高二数学 94直线和平面垂直备课资料人教版必修Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:18072573
- 上传时间:2022-12-13
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:151.45KB
高二数学 94直线和平面垂直备课资料人教版必修Word文档下载推荐.docx
《高二数学 94直线和平面垂直备课资料人教版必修Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高二数学 94直线和平面垂直备课资料人教版必修Word文档下载推荐.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径,
故BC⊥AC.而PC∩AC=C,
故BC⊥面PAC.
又AE面PAC,故BE⊥AE.
而PC⊥AE,PC∩BC=C,
∴AE⊥面PBC.
三、折叠问题
教材P284是一个简单的折叠问题,这类问题主要看两方面的变化,一是数量变化,一般是角和长度变化;
二是位置变化,平行与垂直看折叠前后这两方面是否变化.
下图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:
①AB与EF所在直线平行;
②AB与面EC垂直;
③NA与面AB垂直;
④MN与CD所在直线平行.
其中正确命题的序号是.
折叠前的平面图形由六个全等的正方形组成;
折叠后的立体图形是由这六个正方形围成的几何体;
每一个正方形的位置关系不会改变,但相互间在变.
要回答题所问,关键是找到平面图与立体图间字母的对应,经分析、思考立体图形各顶点字母如图所示.
那么,①AB与EF是异面垂直;
②AB⊥面EC,因AB⊥MC,AB⊥ME;
③NA⊥面AB,因NA⊥AM,
NA⊥AC;
④MN与CD异面且垂直,故正确命题的序号是②③.
四、证明线面垂直的方法可归纳如下
1.利用线面垂直的定义
证一直线垂直于平面内任一直线,这条直线垂直于该平面.
2.利用线面垂直的判定定理
证一直线与平面内两相交线都垂直,这条直线与平面垂直.
3.利用线面垂直的性质
两平行线之一垂直于平面,则另一条也必垂直于这个平面.
●备课资料
一、利用概念解题
1.判断下列命题的正误.(正确打“√”,错误打“×
(1)平行于同一直线的两条直线互相平行.
(2)垂直于同一直线的两条直线互相平行.
(3)平行于同一平面的两条直线互相平行.
(4)垂直于同一平面的两条直线平行.
(1)该命题就是平行公理,因此该命题正确.打“√”.
(2)垂直于同一直线的两条直线可以平行,也可以相交,还可以是异面直线,故该命题错误.打“×
”.
(3)平行于同一平面的两直线具有平行、相交、异面三种位置关系,故该命题错误.打“×
(4)由直线和平面垂直的性质知该命题正确.打“√”.
2.MN是异面直线a、b的公垂线.
已知:
a∥α,b∥α,求证:
MN⊥α.
需在α内找与a及b平行的直线,从而证明MN与这两条直线垂直,依判定定理完成证明.
在α内取一点P,设直线a与点P确定的平面与α的交线为a′,
直线b与点P所确定的平面与平面α的交线为b′.
∵a∥α,b∥α,
∴a∥a′,b∥b′.
又∵MN⊥a,MN⊥b,
∴MN⊥a′,MN⊥b′.
故MN⊥α.
3.如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线就和它们的交线平行.
已知:
a∥α,a∥β,α∩β=b.
求证:
a∥b.
此题证明的难点是构造图形,构造符合题意的图形,由于构造方法的不同,可有不同的证明方法.
证法一:
∵α∩β=b,在b上任取一点A,设过a、A的平面与平面α相交于直线b′.
∵a∥α则a∥b′.
又设过点A及a的平面交β于b″.
∵α∥β,∴a∥b″.
b′与b″都过A且与b平行,
∴b′与b″重合,重合后的直线既在α内又在β内,
因而即为交线b.
故b∥a.
证法二:
设过a的两个平面,分别与α、β相交于直线c、d.
∵a∥α,a∥β,
∴a∥c,a∥d.
∴c∥d,则c∥β.∴c∥b.
∴a∥b.
证法三:
在a上取一点A,作AB⊥α于点B,AC⊥β于点C.
∴a⊥AC,a⊥AB.
设AB、AC确定平面γ,
∴a⊥γ.
又∵b⊥AB,b⊥AC,
∴b⊥γ.∴a∥b.
