•1）y-1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积是S2SsS999.

12.在直角坐标系中有一个矩形ABCD，点B与坐标原点重合，BA在y轴的正半轴上，BC在x轴的正半轴上，点P在CD边上，直线y=kx-3经过点p，且与x轴交于点Q。

若BA・BC=10，BALBC=24,，adp的面积是PQC的5倍，求直线的解析式。

13•在相距为L的两个车库里，分别有mi、m2辆汽车，拟在a、B两个车库之间设修理站以检修车辆。

若每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最小，修理站应设在何处？

14.已知直线Ll：

y=4x和点P（6,4）,，在直线Ll上求一点Q,使过PQ的直线与直线Ll以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。

第二讲一元二次方程的解法知识点、重点、难点

一兀方程中八-元一次方程的解法较简華’一般的匚次■，用次方程的求根公式很第*四次以上的方程在理论上又无求根公式-因此L元二次方程的解迭占竹重蟹的地位•在数学竟赛中•和，尤二次方祥冇尤的间题很:

务•知识性*粽合也技巧性都较燧这就哽求我们不仅宾熟练地芈握一尤二次方程的皋本解法和堆本理论，血H要在此堆础上能灵活地、综"

地运川这业知识和理论以及貝:

他有关的知识*

一元二猷方程常用的解袪有主

1.因式分解法•它基于这样的原理:

=1,并…，韵中至少有一个为零.

2.配方法•它源T幵平方法：

f-=M心35=土品

3.公式挂■对于一元二欧方程衣环+加十七=05工力・当也A0时由配方法町导出它的两根为

巧2=_咅士夕一4旅其屮山=沪―4x.

2日

配方法是公我:

法的丿京理和依据•【I乂在求hiXlii小值、不尊式证明、代数式求值等方仰有广泛应川，冈此应熟练学握配方的方法和技巧•

存字母系数的一元二次方程的讨论，导致r删订的『哑力化•但是”如果能灵活运用判别式和肪达述理筹知识，就能在解懸申想出-些绝妙的解i丸

2

例1：

解方程（2x—°

—32x—A2"

解原方程可坊成|2x-l|Jg|茁11+2=0,

得加一]|—1）（|詆一1【一2〉=0.

由|2才一-1|=1▼得.1]=0T业=】+

勒1

由|2.r—1|=2,得心=「才厂二石.

原方程的根为=0*—1*J"

”r~tr4——*

解方程

x—2x—1—4=0.

解^Zr-1=M打-■4*^4为分畀点把数轴划分为两个区间•分別求絲

乙£

⑴当吋■则也一1V仏原方程町以写成L+Z,r-5=6

■W

所以才=—】r百成h=—1+虑〔會去”

4｝当k亠£

时*则盼I鼻0•乐方段可以呵成r:

-2j-3=0.

所以3或』二一M侖去）.

综上所述*原方裡的根为Q--1—屈”吧=3.

例3:

解关于x的方程（a-bc）x2ax（aF-c）=°

網

（1）若4亠』+「=4则原方桎成为加才+3中内一C5

1若门=0*则c—b—0*原方程为0工+0=。

■才可为一切实数.

2若祇工0•则m宀出

（2）若d—庁十亡工。

*则原方程成为（x+1）[（a*^d4-c）才卜仏+—小]=0.

/j*»

X*h—f

得驻=一1’吐・

a—也十匸

例4:

已知首项系数不相等的两个关于X的二次方程

（a-1）x2-（a22）x（a22a）=0

（b-1）x2-（b22）x（b22b）=0

2.b

ab

b

^^ba

、是正整数）有一个公共根，求a+b的值。

解由题意知心\2朴利用因式分解可解鮒上述炯个方程的根分别为

心+2.占十2

心*0、r—;

■

a一iti―J

因为阴卜方程有■个公共报•则必有

b±

2（fu±

Z匸_［哄世二］

=b.

