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区别多项式的次数和单项式的次数

1、多项式

（3）多项式的定义：

几个单项式的和叫做多项式，并指出，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

2、多项式的次数

请学生任意举出几个单项式，让其他同学说出这些单项式的系数和次数

观察多项式3x+5y+2z,0.5ab－πr2分别是哪些单项式的和，每个单项式的次数分别是多少？

它们的项是什么？

哪一项的次数最高？

学生独立完成的基础上，以小组为单位交流。

教师归纳：

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

讲解例2、例3

问题：

什么是整式？

单项式与多项式统称整式。

课本P59练习

1、本节课你学会了什么？

有哪些收获？

2、通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？

课本P59习题1.5第2、3、4题

2.2整式的加减

（一）

1、了解同类项、合并同类项的概念,掌握合并同类项法则,能正确合并同类项，能先合并同类项化简后求值。

2、经历类比有理数的运算律,探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、分类、归纳等能力。

3、掌握规范解题步骤，养成良好的学习习惯。

掌握合并同类项法则,熟练地合并同类项

多字母同类项的合并

教学过程

二、讲解新课

事实上，100t+252t与100×

2＋252×

2和100×

（-2）＋252×

（-2）有相同的结构，都是两个数分别与同一个数相乘的和，这里t表示同一个因数，因此根据分配律也应该有：

100t+252t=（100+252）t=352t.

1、填空

（1）100t-252t=（ 

）t 

（2）3x2+2x2=（ 

）x2 

（3）3ab2-4ab2=（ 

）ab2

小组讨论：

上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律?

（鼓励学生用自己语言表述）

对于上面的

（1）、

（2）、（3），都逆用乘法对加法的分配律

100t-252t=（100-252）t=-152t 

3x2+2x2=（3+2）x2=5x2 

3ab2-4ab2=（3-4）ab2=-ab2

这就是说，上面的三个多项式都可以合并为一个单项式。

讨论：

具备什么特点的多项式可以合并呢？

教师引导学生总结：

1.所含字母相同。

2.相同的字母的指数也相同。

像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

2、判断下列各组中的两项是否是同类项：

（1）-5ab3与3a3b（ 

） 

（2）3xy与3x 

（ 

（3）-5m2n3与2n3m2（ 

（4）53与35 

（5）x3与53 

）

因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。

例如：

4x2+2x+7+3x-8x2-2 

（找出多项式中的同类项）

=4x2-8x2+2x+3x+7-2 

（交换律）

=（4x2-8x2）+（2x+3x）+（7-2） 

（结合律）

=（4-8）x2+（2+3）x+（7-2） 

（分配律）

=-4x2+5x+5 

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？

学生交流，教师归纳：

合并同类项法则：

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

1、若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如：

-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0×

ab2=0。

2、多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。

3、通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如：

-4x2+5x+5或写5+5x-4x2。

三、讲解例题，巩固知识

1、课本P65例1、例2、例3

四、课堂小结

1、什么叫做同类项？

请举例说明.

2、什么叫做合并同类项？

怎样合并同类项？

3、对于求多项式的值,不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单,而后代入求值。

课本P66练习

2.2整式的加减

（二）

1、能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简。

2、经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力。

3、培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度。

去括号法则，准确应用法则将整式化简

括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误

去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；

要不变，则谁也不变；

另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．

二、范例学习

课本P67例4,思路点拨：

讲解时，先让学生判定是哪种类型的去括号，去括号后，要不要变号，括号内的每一项原来是什么符号？

去括号时，要同时去掉括号前的符号．为了防止错误，题

（2）中－3（a2－2b），先把3乘到括号内，然后再去括号。

解答过程按课本，可由学生口述，教师板书。

课本P67例5，思路点拨：

根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度，船逆水航行速度=船在静水中行驶速度－水流速度．因此，甲船速度为（50+a）千米/时，乙船速度为（50－a）千米/时，2小时后，甲船行程为2（50+a）千米，乙船行程为（50－a）千米．两船从同一洪口同时出发反向而行，所以两船相距等于甲、乙两船行程之和。

去括号时强调：

括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号．为了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号。

三、巩固练习

课本P68练习1、2题

去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．

学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则，并能根据法则进行去括号运算。

法则顺口溜：

去括号，看符号：

是“+”号，不变号；

是“―”号，全变号。

课本P71习题2．2第2、3、5题

2.2整式的加减（三）

1、让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算。

2、培养学生的观察、分析、归纳、总结以及概括能力。

3、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。

整式的加减。

总结出整式的加减的一般步骤。

一、复习引入：

1、做一做。

某学生合唱团出场时第一排站了ｎ名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？

①学生写出答案：

ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）

②提问：

以上答案进一步化简吗？

如何化简？

我们进行了哪些运算？

2、练习：

化简：

（1）（x+y）—（2x－3y）

（2）2（a2-2b2）-3（2a2+b2）

提问:

以上化简实际上进行了哪些运算?

怎样进行整式的加减运算?

