GeoGebra2圆锥曲线详解全文文档格式.docx
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GeoGebra2圆锥曲线详解全文文档格式.docx
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甲.拋物线
定义:
d(P,L)=d(P,F)依据拋物线的定义作图,点P到焦点F与到准线L等距,i.e.d(P,L)=d(P,F)──以y2=4x为例,准线为L:
x+1=0,焦点F为(1,0)──
绘图步骤
1.先画出准线L及焦点F
2.在准线L上任选一点A,和焦点F连起来,画出一条线段AF
3.画出线段AF的中垂线M
4.画出和过A点且和准线L垂直的直线N
5.标出M,N两条线的交点P
6.要看P点的轨迹可以
(1)在P上按鼠标右键,点选显示移动痕迹
(2)或是用
,在P点及A点各点选一下
7.以鼠标拉动准在线的A点,观察P点的轨迹
由以上的作图可知拋物线的性质
线段AF的中垂线是切线
反过来说以切线为对称轴,焦点F的对称点A在准在线
思考一下此题和拋物线的关系:
求与圆C:
x2+y2-8x+12=0及L:
x+2=0均相切之圆心轨迹为何?
(-动画教学-)
乙.椭圆
定义:
椭圆上的点到两焦点的距离和为定值
──以
为例
即画
的图形──
1.画出名称为F1,F2的两焦点(-3,0),(3,0)
2.以F1为圆心,半径为2a=10画一圆
3.圆周上任选一点,标示为A
4.连接
5.作
的中垂线L
6.作
,L两线的交点,标示为P
7.要看P点的轨迹可以
8.以鼠标拉动A点,观察P点的轨迹
思考一下此题和椭圆的关系:
圆C1:
(x+1)2+y2=1
圆C2(x-1)2+y2=81
若动圆C与C1外切,与C2内切
则动圆C之圆心的轨迹方程式
丙.双曲线
双曲线上的点到两焦点的距离差为定值
以
1.画出名称为F1,F2的两焦点(-5,0),(5,0)
2.以F1为圆心,半径为2a=6画一圆
3.圆周上任选一点,标示为A
4.画出直线
及线段
的中垂线L(线段才有中垂线)
及L两线的交点,标示为P
思考一下此题和双曲线的关系:
(x+2)2+y2=1
圆C2:
(x-3)2+y2=4
若动圆C与C1,C2
(1)均内切
(2)均外切
三、参数式绘图 参考全任重教授网站之图形
甲、拋物线y=x2之图形
已知A为顶点 L:
y=-1为准线
1.取准在线一点B,画直线BA
2.过A作直线和BA垂直,交准线
于C
3.过C作直线和准线L垂直,交
BA于D
D的轨迹即为拋物线y=x2
乙、椭圆
大圆小圆半径分别为a,b
A(acosθ,asinθ)在大圆上
B(bcosθ,bsinθ)在小圆上
过A作铅直线,过B作水平线
两线交点为P(acosθ,bsinθ)
P的轨迹即为椭圆
丙、双曲线
BF为大圆切线交X轴于F(asecθ,0)
DE为小圆切线,E点为(b,btanθ)
过F作铅直线,过E作水平线
两线交点为P(asecθ,btanθ)
P的轨迹即为双曲线
四、数学题目中的图形
甲、拋物线
<
94年指考数甲>
有一条拋物线位于坐标平面之上半面,并与X轴、直线y=x-1直线
y=-x-1相切。
下列叙述何者正确:
A.此拋物线的对称轴必为Y轴。
B.若此拋物线对称轴为Y轴,则其焦距为1。
C.此拋物线的顶点必在X轴上。
D.有不只一条拋物线满足此条件。
画图要用到拋物线的性质:
焦点F对切线的对称点落在准在线。
先来个小小的计算:
设
为焦点,对于三切线的对称点分别为
因三点共线(都在准在线)
由行列式
化简得
故焦点F是落在单位圆
之上
1.画出焦点所在的圆x2+y2=1。
2.在圆上任取一点,命名为F。
3.分别以三条切线为对称轴,找出焦点F的对称点。
4.这三个对称点共线,画出这条线来,即为准线。
5.有了焦点及准线,即可把抛线画出来。
(-动画教学-)
依据大考中心的研究结果显示,当年的考生对此题的应答情形是惨不忍睹,究其原因是目前的高中数学教学偏重于代数计算,对于圆锥曲线的作图法,课本虽有提及,但实际教学时也是匆匆带过。
若是纯粹用代数方法较难解出本题,理应结合代数计算及几何绘图知识,才能很快画出符合题目条件的拋物线。
乙、椭圆
①【Produs性质】<
93年数乙类似题>
这是由普罗德斯(Produs410-485年)所提出的。
在一直在线有P,Q,C三点,若P,Q沿着一个直角的两个边滑动,则第3个点(即C点)的轨迹是一椭圆。
