基于蜂窝AdHoc的东北大学无线网络覆盖模型.docx
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基于蜂窝AdHoc的东北大学无线网络覆盖模型
基于蜂窝-AdHoc的东北大学无线网络覆盖模型
摘要
校园铺设AP设备问题,本质上是使用一系列不同半径的圆来覆盖一个平面区域并使覆盖率达到98%。
通过测量,首先把学校抽象成一个1000×850的标准矩形,然后使用不同半径的圆进行98%的覆盖。
根据不同问题的需要使用lingo软件[1]进行边界的优化处理,寻求最佳的替换圆。
问题一中要求我们只是用半径为50的AP设备去覆盖这个矩形,并要求花费的资金最少,显然花费最少也就是使用的AP设备个数最少,通过对不同铺设模型覆盖率及重叠率的比较最后得出六圆最优模型,所以采用六圆模型进行铺设。
圆与圆之间在满足98%覆盖率的基础上留有空隙,使用这种模块进行整个矩形的密铺。
计算出使用的铺设个数,然后根据问题中提供的数据还原校园原型,在抽象的矩形中分割出校园原型,最后对分割后部分进行优化,得出最优的方案,经过计算若是实现全部区域的98%覆盖至少需要120个AP,总价钱为24000元。
具体方案及分析在后文中给出。
问题二中通过对价格与AP辐射面积的关系,定义性价比,通过性价比的对比得出当内部使用半径较大的圆,边界使用适当半径优化时使用钱的总数最少。
所以首先采用半径为50的AP设备进行覆盖,覆盖情况在问题一中已说明,然后对边界的圆进行替换,进过分析得出替换的算法,得出替换的最小半径,根据最小半径在可供选择的设备中选择出合适的设备,经过计算最少需要半径为50,30,20的AP分别为98,2,20个最少的花费为22320元。
问题三中根据题设中给出半径越大花费的越多的条件,得证出如果是花费最少只需要满足所有圆的半径总和最小即可,通过对半径与对应面积的分析得证在铺设内部充足区域时使用半径较大的圆,在边界区域采用合适的圆进行替换即可。
根据一二问题中的结论模型计算出在铺设过程中内部使用半径为60m的AP进行内部的铺设使用其他合适的AP优化边界部分。
根据问题三中提出使用圆铺设平面的最佳铺设的通用模型并加以推广。
关键字:
区域覆盖非线性规划LINGO软件蜂窝-AdHoc混合模型
§1问题重述
随着科技发展,无线网络越来越普及。
当终端设备连接到无线AP,并通过安全认证后,便可通过无线AP访问网络。
现东北大学拟在全校范围实现98%无线网络覆盖,根据供应商提供的几种不同无线AP设备,建立不同的覆盖方案。
为了计算的方便,把校园近似的抽象成一个M*N的标准矩形,所以问题抽象为用圆覆盖矩形的问题。
问题1使用有效覆盖半径50米的无线AP设备覆盖东北大学98%以上的区域,建立数学模型,给出一种花费最少的设备排列方案。
问题2混合使用有效半径为20米、30米、50米的无线AP设备覆盖东北大学98%以上的区域,建立数学模型,给出一种花费最少的设备排列方案。
问题3假定有效覆盖半径有20、30、40、50、60米,随半径增加设备费用递增,但设备费用与有效覆盖半径之商递减,设计较优的方案使尽可能覆盖学校区域。
§2问题分析
针对东北大学铺设无线网络问题,可抽象为使用半径不同的圆形覆盖矩形的问题。
首先经过数据的分析测算出东北大学矩形的各边的长度,抽象为标准矩形进行初步的计算,然后根据实际的校园模型进行优化。
问题一:
使用半径为50米的圆对矩形进行覆盖,根据分析如果使花费最少则需使用的圆的个数最少,为了达到此目的,要求在覆盖范围98%的基础上,使得圆和圆之间的彼此重叠的部分最小即重叠率最低。
