人教A版高中数学必修一 131 单调性与最大小值 教案Word文件下载.docx
- 文档编号:18055270
- 上传时间:2022-12-13
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:115.59KB
人教A版高中数学必修一 131 单调性与最大小值 教案Word文件下载.docx
《人教A版高中数学必修一 131 单调性与最大小值 教案Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A版高中数学必修一 131 单调性与最大小值 教案Word文件下载.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
【设计意图】由生活情境引入新课,激发兴趣.
归纳探索,形成概念
对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中时同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1.借助图象,直观感知
问题1:
分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=
的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?
图2
(1)函数y=x+2在整个定义域内y随x的增大而增大;
函数y=-x+2在整个定义域内y随x的增大而减小.
(2)函数y=x2在[0,+∞)上y随x的增大而增大,在(-∞,0)上y随x的增大而减小.
(3)函数y=
在(0,+∞)上y随x的增大而减小,在(-∞,0)上y随x的增大而减小.
引导学生进行分类描述(增函数、减函数),同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题2:
能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数f(x)在该区间上为增函数;
如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数f(x)在该区间上为减函数.
教师指出:
这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观认识.
【设计意图】从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.
2.探究规律,理性认识
下图是函数y=x+
(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?
图3
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
如何从解析式的角度说明f(x)=x2在[0,+∞)为增函数?
(1)在给定区间内取两个数,例如1和2,因为12<22,所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数.
(2)仿
(1),取很多组验证均满足,所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数.
(3)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,因为x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)<0,即x12<x22,
所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数.
对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1,x2.
【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好了铺垫.
3.抽象思维,形成概念
你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.
(1)板书定义
(2)巩固概念
判断题:
①已知f(x)=
,因为f(-1)<f
(2),所以函数f(x)是增函数.
②若函数f(x)满足f
(2)<f(3),则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数.
③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数f(x)=
在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,所以f(x)=
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
通过判断题,强调三点:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数.
思考:
如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
【设计意图】让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.
掌握证法,适当延展
【例】证明函数f(x)=x+
在(
,+∞)上是增函数.
1.分析解决问题
针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.
证明:
任取x1,x2∈(
,+∞),且x1<x2,设元
f(x1)-f(x2)=
-
求差
=(x1-x2)+
=(x1-x2)
,变形
∵
<x1<x2,
∴x1-x2<0,x1x2>2,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),断号
∴函数f(x)=x+
,+∞)上是增函数.定论
2.归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤:
设元、作差、变形、断号、定论.
练习:
证明函数f(x)=
在[0,+∞)上是增函数.
要证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对任意的x1,x2∈(a,b),且x1≠x2有
>0可以吗?
引导学生分析这种叙述与定义的等价性,让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=
【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.
归纳小结,提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.
1.小结
(1)概念探究过程:
直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)证明方法和步骤:
(3)数学思想方法和思维方法:
数形结合,等价转化,类比等.
2.作业
书面作业:
课本习题1.3 A组第1,2,3题.
1.教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其他性质提供了方法依据.
对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的;
(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲的要求,确定了本节课的重点和难点.
2.教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,从三个不同的方面确定了教学目标,重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识;
强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透;
突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.
3.教学方法和教学手段的选择
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.
4.教学过程的设计
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施:
(1)在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
(2)在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤.
(3)可对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.
第2课时
1.知识与技能
(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用.
(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题.
2.过程与方法
(1)通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辩证唯物主义的教育.
(2)探究与活动,明白考虑问题要细致,说理要明确.
3.情感、态度与价值观
理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象.
函数最大(小)值的定义和求法.
如何求一个具体函数的最值.
导入新课
思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10000m2的矩形新厂址,新厂址的长为xm,则宽为
m,所建围墙ym,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?
学生先思考或讨论,教师指出此题意在求函数y=2
,x>0的最小值.引出本节课题:
在生产和生活中,我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题,这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?
这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题,将实际问题转化为求函数的最值,这就是函数的思想,用函数解决问题.
思路2.画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?
①f(x)=-x+3;
②f(x)=-x+3,x∈[-1,2];
③f(x)=x2+2x+1;
④f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2].
学生回答后,教师引出课题:
函数的最值.
推进新课
(1)如图4所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.
图4
(2)函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系?
(3)你是怎样理解函数图象最高点的?
(4)问题
(1)中,在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如图5所示,设点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:
函数y=f(x)的图象有最高点C?
图5
(5)在数学中,形如问题
(1)中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?
(6)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?
其图象又具有什么特征?
(7)函数最大值的几何意义是什么?
(8)函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?
为什么?
(9)点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?
(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方?
讨论结果:
(1)函数y=-x2-2x的图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)的图象有最高点B,函数y=f(x)的图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
(2)函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:
横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
(4)由于点C是函数y=f(x)图象上的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.
(5)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
②存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(6)f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;
这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.
(7)函数图象上最高点的纵坐标.
(8)函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
(9)不是,因为该函数的定义域中没有-1.
(10)讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;
函数图象上有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.