证法四:
假设α∩β=b且b不平行于a,
在b上任取一点A,
过A、a确定平面γ,
则γ与α交于b′,γ与β交于b″,
且∥a,∥a.
过直线外一点作直线的平行线是唯一的,故假设b与a不平行不真,
即a∥b.
(从多角度思考问题,以拓宽解题思路,提高空间想象能力)
二、证明线线平行的方法可归纳如下
1.利用线线平行定义
证明线线共面且无公共点.
2.利用三线平行公理
变两线同时平行于第三条直线.
3.利用线面平行的性质定理
证线面平行转化为证线线平行.
4.利用线面垂直性质定理
垂直于同一平面的两直线平行.
从以上线线平行的求证方法,可知等价转化思想在立体几何中贯通全篇,通过转化将立体几何问题转化为平面几何问题,其中平面起着桥梁作用,看下面问题及其解决思路.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF为异面直线A1D与AC的公垂线.
EF∥BD1.
要证EF∥BD1,从转化的角度结合题目构造符合证题思路的图形很重要,这是关键所在.
连结A1C1,由于
AC∥A1C1,EF⊥AC,
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D,A1D∩A1C1=A1,
∴EF⊥面A1C1D.
∵BB1⊥面A1B1C1D1,
A1C1面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.又A1C1⊥B1D1,
故A1C1⊥面BDD1B1.而BD1面BB1D1D,
∴A1C1⊥BD1.
同理DC1⊥BD1.
故BD1⊥面A1C1D.
则EF∥BD1.
(问题转化过程中,面A1C1D的作用主要在于把EF和BD1的关系清楚地反映出来)
三、线到平面的距离问题
线面距离问题解决的基本思想都是通过转化完成.
由线面距离点面距离点线距离解三角形完成.
已知在长方体AC1中,AA1=a,AB=b.
求B1C1到平面A1BCD1的距离.
求线面距离,其作法是:
在线上取点,将线面距离问题转化为点面距离问题,进而由点向面作垂线,转化为点线距离.
∵B1C1∥BC,且B1C1面A1BCD1,BC面A1BCD1,
∴B1C1∥面A1BCD1.
那么过点B1作面A1BCD1的垂线段即为所求.
过点B1作B1E⊥A1B于点E.
∵BC⊥面A1B1BA,B1E面A1BB1,
∴BC⊥B1E.
那么B1E⊥面A1BCD1,B1E的长即为所求,
B1E=.
一、射影问题
一个点在平面内的射影一定还是一个点,而一条直线在平面内的射影是直线或点,一个三角形(平面图形)在平面内的射影是否一定还是三角形?
(请考虑三角形所在面与平面垂直时的情形)请思考下列问题,注意特殊情形,利用斜线段、射影、垂线段.
1.一条直线在一个面内射影可能是
A.一个点B.一条线段
C.一条直线D.可能是一个点,也可能是一条直线
解析:
当直线与平面垂直时,该直线在平面内的射影为一个点,除此之外其余情形在平面内的射影都是一条直线.
答案:
D
2.如果平面外两条直线在平面内的射影是一个点和不经过该点的一条直线,那么这两条直线的位置关系是
A.异面B.平行
C.异面或平行D.异面或相交
平面外的两直线相交时,无论直线位置如何,只要其中有一直线的射影为点,则另一直线的射影一定经过该线,那么相交情形可排除在外.当两直线平行时,由题知其在面内的射影应为两个点,也可排除平行情形.故两直线是异面情形.
A
3.下列命题正确的个数为
①两条斜线相等,则它们在同一平面内的射影也相等②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线③若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在α内的射影,则b⊥a④若直线
a∥α,l为平面α的斜线,a⊥l,则a垂直于l在α内的射影
A.1B.2
C.3D.4
①两条斜线段相等,则它们在同一平面内的射影不一定相等.因为当这两条斜线段从平面外一点引出时射影相等,若不是从平面外一点引出,则可以相等,也可以不相等.
②当两直线垂直于平面时其射影为两个点,当两直线所确定的平面垂直于平面时,其射影为一条直线,其余位置的射影为两平行线.