（从实际问题引入,让学生经历一个实际背景，体会进行整式的加减运算的必要性，在通过复习、练习，为学生概括出整式的加减的一般步骤作必要的准备）

二、讲授新课，范例学习

课本P68~P68例6、例7、例8

教师：

通过上面的学习，我们可以得到整式加减的运算法则：

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

讲解例9

课堂练习：

课本P70练习1、2、3题。

三、课堂小结

1、整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。

2、整式的加减的一般步骤：

①如果有括号，那么先算括号。

②如果有同类项，则合并同类项。

3、求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便。

4、数学是解决实际问题的重要工具。

四、布置作业

课本P71~P72习题2.2第6、7、9题

本章复习

1、使学生对本章内容的认识更全面、更系统化。

2、进一步加深学生对本章基础知识的理解以及基本技能（主要是计算）的掌握。

3、通过复习，培养学生主动分析问题的习惯。

本章基础知识的归纳、总结；

基础知识的运用；

整式的加减运算。

1、主要概念：

（1）关于单项式，你都知道什么?

（2）关于多项式，你又知道什么?

引导学生积极回答所提问题，通过几名同学的回答，复习单项式的定义、单项式的系数、次数的定义，多项式的定义以及多项式的项、同类项、次数、升降幂排列等定义。

（3）什么叫整式?

在学生回答的基础上，进行归纳、总结。

整式

2、主要法则：

①提问：

在本章中，我们学习了哪几个重要的法则?

分别如何叙述?

②在学生回答的基础上，进行归纳总结：

整式的加减

例1：

找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。

，4xy，

，

，x2+x+

，0，

，m，―2.01×

105

解：

单项式有4xy，

，0，m，―2.01×

105；

多项式有

；

整式有4xy，

，0，m，-2.01×

105，

。

由学生口答,并说明理由。

通过此题,进一步加深学生对于单项式、多项式、整式的定义的理解。

例2：

指出下列单项式的系数、次数：

ab，―x2，

xy5，

ab：

系数是1，次数是2；

―x2：

系数是―1，次数是2；

xy5：

系数是

，次数是6；

：

系数是―

，次数是9。

此题在学生回答过程中，及时强调“系数”及“次数”定义中应注意的问题：

系数应包括前面的“+”号或“―”号，次数是“指数之和”。

例3：

指出多项式a3―a2b―ab2+b3―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？

是三次五项式，最高次项有：

a3、―a2b、―ab2、b3，常数项是―1。

例4：

化简，并将结果按x的降幂排列：

（1）（2x4―5x2―4x+1）―（3x3―5x2―3x）；

（2）―［―（―x+

）］―（x―1）；

（3）―3（

x2―2xy+y2）+

（2x2―xy―2y2）。

（1）原式=2x4―3x2―x+1；

（2）原式=―2x+

（3）原式=―

x2+

xy―4y2。

通过此题强调：

（1）去括号（包括去多重括号）的问题；

（2）数字与多项式相乘时分配律的使用问题。

例5：

化简、求值：

5ab―2［3ab―（4ab2+

ab）］―5ab2，其中a=

，b=―

化简的结果是：

3ab2，求值的结果是

例6：

一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3后，得x3―x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=―

，y=

时，这个多项式的值。

此多项式为3x3―5x2y―2y3；

值为―

三、随堂练习

课本P76―P77复习题2第1、2、3⑴⑶⑸、4⑴⑶⑸⑺、5、7题

四、布置作业

课本P76―P77复习题2第3⑵⑷⑹、4⑵⑷⑹⑻、6、8、9题

第三章一元一次方程

2.1.1一元一次方程

（1）

1、通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；

2、初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；

3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

从实际问题中寻找相等关系

一、情境引入

教师提出课本P79的问题

问题1：

从上图中你能获得哪些信息？

（必要时可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。

）教师可以在学生回答的基础上做回顾小结。

问题2：

你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗？

（当学生列出不同算式时，应让他们说明每个式子的含义）

教师可以在学生回答的基础上做回顾小结：

1、问题涉及的三个基本物理量及其关系；

2、从知的信息中可以求出汽车的速度；

3、从路程的角度可以列出不同的算式

问题3：

能否用方程的知识来解决这个问题呢？

1、教师引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量

如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山千米，王家庄距秀水千米。

2、教师引导学生寻找相等关系，列出方程．

题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？

汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？

你能表示其他各段路程的车速吗？

问题3：

根据车速相等，你能列出方程吗？

教师根据学生的回答情况进行分析，如：

依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程：

＝

，依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”可列方程：

3、给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念．

4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤：

（1）用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z等字母）；

（2）根据问题中的相等关系，列出方程．渗透列方程解决实际问题的思考程序。

5、比较列算式和列方程两种方法的特点．建议用小组讨论的方式进行，可以把学生分成两部分分别归纳两种方法的优缺点，也可以每个小组同时讨论两种方法的优缺点，然后向全班汇报。