(1)类比函数的最大值,请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
(2)类比上面问题(9),你认为讨论函数最小值应注意什么?
活动:
让学生思考函数最大值的定义,利用定义来类比定义.最高点类比最低点,不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
(1)函数最小值的定义是:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:
函数图象上最低点的纵坐标.
(2)讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;
函数图象上有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.
例1求函数y=
在区间[2,6]上的最大值和最小值.
先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有解题思路时,才提示:
图象最高点的纵坐标就是函数的最大值,图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性,再利用函数单调性的定义证明,最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=
的图象,只取在区间[2,6]上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解:
设2≤x1<x2≤6,则有
=
.
∵2≤x1<x2≤6,
∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0.
∴f(x1)>f(x2),即函数y=
在区间[2,6]上是减函数.
∴当x=2时,函数y=
在区间[2,6]上取得最大值f
(2)=2;
当x=6时,函数y=
在区间[2,6]上取得最小值f(6)=
变式训练
1.求函数y=x2-2x(x∈[-3,2])的最大值和最小值.
最大值是f(-3)=15,最小值是f
(1)=-1.
2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是__________.
解析:
(换元法)转化为求二次函数的最小值.
设x2=t,y=t2+2t-1(t≥0),
又当t≥0时,函数y=t2+2t-1是增函数,
则当t=0时,函数y=t2+2t-1(t≥0)取最小值-1.
所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是-1.
答案:
-1
3.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.
分析:
函数的图象关于y轴对称,先画出y轴右侧的图象,再对称到y轴左侧合起来得函数的图象;
借助图象,根据单调性的几何意义写出单调区间.
函数图象如图6所示.
图6
由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0]和(1,+∞)上是下降的,最高点是(±
1,4),
故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;
函数在[-1,0],(1,+∞)上是减函数,最大值是4.
点评:
本题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法.求函数的最值时,先画函数的图象,确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值:
先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;
常用到下面的结论:
①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?
这时距地面的高度是多少?
(精确到1m)
可以指定一位学生到黑板上书写,教师在下面巡视,并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值,画出函数的图象,利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值;
“这时距地面的高度是多少(精确到1m)”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值;
转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.
作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象,如图7所示,
图7
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
当t=-
=1.5时,函数有最大值h=
≈29.
即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29m.
本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题的步骤是:
①审清题意读懂题;
②将实际问题转化为数学问题来解决;
③归纳结论.
注意:
要坚持定义域优先的原则;
求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
1.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.
cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2
设一个三角形的边长为xcm,则另一个三角形的边长为(4-x)cm,两个三角形的面积和为S,则S=
x2+
(4-x)2=
(x-2)2+2
≥2
.当x=2时,S取最小值2
cm2.故选D.
D
2.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润,并求出最大利润.
设未知数,引进数学符号,建立函数关系式,再研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出回答.利润=(售价-进价)×
销售量.
设商品售价定为x元时,利润为y元,则y=(x-8)[60-(x-10)·
10]
=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16),
当且仅当x=12时,y有最大值160元,
即售价定为12元时可获最大利润160元.
课本本节练习5.
【补充练习】
某厂2013年拟举行促销活动,经调查测算,该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m(万元)(m≥0)满足x=3-
.已知2013年生产的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数;
(2)求2013年该产品利润的最大值,此时促销费为多少万元?
(1)年利润=销售价格×
年销售量-固定投入-促销费-再投入,销售价格=1.5×
每件产品平均成本;
(2)利用单调法求函数的最大值.
(1)每件产品的成本为
元,故2013年的利润为
y=1.5×
×
x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8
-m=28-
-m(万元)(m≥0).
(2)可以证明当0≤m≤3时,函数y=28-
-m是增函数,当m>3时,函数y=28-
-m是减函数,所以当m=3时,函数y=28-
-m取最大值21万元.
求函数y=
的最大值.
(方法一)利用计算机软件画出函数的图象,如图8所示,
故图象最高点是
图8
则函数y=
的最大值是
(方法二)函数的定义域是R,
可以证明当x<-
时,函数y=
是增函数;
当x≥-
是减函数.
则当x=-
取最大值
,
即函数y=
(方法三)函数的定义域是R,
由y=
,得yx2+yx+y-1=0.
∵x∈R,∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根.
当y=0时,关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根,即y=0不属于函数的值域.
当y≠0时,则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程,
则有Δ=(-y)2-4×
y(y-1)≥0.∴0<y≤
∴函数y=
方法三称为判别式法,形如函数y=
(d≠0),当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是:
①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;
②分类讨论m=0是否符合题意;
③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk≥0,得关于y的不等式,解不等式组
此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.
本节课学习了:
(1)函数的最值;
(2)求函数最值的方法:
①图象法,②单调法,③判别式法;
(3)求函数最值时,要注意函数的定义域.
课本习题1.3A组 5,6.
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下措施:
1.在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
2.在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教A版高中数学必修一 131 单调性与最大小值 教案 人教 高中数学 必修 调性 最大