沪科版数学《二次根式》专训Word格式文档下载.docx

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（3）如图3，在

（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：

PB+PC+PA=BE．

7、如图，在△ABC中，∠ABC=90°

，AB=BC，AC=2a，点O是AC的中点，点P是AC的任意一点，点D在BC边上，且满足PB=PD，作DE⊥AC于点E，设DE=x．

（1）证明：

PE=OB；

（2）若△PDC的面积为y，用a，x表示y，并求当x=2时，y的值；

（3）记m=AP?

PC+x2，证明：

不论点P在什么位置，m的值不变．

8、如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°

）绕着顶点B顺时针旋转60°

，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：

CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

9、已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）如图①，BF垂直CE于点F，交CD于点G，试说明AE=CG；

（2）如图②，作AH垂直于CE的延长线，垂足为H，交CD的延长线于点M，则图中与BE相等的线段是 

，并说明理由．

10、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，O为BC的中点.

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离关系（不要求证明）；

（2）如果点M、N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.

四、综合题

11、 

（1）如图1，已知：

在△ABC中，∠BAC＝90°

，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明:

DE=BD+CE．

（2）如图2，将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=

，其中

为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?

如成立，请你给出证明;

若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：

如图3，D、E是

D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AE

C=∠BAC，试判断△DEF的形状．

12、课本的作业题中有这样一道题：

把一张顶角为36°

的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？

请画示意图说明剪法．

我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：

如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°

的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；

（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）△ABC中，∠B=30°

，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°

，试画出示意图，并求出x所有可能的值．

参考答案

一、填空题

1、315　度．

【考点】全等三角形的判定．

【专题】网格型．

【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=90°

，∠2+∠6=90°

，∠3+∠5=90°

，∠4=45°

．

【解答】解：

由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，

所以∠1+∠7=90°

同理得，∠2+∠6=90°

又∠4=45°

所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=315°

故答案为：

315．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．发现并利用全等三角形是解决本题的关键．

2、　①②③④⑤　．

【考点】全等三角形的判定与性质；

等边三角形的判定与性质．

【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：

△BCE≌△ACD；

②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH；

③由CF=CH和∠ACH=60°

根据“有一个角是60°

的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形；

④∠DCH=∠CHF=60°

，可得FH∥BD；

⑤设AD，BE相较于点O，根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°

，而∠CAD=∠CBE，则∠CBE+∠CDA=60°

，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD=120°

，进而可得AD与BE的夹角为60°

【解答】证明：

（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴∠BCA=∠DCE=60°

，BC=AC=AB，EC=CD=ED，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，

∴∠CBF=∠CAH．

∵∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACH=60°

∴∠BCF=∠ACH，

在△BCF和△ACH中，

∴△BCF≌△ACH（ASA），

∴CF=CH；

（3）∵CF=CH，∠ACH=60°

∴△CFH是等边三角形；

（4）∵△CHF为等边三角形

∴∠FHC=60°

∵∠HCD=60°

∴FH∥BD．

∴AD=BE；

（5）∵∠CAD+∠CDA=60°

而∠CAD=∠CBE，

∴∠CBE+∠CDA=60°

∴∠BOD=120°

∴∠AOB=60°

即AD与BE的夹角为60°

①②③④⑤．

【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；

普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．

二、选择题

3、C【考点】全等三角形的判定与性质；

等腰直角三角形．

【分析】利用点D是斜边BC的中点，可以得到AD⊥BC，而DE⊥DF，得出∠1=∠2；

由等腰直角三角形ABC的性质及∠1=∠2可以证明△ADE≌△CDF；

得出S△ADE=S△CDF，得到S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△CDF+S△ADF=S△ACD=

S△ABC，即可得出结果．

∵AB=AC，点D是BC中点，

∴AD⊥BC． 

∴∠2=90°

﹣∠ADF．

∵DE⊥DF，

∴∠1=90°

∴∠1=∠2．

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠C=45°

又∵点D是BC中点，

∴∠DAC=∠EAD=

∠BAC=45°

∴∠C=∠EAD=∠DAC．

∴AD=CD． 

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（ASA）．

∴S△ADE=S△CDF，

∴S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△CDF+S△ADF

=S△ACD=

S△ABC

=

×

8×

8=16cm2．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质；

熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

4、C【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】①根据等腰三角形性质推出即可；

②根据等腰三角形的判定得出AB=AC，再根据等腰三角形性质推出即可；

③求出△ADB≌△ADC，根据全等推出即可；

④根据等腰三角形性质和全等三角形的性质和判定判断即可．

①或②或③，

理由是：

①∵AB=AC，∠1=∠2，

∴BD=CD；

②∵∠B=∠C，

∴AB=AC，

∵∠1=∠2，

∴BD=CD

③∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°

在△ADB和△ADC中，

∴△ADB≌△ADC（ASA），

④∵由AB=BC和∠1=∠2不能推出BD=CD，∴④错误；

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

5、【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】

（1）要证AF=CG，只需证明△AFC≌△CBG即可；

（2）连接AG，证明△ACG≌△BCG，得出AG=BG，再证出∠D=∠GAD，得出AG=DG，从而证出DG=CF；

（3）延长CG交AB于H，则CH⊥AB，H平分AB，继而证得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE．

