广东高考数学答案详解.doc
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绝密★启用前 试卷类型:
A
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
参考公式:
台体的体积公式,其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则=()
A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2}
2.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是()
A.4 B.3 C.2 D.1
3.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是()
A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2)
X
1
2
3
P
4.已知离散型随机变量X的分布列如右表,则X的数学期望E(X)=()
A. B.2 C. D.3
5.某四棱台的三视图如图1所示,则该四棱台的体积是()
A.4B.C.D.6
6.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
7.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是()
A.B.C.D.
8.设整数n≥4,集合X={1,2,3…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉SB.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈SD.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S 二、填空题: 本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题) 9.不等式x2+x-2<0的解集为. 10.若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=. 11.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为. 12.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=_______. 13.给定区域D: ,令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z}是z=x+y 在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定____条不同的直线. (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为 (t为参数),C在点(1,1)处的切线为L,一座标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标,则L的极坐标方程为_________________. 15.(几何证明选讲选做题)如图3,AB是⊙O的直径,点C在⊙O 上,延长BC到D是BC=CD,过C作⊙O的切线交AD于E. 若AB=6,ED=2,则BC=______. 三、解答题: 本大题共6小题,满分80分. 16.(本小题满分12分)已知函数. (1)求的值; (2)若,求. 17.(本小题满分12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人? (3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率. 图4 18.(本小题满分4分)如图5,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图6所示的四棱椎,其中. (1)证明: ⊥平面BCDE; (2)求二面角的平面角的余弦值. 19.(本小题满分14分)设数列的前n项和为Sn,已知. (1)求的值; (2)求数列的通项公式; (3)证明: 对一切正整数n,有. 20.(本小题满分14分)已知抛物线c的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线L: x-y-2=0的距离为.设P为直线L上的点,过点P做抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (1)求抛物线C的方程; (2)当点P(x0,y0)为直线L上的定点时,求直线AB的方程; (3)当点P在直线L上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 21.(本小题满分14分)设函数. (1)当k=1时,求函数的单调区间; (2)当k∈时,求函数在[0,k]上的最大值M. 2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案 数学(理科) 一、选择题 1-5.DCCAB6-8.DBB 二、填空题 9.(-2,1)10.-111.712.2013.614.15. 三、解答题 16. (1)由题意 (2)∵,∴. ∴ ∴ . 17. (1)样本均值为. (2)根据题意,抽取的6名员工中优秀员工有2人,优秀员工所占比例为, 故12名员工中优秀员工人数为(人). (3)记事件A为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”, 由于优秀员工4人,非优秀员工为8人,故 事件A发生的概率为, 即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为. 18. (1)折叠前连接OA交DE于F, ∵折叠前△ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=6, 所以OA⊥BC,OA=3,AC=BC= 又 ∴BC∥DE, ∴OA⊥DE, ∴AF=2,OF=1 折叠后DE⊥OF,DE⊥A′F,OF∩A′F=F ∴DE⊥面A′OF,又 ∴DE⊥A′O 又A′F=2,OF=1,A′O= ∴△A′OF为直角三角形,且∠A′OF=90° ∴A′O⊥OF, 又,,且DE∩OF=F, ∴A′O⊥面BCDE. (2)过O做OH⊥交CD的延长线于H,连接, ∴OH=AO=, ∵∠A′HO即为二面角的平面角,故cos∠A′HO=. 19. (1)令中n=1得∴ (2)由;得 ∴ 两式相减得 ∴ ∴ ∴,∴ 又由 (1)知 ∴∴. ∴. (3)∵ ∴ 20. (1)依题意得,∴. ∴抛物线焦点坐标为(0,1),抛物线解析式为x2=4y (2)设A(x1,),B(x2,),∴可设A、B中点坐标为M 所以直线PA: ,直线PB: 两式相减得 ∵,∴, ∴,∴ 将P(,-2)带入PA: 得 ∴ ∴ ∴A、B中点坐标为M(,) ∴直线AB的斜率 故直线AB的方程为. (3)由于A点到焦点F的距离等于A点到准线y=-1的距离, ∴|AF|=,|BF|= ∴当时,取最小值. 21. (1)k=1时 ∴ 当x<0时,故,单调递增; 0 x>ln2时,故,单调递增; 综上,的单调增区间为和,单调减区间为. (2) ∵,∴ 由 (1)可知的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,+∞)上单调递增 设 则 ∵,∴,∴ ∴在上单调递减. ∵,∴ ∴即 ∴的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,k)上单调递增. ∴的在[0,k]上的最大值应在端点处取得. 而, ∴当x=0时取最大值.
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