列算式：

只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量关系；

列方程：

可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。

6、思考：

对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？

如果能，你依据的是哪个相等关系？

（学生回答省略）

三、范例学习，巩固知识

课本P80例1

你能解释这些方程中等号两边各表示什么意思吗？

体会列方程所依据的相等关系。

（学生回答省略）

归纳得出一元一次方程的概念：

只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次议程。

像4x，1700+150x等这样的式子，可以表示实际问题中的数量关系。

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数。

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

x＝1000和x＝2000中哪一个是方程0.52x－（1－0.52）x＝80的解？

课本P82练习

1、这节课我们学习了什么内容？

2、用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么？

3、列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量．

课本P84习题3.1第5、6、7、8题

3.1.2等式的性质

1、了解等式的两条性质，会用等式的性质解简单的一元一次方程。

2、培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力。

3、渗透“化归”的思想。

等式的性质

用等式的性质解简单方程

一、创设情境，提出问题

我们用估算的方法，可以求出简单的一元一次方程的解。

你能用这种方法求出下列方程解吗？

（1）3x-5=22；

（2）0.28-0.13y=0.27y+1

学生得出规律：

把平衡的天平的两边的重量，同时变为原来的几倍或几分之几，天平还保持平衡。

（天平相当于等号）

归纳出：

等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

即：

如果如果a=b，那么ac=bc；

如果a=b（c≠0），那么

=

讲解例2

课本P84练习

本节主要学习等式的性质，并会用等式的性质解简单的一元一次方程，主要用到的思想是类比思想与转化思想。

注意等式性质1,一定要注意等式的两边同时加上或减去同一个数或式，才能保证等式成立。

等式性质2,要注意等式的两边不能除以0。

等式的性质是等式变形的依据。

课本P84习题3.1第1、2、3、4题

3.2解一元一次方程

（一）——合并同类项与移项

第一课时

1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题的优越性。

2、掌握合并同类项解“ax+bx=c”类型的一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次议程（数字关系），并判别解的合理性。

3、通过学生观察、独立思考等过程，培养学生归纳、概括的能力，进一步让学生感受到并尝试寻找不同的解决问题的方法，初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。

建立列方程解决实际问题的思想方法，学会合并同类项，会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程

分析实际问题中的已经量和未知量，找出相等关系，列出方程，使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法

如何列方程？

分哪些步骤？

师生讨论分析：

（1）设未知数：

前年购买计算机x台

（2）找相等关系：

前年购买量+去年购买量+今年购买量＝140台

（3）列方程：

x+2x+4x＝140

怎么解这个方程？

如何将这个方程转化为x=a的形式？

学生观察、思考

根据分配律，可以把含x的项合并，即x+2x+4x＝（1+2+4）x＝7x

教师演示解方程过程

以上解方程“合并”起了什么作用？

每一步的根据是什么？

学生讨论、回答，师生共同整理：

“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x＝a的形式。

课本P89例1

课本P89练习

本节主要学习用合并同类项的方法解一元一次议程，主要用到的思想方法是化归思想，要注意将同类项合并正确，才能保证解方程的正确。

课本P93习题3.2第1题

第二课时

1、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性。

2、掌握移项方法，学会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想。

建立列方程解决实际问题的思想方法，学会移项，会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程。

分析实际问题中的已经量和未知量，找出相等关系，列出方程，使使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法

一、创设情境，引入新课

课本P89问题2:

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；

如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

学生思考，然后讨论合作。

列方程解决实际问题的基本思路是什么？

学生讨论、分析

1、设未知数：

设这个班有x名学生

2、找相等关系：

这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等

3、列方程：

3x+20=4x-25

它与上节课遇到的议程有什么不同？

学生讨论后发现：

方程的两边都有含x的项和常数项

怎样才能使它向x=a的形式转化？

学生思考、探索：

为使方程右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20，即3x－4x＝－25－20

以上变形的依据是什么？

学生：

等式的性质1

归纳：

像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

师生共同完成这道题的解题过程。

问题5:

以上解方程中的“移项”起了什么作用？

学生讨论、回答，师生共同整理。

通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。

讲解P91例2

课本P91练习

本节主要学习利用移项、合并同类项的方法解一元一次方程，主要用到思想方法是转化思想，注意移项时要变号。

课本P93习题3.2第2、3题

第三课时

1、经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析和解决问题的能力，进一步体会模型化的思想。

2、学会探索数列中的规律，建立等量关系，通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值。

3、能正确地求一元一次方程并判断解的合理性，通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更简捷明了，省时省力。

建立列方程解决实际问题的思想方法,分析实际问题中的已经量和未知量，找出相等关系，列出方程。

讲解课本P91例3

课本P93习题3.2第4题

本节主要学习一元一次方程在实际中的应用，主要用到的思想方法是分类讨论思想，在学习时，要注意观察，然后根据实际问题，抽象出方程模型。

课本P93习题3.2第5题

3.3解一元一次方程

（二）——去括号与去分母

1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程