采用分类讨论思想,对如何使用圆对矩形进行覆盖作出分类讨论,本文采用有缝密铺即圆与圆之间在满足98%覆盖率的基础上留有空隙,根据中心圆的邻接圆的个数进行分类讨论。
通过对比分析出最优的模型。
通过平铺的关系,计算出使用的AP设备数目。
最后根据校园的实际模型计算出实际所需AP设备的个数计算出最少花费。
问题二:
在问题一中已经优化了六圆形平铺模型,根据文献得知,当使用圆形进行平铺时,使用的大圆越多所花费的越少,根据这一理论,对问题一中所得的优化模型进行再次优化,根据分类讨论思想,分别优化边上的圆以及拐角的圆,通过原始圆与优化圆的关系建立方程,使用lingo软件计算出可以满足98%覆盖率的前提下,优化圆的最小半径,根据最小半径以及题目中所提供的可选半径选取合适的AP设备,使得价格最优。
问题三:
在问题三中由题设知随着半径的增加设备的费用递增但设备费用/有效覆盖半径递减,所以要满足条件就要求平铺圆的半径总和最小,综合了问题一与问题二模型,由问题二可知首先使用半径为60的圆形对校园进行覆盖,采用蜂窝-Adhoc的完全覆盖模型进行计算,然后分别对边与拐角进行优化处理,通过使用lingo软件计算出满足条件的优化圆的最小半径,并根据问题中给出的可选半径选择最优设备进行覆盖。
§3模型假设
1.不考虑信号的衰减问题,只要在有效范围内就一定可以连接到无线网。
2.校园为平面区域,不考虑地形建筑问题。
3.使用XX地图忽略测量工具测量误差。
§4模型的建立与求解
§4.1蜂窝-AdHoc模型[2]的建立与求解
在问题一中经过分析提出两种方案,一是采用蜂窝模型在校园内部完全覆盖通过对边界的优化达到覆盖率为98%的条件,另一种是采用基于蜂窝-AdHoc的不完全密铺模型,即使AP设备对校园整体达到98%的均匀覆盖。
经过分析为了使校园的AP设备覆盖的范围更加均匀,本文采用第二种方案展开建模。
符号说明:
圆的半径
圆心距
弧长
重叠弧对应的圆心角
圆心
各个圆相交的面积
半弧对应扇形面积
三角形面积
有效覆盖率
重叠率
§4.1.1邻接1、2、3个圆
1.邻接1个圆:
当中心圆周围仅有一个邻接圆时(如图1.1.1),显然无法实现密铺,需增加邻接圆的个数来实现尽量全面的覆盖。
图1.1.1
2.邻接2个圆:
当中心圆周围有两个邻接圆时(如图1.1.2),无法达到中心圆的均有圆进行覆盖,无法实现密铺。
图1.1.2
3.邻接3个圆:
当中心圆周围有三个邻接圆时(如图1.1.3),可以实现密铺。
图1.1.3
邻接3个圆时虽然可以实现密铺,但仅当完全覆盖中心圆的情况下可以实现。
采用此种方式重叠率过大,并大大增加购买设备的费用,因此还需继续讨论邻接更多圆的情况。
§4.1.2邻接4个圆
图1.2.1
重叠圆弦的一半所对应的的圆心角与半径r和圆心距d的关系:
(4.1.1)
弦与圆心角关系:
(4.1.2)
半弦所对应扇形面积:
(4.1.3)
三角形面积:
(4.1.4)
各圆相交面积(即图1.2.1所示的矩形区域内的相交部分):
(4.1.5)
将式(4.1.2)代入(4.1.3),将式(4.1.3)、(4.1.4)代入(4.1.5)整理得有效覆盖率:
(4.1.6)
重叠率:
(4.1.7)
令覆盖率,当半径为50米时,计算(4.1.6)式和(4.1.7)求得:
圆心距
覆盖率
§4.1.2邻接5个圆
图1.2.2
由于采用等圆心距的方式进行排列,可得如图1.2.2所示的邻接5个圆的模型,在此状态下并不能满足都有覆盖,因此需要再增加邻接的圆以增加覆盖率。
§4.1.3邻接6个圆
图1.3.1
6个圆相比较于4个圆的情况仅圆的相交部分面积、覆盖率及重叠率的计算不同,具体计算公式如下:
各圆相交面积(如图1.3.1所示等边三角形区域内相交部分面积)
(4.1.8)
将(4.1.8)式代入后整理得覆盖率:
(4.1.9)
重叠率:
(4.1.10)
令覆盖率,当半径为50米时,计算(4.1.9)式和(4.1.10)求得:
圆心距
重叠率
§4.1.4邻接7个圆
图1.4.1图1.4.2
中心圆邻接七个圆,每个圆所对的圆心角为:
,如图1.4.2所示,中心圆与邻接圆所构成的等腰三角形的两个底角的度数为:
,根据局部映射整体原则,每个圆都可以作为中心圆,然而,无法满足规律覆盖,同理当邻接圆个数大于6,都无法满足规律覆盖。
另一方面,邻接6个圆的模型中已实现了等圆心距下的的覆盖,当邻接圆增加,无法满足各圆心距相等,并使邻接圆重叠率大大增加,所以所需的AP设备的个数增加,费用也相应增加。
故我们采用邻接6个圆来建立模型。
§4.1.5问题一求解
通过对以上不同模型的分析计算,在覆盖率达到98%时,邻接6个圆的模型重叠率最小,因此选用此模型进行平铺。
根据假设将校园看做一个标准矩形,通过测距得出校园的长m为1000米,校园的宽n为850米。
根据校园的长宽测算需要的AP设备个数。
首先对矩形的边进行处理,根据98%的覆盖原则,我们对边界进行如下的处理,令边界恰好经过圆的相交点,如图1.5.1所示:
图1.5.1
所以对于矩形的长需要的填充个数为W1:
(4.1.11)
将d1,d2代入式(4.1.11),计算得:
W1=11
同理矩形宽需要的填充个数为W2:
(4.1.12)
将d1,d2代入式(4.1.12),计算得:
W2=11
根据排列规则,每横排放置11或12个,共放置11排,具体排列方式如图1.5.2所示:
图1.5.2
经过计算得出,铺满整个矩形所需的总个数为:
5*(11+12)+11=126个
由于校园并非是标准矩形,因此还需根据校园的真实情况对模型进行优化。
在图1.5.2的基础上根据比例画出校园的边界,如图1.5.3所示:
图1.5.3
优化后需要的个数为:
126-6=120个
购买这些设备所需的费用为:
120*200=24000元
§4.2基于非线性规划的蜂窝-Adhoc模型
问题二
设校园的总面积为S,在满足最小费用的前提下,我们需要考虑。
设半径为20、30、50米的无线AP设备分别需要x,y,z,则最小费用:
校园的总面积s需满足:
由于面积S>>2500;
根据不同AP的有效覆盖面积与价格之比µ得:
可以得出在中间区域采用µ大的更省费用。
即采用半径最大的AP设备进行铺设。
因此,在矩形区域内,应使用尽量多的半径为50的圆在重叠面积尽量少的条件下进行覆盖,所以采用内部用半径为50的圆形进行均匀覆盖,对边界上的圆与拐点的圆进行分别的优化讨论计算出可以替换的最小圆形。
对于两圆相交的情形有如下结论[3]:
如图所示设两圆半径分别为,,则两相交圆的公共面积为:
其中,如图2.1.1,可由下式确定:
。
图2.1.1
如图2.1.2所示首先对于图中阴影部分由于不影响覆盖率所以采用舍弃的方式优化。
其次对于圆1,2,3,4,5,6,7,...,19,20进行优化处理,由于他们都有与边界相交并且不涉及为拐点的共同特点,所以在下面的优化中仅对圆1进行分析,其他圆形处理方式与其完全相同。
对于图中a,b进行拐角的优化处理同边界处理相同只需处理局部,使用局部代替整体。
图2.1.2
符号说明:
圆O1的半径50m
优化圆的最小半径
优化圆与圆O1,O3相交面积
O1与O3的相交面积
优化圆与圆O1的圆心距
原始圆的圆心距
等腰三角形O1O2O3的顶角
相交弦所对应的圆心角
等腰三角形面积
三角形内三个扇形面
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- 基于 蜂窝 AdHoc 东北大学 无线网络 覆盖 模型