③如图举一反例,a′是a在α内的射影,b⊥a′,但b与a不垂直.
④经l上一点作平面的垂线b,∵a∥α,
∴a⊥b.又a⊥l,故a与斜线l及垂线b所确定的平面垂直,射影在该面内.故a垂直于l在α内的射影.
由上分析知正确命题为④.以上是线的射影,再看一个形的射影问题.
4.Rt△ABC的斜边AB在平面α内,顶点C在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是
A.一条线段
B.一个锐角三角形
C.一个钝角三角形
D.一条线段或一个钝角三角形
问题的关键在于顶点C在平面α上的射影的位置.
当顶点C在平面α上的射影在AB所在的直线上时,两直角边在平面上的射影是一条线段.
其与斜边组成的图形是一条线段.
当顶点C在平面α内的射影在BC所在的直线外时,
如图所示,其射影与斜边组成三角形.
∵AC2+BC2=AB2,
而AC>AC′,BC>BC′,
<AB2,
那么△AB是钝角三角形.
可利用斜线段、垂线段及射影来解决距离及线段长,主要是解直角三角形,如下列问题:
5.由点P到平面α引垂线PO及斜线PA、PB、PC,设PA、PB、PC与平面α所成的角分别是60°
、45°
、30°
且PC=a,求:
(1)点P到平面α的距离;
(2)PA、PB及PA、PB在平面α的射影长.
(1)如图,垂线段为PO,
斜线段为PA、PB、PC,
且∠PCO=30°
∠PBO=45°
∠PAO=60°
.
在△PCO中,PO=PCsin30°
=a,
即点P到平面α的距离为.
(2)在△PAO及△PBO中,∵PO=,
故PA=
其射影分别为
BO=,AO=.
二、成角问题
1.正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2.
(1)求A1B与平面AC所成的角;
(2)设BD与AC交点为O,求D1O与平面ABCD所成角的正弦值.
(1)∵AA1⊥面ABCD,
故AB就是A1B在面ABCD内的射影.
∵AA1=AB,
∴∠A1BA=45°
即A1B与面AC所成的角为45°
(2)设BD与AC的交点为O,连结D1O,
∵DD1⊥面ABCD,
∴DD1与DO所成角∠D1OD就是D1O与面AC所成的角.
D1O=2.
∴sinD1OD=
(角的问题求解与正方体的棱长无关,但距离与棱长有关)
求线面成角,关键在于确定点在平面内的射影位置,是解题关键的一步,确定射影位置也就找到了直线和平面所成的角,也就是将空间问题转化为平面问题来解.
2.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在α内的射影之间的距离为,求直线AB和平面α所成的角.
此题射影位置的确定依赖于斜线,或者说A、B两点,而A、B和平面的关系还需讨论,涉及分类讨论思想的渗透,然后找垂线定角,进而求角.
(1)当点A、B位于平面α同侧时,由点A、B分别向平面α作垂线,垂足分别为A1、B1,
则AA1=1,BB1=2,
B1A1=.
过点A作AH⊥BB1于点H,
则AB和α所成的角即为∠HAB.
而tanBAH=,
∴∠BAH=30°
(2)当点A、B位于平面α异侧时,
过点A、B分别作
AA1⊥α于点A1,BB1⊥α于点B1,
AB∩α=C,
A1B1为AB在面α上的射影,
∠BCC1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
∵△BCC1∽△ACA1,
∴=2.∴B1C=2A1C.
而B1C+2A1C=,
∴B1C=.
∴tanBCB1=
∠BCB1=60°
∴AB与α所成的角为60°
综上
(1)
(2)可知AB与平面α所成的角为30°
或60°
三垂线定理及其逆定理在解决问题中的作用.
三垂线定理及其逆定理可用来证明空间两直线垂直,也可用来证明同一平面内两直线垂直,能将空间两直线垂直问题向平面上两直线垂直问题转化.
利用三垂线定理及其逆定理可以解决直线与平面所成的角、二面角的平面角,点到面的距离问题.
一、确定射影位置
[例1]点P在△ABC的射影为点O,且PA、PB、PC两两垂直,那么点O是△ABC的
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
过P作PO⊥面ABC于点O,
∵PA⊥PB,PA⊥PC,
∴PA⊥面PBC,BC面PBC.
