年高考真题理科数学湖南卷.doc
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2013年高考真题理科数学(解析版)湖南卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南)卷
数学(理科)
一.选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给也的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
2.某学校有男、女学生各500名,为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是()
(A)抽签法(B)随机数法(C)系统抽样法(D)分层抽样法
3.锐角中,角所对边长分别为,若,则角等于()
(A)(B)(C)(D)
4.若变量满足约束条件,则的最大值是()
(A)(B)0(C)(D)
5.函数的图像与函数的图像的交点个数为()
(A)3(B)2(C)1(D)0
6.已知是单位向量,。
若满足,则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)
7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()(A)1(B)(C)(D)
8.在等腰三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图)。
若光线经过的中心,则等()
(A)2(B)1(C)(D)
二.填空题(本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分)
(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)
9.在平面直角坐标系中,若(为参数)过椭圆(为参数)的右顶点,则常数__________。
10.已知,,则的最小值为__________。
11.如图2,在半径为的中,弦相交于点,,,则圆心到弦的距离为。
(二)必做题(12-16题)
12.若,则常数的值为__________。
13.执行如图3所示的程序框图,如果输入,则输出的的值为__________。
14.设是双曲线的两个焦点,是上一点,若,且的最小内角为,则的离心率为__________。
15.设为数列的前项和,,则⑴_______;⑵___________。
16.设函数,⑴记集合不能构成一个三角形的三条边长,且,则所对应的的零点的取值集合为__________;⑵若是的三条边长,则下列结论正确的是_________(写出所有正确结论的序号):
①;②,使不能构成一个三角形的三条边长;③若为钝角三角形,则,使。
三.解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知,。
⑴若是第一象限角,且,求的值;⑵求使成立的的取值集合。
1
2
3
4
51
48
45
42
18.(本小题满分12分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。
根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量(单位:
)与它的“相近”作物株数之间的关系如右表所示。
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
⑴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;⑵从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。
19.(本小题满分12分)在直棱柱中(如图5),,,,,。
⑴证明:
;⑵求直线与平面所成角的正弦值。
20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”。
如图6所示的路径与路径都是到的一条“路径”。
某地有三个新建的居民区,分别位于平面内三点,,处。
现计划在轴上方区域(包含轴)内的某一点处修建一个文化中心。
⑴写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式(不要求证明);⑵若以原点为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“路径”不能进入保护区,请确定点的位置,使其到三个居民区的“路径”长度值和最小。
21.(本小题满分13分)过抛物线焦点作斜率分别为的两条不同直线,且,相交于点,相交于点。
以为直径的圆、圆(、为圆心)的公共弦所在的直线记为。
⑴若,证明:
;⑵若点到直线的距离的最小值为,求抛物线的方程。
22.(本小题满分13分)已知,函数。
⑴记在上的最大值为,求的表达式;⑵是否存在,使函数在内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?
若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。
2013年普通高校招生全国统考数学试卷(湖南卷)解答
一.BDDCBACD
二.9.3;10.12;11.;12.3;13.9;14.;15.⑴,⑵;16.⑴,⑵①②③
17.解:
由题,。
⑴由得,又,故。
从而
;
⑵由
,故集合为。
18.解:
⑴所种作物的总株数,其中三角形内部的株数为3, 边界上的作物株数为12。
从三角形内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有种。
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为;
⑵记为与其“相近”作物恰有株的作物株数,则,,,。
由得,
51
48
45
42
;,。
故所求分布列如右表所示,期望。
19.解:
⑴如图,因为平面,平面,所以。
又,,所以平面。
而平面,故;
⑵因,故直线与平面所成角等于直线与平面所成角(记为)。
连结,因棱柱是直棱柱,且,故平面,从而。
又,故四边形为正方形,于是,知平面,于是。
由⑴可知,故平面,知。
在直角梯形中,因为,所以,从而,故,即,从而易得,即。
连,在中,,得。
即直线所成角的正弦值为。
20.解:
设。
⑴记点到点的“路径”的最短距离为,则易得;
⑵由题点到三外居民区的“路径”长度之和的最小值为点分别到三个居民区的“路径”长度最小值之和(记为)的最小值。
①当时,
。
因,当且仅当时取等号。
又,当且仅当时取等号。
所以
,当且仅当时取等号。
类似可得,当且仅当时取等号。
故当点位于时,到三个居民区的“路径”长度之和最小,且最小值为45;②当时,由于“路径”不能进入保护区,故
, 由①知,,
,故。
综上所述,在点处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“路径”长度之和最小。
21.解:
⑴由题,设,,,,,。
又,与的方程联立得,
故,,从而,,因此。
同理,,知,因此。
因为,所以,得,故,得证。
⑵设圆半径分别为,则,同理可得。
因,,故直线:
,即,化简得。
故到的距离
,故,从而抛物线的方程为。
22.解:
⑴当时,;当时,。
故时,,在单减;时,,在单调递增。
①若,则在单调递减,;②若,则在单减,在单增。
所以。
而,故当时,;当时,。
综上所述,;
⑵由⑴知,若,则在单减,故不满足要求。
若,则在单减,在单增,若存在,使在,两点处的切线互相垂直,则,,且 即,亦即(*)。
由,得 ,,故(*)成立等价于与的交集非空。
因为,所以当且仅当,即时,。
综上所述,存在使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直,且的取值范围是。
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