二元一次方程组和一元一次不等式应用题分类汇编教师版Word下载.docx
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识别不等式(组)类应用题的几个标志,供解题时参考.
一.下列情况列一元一次不等式解应用题
1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.
2.应用题仍含有一个不等量关系,但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的,而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断.
用一元一次不等式组解决实际问题的步骤:
⑴审题,找出不等关系;
⑵设未知数;
⑶列出不等式;
⑷求出不等式的解集;
⑸找出符合题意的值;
(行程问题)
1、抗洪抢险,向险段运送物资,共有120公里原路程,需要1小时送到,前半小时已经走了50公里后,后半小时速度多大才能保证及时送到?
解:
设后半小时的速度至少为x千米/小时
50+(1-1/2)x≥120
50+1/2x≥120
1/2x≥70
x≥140
答:
后半小时的速度至少是140千米/小时。
2、爆破施工时,导火索燃烧的速度是0.8cm/s,人跑开的速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区,导火索至少需要多长?
假设导火索长为X厘米
人要跑100米,速度为5m/s,那么人就要跑100/2=20秒,
导火索长为xcm,速度为0.8cm/s,那么导火索燃烧的时间就是X/0.8秒
导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全,就是:
X/0.8》20
就是x》16
(工程问题)
1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成,则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土?
设以后几天内平均每天至少要完成x土方
(6-1-2)x≥300-60
3x≥240x≥80
2.用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水,半小时可以抽完;
如果改用B型抽水机,估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水?
设B型抽水机每分钟抽x吨水,则:
1.1×
30/20=1.65吨
30/22=1.5吨
1.5≤x≤1.65
0.4≤x-1.1≤0.55
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽0.4~0.55吨水
(分配问题)
1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件,若前面每人分4件,则最后一人得到的玩具最多3件,问小朋友的人数至少有多少人?
。
设:
一共有X个小朋友,则玩具总数=3X+4件。
第二次分的时候,前面X-1个小朋友每人得到4件,则一共有4(X-1)=4X-4件。
余下的不足3件,也就是0<
(3X+4)-(4X-4)<
3
化简得0<
-X+8<
3,8>
X>
5
因为小朋友的人数为整数,所以X的取值有2个,分别是6人和7人。
当6个小朋友时,玩具总数22件,前5个每人分4件,最后1人得2件;
当7个小朋友时,玩具总数25件,前6个每人分4件,最后1人得1件。
2、解放军某连队在一次执行任务时,准备将战士编成8个组,如果每组人数比预定人数多1名,那么战士人数将超过100人,则预定每组分配战士的人数要超过多少人?
预定每组x人。
由已知得:
8x+8>
100
解得:
x>
11.5
根据实际情况,解得预定每组分配战士的人数至少12人。
(销售问题)
1、商场购进某种商品m件,每件按进价加价30元售出全部商品的65%,然后再降价10%,这样每件仍可获利18元,又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价;
(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%,剩余商品的售价应不低于多少元?
设进价是x元,
(1-10%)*(x+30)=x+18
x=90
设剩余商品售价应不低于y元,
(90+30)*M*65%+(90+18)*M*25%+(1-65%-25%)*M*y≥90*M*(1+25%)
y≥75
剩余商品的售价应不低于75元
2.
3.水果店进了某中水果1t,进价是7元/kg。
售价定为10元/kg,销售一半以后,为了尽快售完,准备打折出售。
如果要使总利润不低于2000元,那么余下的水果可以按原定价的几折出售?
设按原价的x折出售
所以:
1000×
1/2×
10+1000×
10×
x/10>
=7×
1000+2000
5000+500x>
=9000
5x>
=40
x>
=8
所以至多打8折
(积分问题)
1、某次数学测验共20道题(满分100分)。
评分办法是:
答对1道给5分,答错1道扣2分,不答不给分。
某学生有1道未答。
那么他至少答对几道题才能及格?
因为总共有20道题,一道未答,则总共答了19道题。
设答对X道,则答错(19-X)道题。
根据题意得:
5X-2(19-X)>
=60
7X>
=98
X>
=14
所以,至少答对14题就及格了。
2、在一次竞赛中有25道题,每道题目答对得4分,不答或答错倒扣2分,如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分,至少要答对多少道题目?
设至少需要做对x道题(x为自然数)。
4x-2×
(25-x)≥60
4x-50+2x≥60
6x≥110
X≥19
至少需要做对19道题。
(比较问题)
1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游,甲旅行社说:
如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠;
乙旅行社说:
包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元,至少要多少名学生选甲旅行社比较好?