故PA⊥BC.
∵PA在面ABC内的射影为AO,
∴BC⊥AO,即AO是BC边上的高.
同理BO⊥AC,那么点O是△ABC的垂心.
问题的解决过程运用了三垂线定理的逆定理.
二、求点到线的距离
[例2]PA垂直于矩形ABCD所在的平面,且AB=3cm,AD=4cm,PA=cm,求点P到BC、CD、BD的距离.
∵四边形ABCD是矩形,BC⊥AB,∴BC⊥PB.
∴PB是点P到BC的距离.
同理PD是点P到CD的距离.
PB=
(cm),
PD===(cm).
又作AE⊥BD,连结PE.
∵PA⊥面AC,∴PE⊥BD,AE=(cm).
∴PE==6(cm).
三、求解折叠问题
[例3]矩形纸片AA1,B、C、B1、C1分别为A、A1A1′的三等分点,将矩形纸片沿BB1、CC1折成如上图形状,若面对角线AB1⊥BC1,求证:
A1C⊥AB1.
题的条件是AB1⊥BC1,而结论是证AB1⊥A1C,那么结论得证的关键是找面,通过该面构建符合三垂线定理或其逆定理的条件,完成线线垂直,所找的面为ABB1A1,取AB及A1B1的中点D及D1是解题的关键.
取AB及A1B1的中点D及D1,
连结C1D1、BD1、A1D,
由题意知△ABC及△A1B1C1为等边三角形,C1D1⊥A1B1,CD⊥AB,面ABB1A1⊥面A1B1C1,
∴C1D1⊥面ABB1A1,CD⊥面ABB1A1.
∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥BD1.
而A1D∥BD1,∴A1D⊥AB1.
那么AB⊥面A1DC,A1C面A1DC.
∴AB1⊥A1C.
分别作AD∥BC,BD∥AC交于点D,作A1D1∥B1C1,B1D1∥A1C1交于点D1.
连结BD1、DD1.
∵四边形A1D1B1C1为菱形,∴A1B1⊥D1C1.
又AA1⊥面A1D1B1C1,∴AA1⊥D1C1.
而D1C1⊥面ABB1A1,即D1C1⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥面BC1D1.
∴AB1⊥BD1.又BD1∥A1C,
三垂线定理及其逆定理是研究平面的斜线、斜线在平面内的射影、平面内的直线三者之间的位置关系的,它与平面所在的位置无关,应善于在竖直或倾斜放置的平面上运用三垂线定理或其逆定理,来判定直线的垂直关系.
四、求作二面角的平面角
[例4](xx年高考题)如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.求:
(1)四棱锥S—ABCD的体积;
(2)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.
(1)略.
(2)延长BA、CD相交于点E,
连结SE,则SE是所求二面角的棱.
∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,则SE⊥SB.
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线,又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB.
则有SB是SC在面SBE上的射影.
∴SC⊥SE.∴∠BSC是所求二面角的平面角.
∵SB=
BC=1,BC⊥SB,故tanBSC=,
即所求二面角的正切值为.
此题是无棱二面角问题,先找到两面交线,即二面角的棱,然后依三垂线定理证明
∠BSC是二面角的平面角.这也是立体几何的一个题目类型,另外此题找面SBE的垂线为BC,面SBE就是竖直的.
2019-2020年高二数学9.4直线和平面垂直(第一课时)大纲人教版
●课时安排
4课时
●从容说课
本节通过学习直线与平面垂直的判定定理以及“两平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面”即线线平行的性质定理,为判定直线与平面垂直的位置关系提供了理论依据;
直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法;
在直线与平面垂直的判定定理和性质定理的基础上,学习点面距离及线面距离,让学生进一步体会到等价转化思想在立体几何中的应用;
三垂线定理及其逆定理不仅可以证明空间两直线垂直,将空间两直线垂直问题转化为平面上两直线垂直的问题,还可以解决直线与平面所成角、点线距离及点面距离等问题.