（1）∵∠ACB=90°

，AC=BC，CG平分∠ACB，

∴∠CAF=∠CBA=45°

，∠BCG=∠ACG=45°

∴∠BCG=∠CAF=45°

∵∠CBG=∠ACF，AC=BC

∴△BCG≌△CAF，

∴BG=CF；

（2）连接AG，如图1所示：

在△ACG与△BCG中，

∴△ACG≌△BCG，

∴AG=BG，

∴∠GBA=∠GAB，

∵AD⊥AB

∴∠D=90°

﹣∠GBA=90°

﹣∠GAB=∠GAD，

∴AG=DG．

∵由

（1）BG=CF，

∴DG=CF；

（3）如图2，延长CG交AB于H，

∵CG平分∠ACB，AC=BC，

∴CH⊥AB，CH平分AB，

∵AD⊥AB，

∴AD∥CG，

∴∠D=∠EGC，

在△ADE与△CGE中，

∴△ADE≌△CGE（AAS），

∴DE=GE，

即DG=2DE，

∵AD∥CG，CH平分AB，

∴DG=BG，

∵△AFC≌△CBG，

∴CF=BG，

∴CF=2DE．

【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键．

6、【考点】全等三角形的判定与性质；

等边三角形的判定与性质．

（1）直接写出答案即可．

（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；

借助内角和定理即可解决问题．

（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．

（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，

∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，

∴∠ACD=∠ECB；

在△ACD与△ECB中，

∴△ACD≌△ECB（SAS），

∴AD=BE，

故答案为AD=BE．

（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°

证明：

∵△ACE和△BCD是等边三角形

∴EC=AC，BC=DC，

∠ACE=∠BCD=60°

∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；

在△ECB和△ACD中，

∴△ECB≌△ACD（SAS），

∴∠CEB=∠CAD；

设BE与AC交于Q，

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°

∴∠APQ=∠ECQ=60°

，即∠APE=60°

．

（3）由

（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°

；

在PE上截取PH=PC，连接HC，

则△PCH为等边三角形，

∴HC=PC，∠CHP=60°

∴∠CHE=120°

又∵∠APE=∠CPE=60°

∴∠CPA=120°

∴∠CPA=∠CHE；

在△CPA和△CHE中，

∴△CPA≌△CHE（AAS），

∴AP=EH，

∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．

【点评】该题以等边三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点的应用问题；

对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

7、【考点】全等三角形的判定与性质；

【专题】动点型．

（1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°

，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；

解时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论；

（2）根据全等三角形的性质得到DE=OP=x，PE=OB=a，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）根据AP?

PC=（a﹣x）（a+x）=a2﹣x2，代入m=AP?

PC+x2=a2，即可得到结论．

（1）P在AO上，如图1：

∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，

∴BO⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴∠POB=∠DEP=90°

∵PB=PD，

∴∠PBD=∠PDB，

∵∠OBC=∠C=45°

∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，

∵∠PBD=∠PDB，

∴∠PB0=∠DPE，

在△POB与△DEP中，

∴△POB≌△DEP（AAS），

∴PE=BO；

P在OC上，如图2，

∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°

（2）∵△OBP≌△EPD，

∴DE=OP=x，PE=OB=a，

∴

（3）∵AP?

PC=（a﹣x）（a+x）=a2﹣x2，

∴m=AP?

PC+x2=a2，

即不论点P在什么位置，m的值都是a2．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题．

8、【考点】全等三角形的判定与性质．

（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；

（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得∠DHF=∠CBF=60°

，从而求解．

【解答】

∵在△CBF和△DBG中，

∴△CBF≌△DBG（SAS），

∴CF=DG；

（2）解：

∵△CBF≌△DBG，

∴∠BCF=∠BDG，

又∵∠CFB=∠DFH，

又∵△BCF中，∠CBF=180°

﹣∠BCF﹣∠CFB，

△DHF中，∠DHF=180°

﹣∠BDG﹣∠DFH，

∴∠DHF=∠CBF=60°

∴∠FHG=180°

﹣∠DHF=180°

﹣60°

=120°

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．

9、【考点】全等三角形的判定与性质．

（1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°

，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC与三角形CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）由CD为角平分线，且∠ACB为直角，确定出∠ACD=∠BCD=45°

，再由AC=BC，CD=CD，利用SAS得到三角形BCD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再利用同角的余角相等得到一对角相等，根据AC=BC，利用AAS得到三角形BCE与三角形CAM全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°

∴∠CAD=∠CBD=45°

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°

又∵∠ACE+∠BCF=90°

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG；

（2）答：

BE=CM

理由：

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°

在△BCD和△ACD中，

∴△BCD≌△ACD（SAS），

∴∠ADC=∠CDB，

∵∠ADC+∠CDB=180°

∴∠ADC=∠CDB=90°

∴∠CBE=45°

∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°

，∠BEC+∠MCH=90°

∴∠CMA=∠BEC，

在△BCE和△CAM中，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM．

CM．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

10、

11、.证明：

（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m

∴∠BDA＝∠CEA=90

°

∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD………………………1分

又∵AB=AC

∴△ADB≌△CEA………………………2分

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE………………3分

（2）∵∠BDA=∠BAC=

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°

—

∴∠DBA=∠CAE……………………4分

∵∠BDA=∠AEC=

，AB=AC

∴△ADB≌△CEA……………………5分

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分

（3）由

（2）知，△ADB≌△CEA，

BD=AE，∠DBA=∠CAE

∵△ABF和△ACF均为等边三角形

∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

∴∠DBF=∠FAE……………………8分

∵BF=AF

∴△DBF≌△EAF……………………9分

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF为等边三角形．

12、 

考点：

作图—应用与设计作图；

全等三角形的判定与性质；

等腰三角形的性质． 

分析：

（1）45°

自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°

和22.5°

，再以22.5°

分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．

（2）用量角器，直尺标准作30°

角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．

解答：

解：

（1）如图2作图，

（2）如图3①、②作△ABC．

①当AD=AE时，

∵2x+x=30+30，

∴x=20．

②当AD=DE时，

∵30+30+2x+x=180，

∴x=40．

所以∠C的度数是20°

或40°

点评：

本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．