特殊情形:
若C和P,Q其中之一重合,C轨迹显然为一线段。
1.设PQ之长为a。
2.以原点为圆心,a为半径,画一圆。
3.圆上任取一点,过此点对X轴及Y轴分别作垂线,所得的垂足即为P,Q。
(利用矩形的对角线相等性质)
4.设定一数值滑杆a1。
5.利用伸缩功能
,a1为伸缩比例,作出PQ的伸缩点C。
6.以鼠标拉动圆周上的点,观察C点的轨迹
拉动数值滑杆可改变C点的位置,第一种是C在
之间,C为P、Q的内分点,另一种为C在
的延长线上,C为外分点。
再拉动圆周上的点,可观察C点的轨迹。
②VanSchooten'
s轨迹问题:
在一个△ABC中,如A,B两顶点沿着一个固定角的两边滑动,则第三个顶点C的轨迹是一椭圆。
1.作OX,OY直线及在左下角任给之ΔABC
2.以O为圆心,AB为半径画圆
3.圆
上任取一点D,过D作OY的并行线,交OX于E
4.将O,D以DE为平移量平移至A’,B’,此时
5.利用SSS作
6.移动D点则A’,B’分别在OX,OY上移动,取C’的轨迹
可将A’B’C’标签改为ABC,原左下角之ΔABC自动更名为ΔA1B1C1
证明
1.过ΔOAB作外接圆
,令其圆心为M。
2.过C,M两点作直线L。
3.L和ΔOAB的外接圆
交于两点P,Q。
4.因线段PQ落在过C,M的直线L上,在ΔABC固定的情形之下,圆内接四边形APBQ随着圆的滚动,不改变其形状,因此,弧PB的大小是固定的,故∠POB的大小为定值,又B在固定的OX轴上移动,故P的轨迹为直线,同理可得Q的轨迹亦为直线。
5.令直线OP为L1,直线OQ为L2,圆周角∠QOP为直角。
L1,L2为互相垂直之直线,P,Q分别在L1,L2上,C为直线PQ上的一点,满足Produs性质之条件。
故
(1)C和Q不重合,C的轨迹为椭圆。
(2)C和Q重合,C的轨迹为线段。
(线段可视为椭圆的退化情形)
FranciscusVanSchooten(1615-1660年)是荷兰数学家,于1657年论述这个有趣的问题。
他巧妙的构建出两条互相垂直的线,把问题转换为Produs的形式,可真令人拍案叫绝。
1.P点与(1,0),(-1,0)的夹角为α,β,
若α+β=90°
P点的轨迹为何种曲线?
(摘自龙腾新天地)
因GeoGebra把度数的范围定为 0°
~360°
之间,若α=120°
则β=90°
-α=-30°
,屏幕左边的代数区会自动改为正同界角,即
β=330°
,但这不影响图的正确性
1.过A(1,0)适当长为半径作一圆。
2.圆上取一点D
3.以
量出
和X轴的夹角,命名为
。
4.输入β=90°
-α
5.输入过B(-1,0)的直线方程式
y=tan(β)(x+1)
6.把上述两线的交点标示为P,观察P点之轨迹。
2.设过原点的直线L与x+y+1=0及x-y+1=0分别交于P,Q两点,若P,Q之中点为M,则M的轨迹为何种曲线?
7.输入x+y+1=0及x-y+1=0。
8.以原点为圆心,适当长为半径,画一圆,圆上任取一点A,以直线
表示过原点的直线L
9.标示出L和两线的交点P,Q。
10.画出PQ的中点M
11.观察M点之轨迹。
有了GeoGebra这个好用的数学软件,今后学数学也可如同物理、化学一般,可以有实验课,如上所画出来的图看起来是双曲线,那到底是否真的是双曲线,可就要靠纸笔好好的计算验证一下。
五、延伸阅读:
1.利用标尺作图找圆锥曲线的焦点 师范大学 陈创义教授
2.圆锥曲线1 师范大学 陈创义教授
3.圆锥曲线_(宏2) 师范大学 陈创义教授
4.圆锥曲线作图法举例 师范大学 赵文敏教授
5.用同心圆来描绘圆锥曲线及切线的标尺作图竹南高中吴明宗老师
6.圆锥曲线切线的标尺作图科学教育月刊272期内湖高中刘绍正老师
六、相关书籍及文章:
1.公切圆之圆心轨迹-用动态几何软件探讨几何性质台北市立师范学院林保平教授
2.100个著名初等数学问题历史和解答海因里希.德里着凡异出版社
若是在书店或图书馆找不到这本书的话,可以上网
以英文书名100GreatProblemsofElementaryMathematics 为关键词可找到
此书的在线英文版,第214页即为VanSchooten轨迹问题
3.94年大学入学指定考科數学甲多选题第9题參考解法之回响
成功高中游经祥杜云华老师
4.龙腾新天地第12期数学问题集XI11-4
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