学生学习的重点是直线与平面垂直的判定定理与性质定理以及直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用、射影定理及其应用、三垂线定理与其逆定理以及三垂线定理与其逆定理的应用;
难点是以上定理与其逆定理的证明及应用.教学中应强调直线与平面垂直的判定定理中的条件“平面内的两条相交直线”是关键;
强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习,应让学生清楚,对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的问题,可考虑用反证法;
强调射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线及垂线段必须是由平面外同一点向平面所引而得到的,否则结论不成立;
强调三垂线定理中“平面内”的重要性,并结合教具或学生准备的三根木棍加深知识复杂的直线垂直关系.
教学中要引导学生认识到,定理的证明过程实质是应用转化思想的过程,将立体几何问题转化为平面几何问题来解决,线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决,线面距离转化为点面距离来解决,这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显.
●课题
9.4.1直线与平面垂直的判定和性质
(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.直线和平面垂直的定义.
2.直线和平面垂直的判定定理.
(二)能力训练要求
1.利用等价转化的思想证明立体几何问题.
2.提高学生的逻辑思维能力.
3.培养学生由图形想象出位置关系的能力.
(三)德育渗透目标
1.利用所学知识解释生活现象,激发学生学习数学的积极性,能辩证地看待问题.
2.学会分析事物之间的关系,进而选择解决问题的途径.
●教学重点
直线和平面垂直的判定.
●教学难点
判定定理的证明.
●教学方法
诱思教学法
启发诱导学生正确认识:
“任意一条直线”,“一个平面内的两条相交直线”,正确寻求判定定理的证明思路,清楚直线、平面满足何种条件就具有垂直关系.
●教具准备
投影片三张.
第一张:
(记作9.4.1A)
第二张:
(记作9.4.1B)
第三张:
(记作9.4.1C)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
[师]直线和平面平行的判定方法有几种?
[生]可利用定义判断,也可依判定定理判断.
Ⅱ.讲授新课
1.直线和平面垂直的定义
[师]该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形,请同学们思考,随着时间的变化,影子在移动,这是变的一面,那么不变的一面是什么呢?
(讨论、观察片刻,提醒学生从位置关系去分析,教师可用手电筒照射一杆,让学生得出结论进而提醒学生观察图9-25)
[生]由图形可知旗杆与地面内任意一条过点B的直线垂直.(若先回答射影,可引导其抽象为直线)
师进一步提出:
那么旗杆所在的线与平面内不经过B点的线的位置关系如何呢?
依据是什么?
[生]垂直.依据是异面直线垂直的定义.
生在师的诱导下,尝试着给出直线和平面垂直的定义:
如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l和平面α互相垂直.
可记作l⊥α.
其中直线l叫平面α的垂线.
平面α叫直线l的垂面.
[师]“任意一条直线”,说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线,必须是全部.同学们可找一反例说明.
[生]当一条直线和一平面内一组平行线垂直时,该直线不一定和平面垂直.(可将教材中每一行字看成平行线,当钢笔与其垂直时,钢笔不一定就与教材所在的面垂直)
[师]若l∥α或lα,则l此时不会和α内任意一条直线垂直,由此,当l与α具有l⊥α的关系时,直线l一定和α相交.
直线和平面垂直时,它们有唯一的公共点,即交点,叫垂足.
师进一步给出直线与平面垂直时,其直观图的画法.
(师生共同规范地画出直线与平面的垂直关系)
画直线与水平平面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.
l⊥α,点P是垂足.
让学生观察投影片中所给的四个图形,能得出什么结论.
(打出投影片9.4.1A)
经师诱导,生得到结论.
[生]图
(1)、
(2)说明经过空间一点P作α的垂线只有一条;
图(3)、(4)说明,经过空间一点P作l的垂面只有一个.
除定义外,直线和平面垂直的判定还有什么方法呢?
2.直线和平面垂直的判定
[例1]求证:
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
a∥b,a⊥α.
b⊥α.
(利用投影片9.4.1B)
要证b⊥α,需证b与α内任意一条直线m垂直.
运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m,则需依题意设直线m存在.
进而运用线垂直于面线垂直于面内的线完成证明.
学生依图及分析写出证明过程.
设m是α内的任意一条直线.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高二数学 94直线和平面垂直备课资料人教版必修 数学 94 直线 和平 垂直 备课 资料 人教版 必修