240*0.6=144240*0.5=120
假定有X个学生就有
240+120x>
144(x+1)
X=4所以至少4人选甲旅行社比较好
2、李明有存款600元,王刚有存款2000元,从本月开始李明每月存款500元,王刚每月存款200元,试问到第几个月,李明的存款能超过王刚的存款。
第x个月,李明的存款能超过王刚的存款
600+500x>
2000+200x
14/3
取x=5
到第5个月,李明的存款能超过王刚的存款
(车费问题)
1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?
解析本题属于列不等式解应用题.
设甲地到乙地的路程大约是xkm,
据题意,得
16<
10+1.2(x-5)≤17.2,
解之,得10<
x≤11
即从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km.
2、某种出租车的收费标准是:
起步价7元(即行驶距离不超过3km都需要7元车费),超过3km,每增加1km,加收2.4元(不足1km按1km计)。
某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。
设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km?
设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm
19-2.4<7+2.4(x-3)≤19
9.6<2.4(x-3)≤12
4<x-3≤5
7<x≤8
此人从甲地到乙地经过的路程是7—8km(不含7千米,含8千米)。
(增减问题)
2、几个同学合影,每人交0.70元,一张底片0.68元,扩印一张相片0.5元,每人分一张,将收来的钱尽量用完,这张照片上的同学至少有多少个?
0.68+0.5x<
=0.7x
0.68<
=0.2x
3.4<
=x
所以至少要4个人
3、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛,已知蜡烛每小时缩短5㎝,几个小时以后,蜡烛的长度不足10㎝?
当y<10时,25-5x<10,
解这个不等式得x>3.
所以3h后蜡烛的长度不足10cm.
(数字问题)
1.有一个两位数,其十位上的数比个位上的数小2,已知这个两位数大于20且小于40,求这个两位数
分析:
这题是一个数字应用题,题目中既含有相等关系,又含有不等关系,需运用不等式的知识来解决。
题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数;
一个相等关系:
个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系:
20<
原两位数<
40。
解法
(1):
设十位上的数为x,则个位上的数为(x+2),原两位数为10x+(x+2),
由题意可得:
10x+(x+2)<
40,
解这个不等式得,1<
x<
3,
∵x为正整数,∴1<
3的整数为x=2或x=3,
∴当x=2时,∴10x+(x+2)=24,
当x=3时,∴10x+(x+2)=35,
答:
这个两位数为24或35。
解法
(2):
设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,
由题意可得(这是由一个方程和一个不等式构成的整体,既不是方程组也不是不等式组,通常叫做“混合组”)。
将
(1)代入
(2)得,20<
11x+2<
解不等式得:
1<
∵x为正整数,1<
3的整数为x=2或x=3,
∴当x=2时,y=4,∴10x+y=24,
当x=3时,y=5,∴10x+y=35.
解法(3):
可通过“心算”直接求解。
方法如下:
既然这个两位数大于20且小于40,所以它十位上的数只能是2或3。
当十位数为2时,个位数为4,当十位数为3时,个位数为5,所以原两位数分别为24或35
方案选择与设计
1.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人,A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元,现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍,那么招聘A工种工人多少时,可使每月所付的工资最少?
此时每月工资为多少元?
设招聘A工种的工人有x人,那么招聘B工种的工人有(150-x)人
∵B工种的人数不少于A工种人数的2倍
∴150-x≥2x ∴x≤50
每月所付工资为600x+1000(150-x)=150000-400x
x越大,150000-400x的值越小,当x取最大值时,150000-400x取最小值
∵x的最大值是50 ∴150000-400x的最大值为
150000-400×
50=130000(元)
招聘A工种的工人50人时,可使每月所付工资最少,最少工资为130000元
2.某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需要,也为了吸引更多的游客,该
园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买年票”的方法。
年票分为A、B、C三种:
A年票每张120元,持票进入不用再买门票;
B类每张60元,持票进入园林需要再买门票,每张2元,C类年票每张40元,持票进入园林时,购买每张3元的门票。
(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
(2)求一年中进入该园林至少多少时,购买A类年票才比较合算。
(1)根据题意,需分类讨论.
因为80<120,所以不可能选择A类年票;
若只选择购买B类年票,则能够进入该园林80-602=10(次);
若只选择购买C类年票,则能够进入该园林80-403≈13(次);
若不购买年票,则能够进入该园林8010=8(次).
所以,计划在一年中用80元花在该园林的门票上,
通过计算发现:
可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买C类年票.
(2)设一年中进入该园林至少超过x次时,购买A类年票比较合算,根据题意,
得{60+2x>120①
40+3x>120②
10x>120③.
由①,解得x>30;
由②,解得x>2623;
由③,解得x>12.
解得原不等式组的解集为x>30.
一年中进入该园林至少超过30次时,购买A类年票比较合算.
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