上述两式椰化冊为

即

所％由41

ub—a—b—2=0.（a-n<

h-］）=3.

b都星大于1的正號数■得

丿U或f“

b—1—3\b—1=1,

解之得

严=2或严

/j—1\b=2*

故

d土吃=沖护=4?

•节=256.

若二次方程x2px2q=o有实根，其中p、q为奇数。

证明：

此方程的根是无理数。

证明由题设北皿为实根•所以厶=缸护一勾）/0.但，是奇数"

护工稣A>

0*^[^=—p±

vp—2q.若，:

n、p是冇理数■则6.—4<

pL~2r/）捷完全卩方数.于是尸一脚也是完全平方数■设尸一如=X仏为奇数人山于扒氏绘奇如则叶匸p—k均为偶数•不妨设/>

+方=温4p-k=2n（m^为整救人刚2fj=f/—k=斗FW7=2册甘与（7是奇数矛猜.所以町*此不呵能足有理数+又由菇、卫是实数•从而环、花是无理数根•

222

例6:

解关于x的方程：

2x（-t）x-2tx（t-t）=°

解按字母（降算排列，构展一伞关于t的二険方稈；

f?

-aI+2T+1“十+I）=0*f!

}U-J2）b-（2r+1）]-0.所以/=』或加+1=t.当t^O时、工]=看*j?

=—4is=t~YL\^fV0时.工=勺一.

习题

A卷

一、填空题

1•设方程（m"

1）x_（m1）x^0,当m时，是一元一次方程；

当m时，是一元二次

方程。

2•方程（X•-（X-1）—2，用方法较简捷，其根是。

32

4x=1—一x

3.用公式法解2，其根是。

4.将方程2x+7x+3=0化成a（x+m）（x+n）=°

的形式，可得。

5.若x=1是方程ax+bx+c=0的一个根，则a+b+c=。

6.若方程（m_1）xxmdm——0有一个根为0,则m=。

7.关于X的方程c-4x+4bx—b=0，则x=。

8.若a是方程xbx^0的根，则a•b二。

4-77x2

x4厂

9.已知，则xx1的值是。

10.如果对于任意两个实数a、b，定义a*b=a2b，解方程：

x*（2x）+2*1=0，可得x=^

二、解答题

11.用公式法解（mT）x一2（m2）xm"

1.解方程573x-hx-584=0，则x=。

2.解方程"

沁-仁0，则x=

3.当m时，方程（血+1）x?

*（c-m）x-2血=0有一个根是1。

X_=3432

4.已知x，则x+3x-16x+3x—17=。

5.已知b、c为方程x2bxc=0的两个根，且c=0，b，则b=，c=

6.若J28」0』3是方程x2+ax+b=0的一个根，其中a、b为有理数，则ab=

12

7.若1、2是一元二次方程axbx^0的两个根，则a二。

8.若m是方程ax•bx•a=0（a=0）的一个根，则这个方程的另一个根是。

9.已知二次方程a（x1）（x2）b（x2）（x3）c（x3）（x“二。

有根0与1，则

10.已知关于X的方程（a-1）x-2（a1）x^0恰有一个实根，则a应取值为

11.已知方程x'

-Wx-150=0的一个正根为a，求需中Ja+1+

-a1999-a2000

的值。

12若abc0，在一元二次方程（a-b）x•（b-c）x•（c-a）=0的两个实数根中,

求较大的实数根。

13•证明：

n

2m

是方程mx

也是它的一个根。

1.已知n是正整数，且4n+17n-15表示两个相邻正整数之和，则n

的值有个。

2•方程XX-1+4x-2=0的实根个数是个。

2x+1—x=4_口

3.方程的解是。

4.已知m2+1,n2=n+1（mHn），则m5+n5=。

5.已知关于x的方程axbxc=°

（a=°

）无实根，甲因看错了二次项系数解的根为2、4;

乙因看错了

2b+3c

某项的符号解的根为一1、4，则4的值是。

6.设P=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）,q=（x—1）（x—2）（x—3）（x—4）,则p_q的结果是。

7.方程X-7X+6=0，各根的和是。

8.已知〉、'

是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则:

36的值为。

9.设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2-6x•a=0的两根，当这样的三解形只有一个时，a的

范围是。

10.已知n是正整数，方程xnx（n~1^0，当2时，两根为a2、

b2；

当n=3时，两

根为a3、b3

…；

当

n=100时，两根为a100

（a2-

1）览-1）a3（-

4卜

（1）

a100（

b1的值等于1）。

b100,则代数式

11.若三个整数a、

b、c使得方程axbx^0的两个根为a、

b，求abc的值。

12.已知a、b、c、d是非零实数，c、d是方程x+ax+b=0的两根；

a、b是方程x+cx+d=O的两根，求abcd的值。

13已知ab鼻1，且5a*787643150a*7=0;

a

2—

7b787643150b5=0,求b的值。

2a5-5a42a3-8a2

14•已知a是方程x-3x^0的根，求a1的值。

第三讲一兀二次方程根的判别式

一尤二次方程E+处+心恥工0〉通过配方町以转化为&

+纤=

根据平方根的惡文，十以一加匚$0时•方程才肴实数解.当护一4处益0时・方秤无实数解.我们称//-加「为一元二伙方程的判別式’记柞为、

当△=胪一4«

c>

0时.方程有两亍不相等的实数根.分别为

—&

+v1il

2a'

当色=沪一怙r=0时*方軽和网卩相等的实数根（商称等只称重根）

出△=护一4mV0时•方程无实数根.

反之•亦成立.即如要方程有阿个不相等的实数根’则DA山如果方程打星根』ij如果方程无实数根』（Ii<

0.

根据方程的邦别式△除了判别方程根的情况外，还町确宦某些方程中秦数的值或参数的取值能E殆证明某些忻等戌或条件等武;

解某些方程或方稲组以及求有关函数的赧值问题.其中J1婪辅之以韦迭定理和不筹式（组）的有关知识+

下面麹们適过几个例題柞一些兵悴的分析和说明.

例题精讲例1：

如a、b为实数，证明：

方程（x-a）（x-b）=1有两相异实数根。

证明【由（j"

—a）（x-b}=1.得jr‘一（应+仃）才十应/?

—1=04=3+

占严一仇讪一1）=也历*+4>

乩故谀方程有两相异宜数根.

如果x的一元二次方程（ac-be）x+（be-ab）才（ab-a0=0有两个相等的实数根，证明:

112

——十一=——

aeb

证明因为方程有两牛相曙的宝敕般’所议判别咸二=乩即（bc-ah）--

4（ac—be）（a6—ac）=0.展开幷整理，得（cib十hi—2ctc）J=0*所以必+be=2ac,等贰两边同时除以血-即得-

1x2.lx

2人

设a、b、e为正数，证明：

方程axbx0和a

心"

・・—鼻■.一4鼻JI*一4一・・*』入JS«

■_■«

.■___»

宁』_

/V

be，至少有一个方程有实根。

证明设两个方程的列别式分别为A和去尸/一也“A2=b-

£

一巴_」匕如果第一个方程有实根.则亠孑0.此时有护于尼4二acabLc

竺二理空二_世兰=—賈VQ4[|第二个方程无实数根F反之』I果笫二牛方

ab£

cab^c亍

程有尖根•则亠耳0再此时有于是,=沪一4”电肥”历沪=

-15?

?

0,即第一个方權无案数根.

踪合上述曲种悄况町知，两个方程中至爭有一个方程有实根.

已知二次方程a^bx0（ae=0）有两个异号的实数根m和n，且m"

m，试判断二次方程

ex.（m-n）ax-a=0根的情况。

解I对为沏和"

异>

11/Ji■<

|rn|,所LUwiV0*材A0.

对方程QjJ+