几何辅助线之手拉手模型初三.docx
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几何辅助线之手拉手模型初三
手拉手模型
教学目标:
1:
理解手拉手模型的概念,并掌握其特点
2:
掌握手拉手模型的应用
知识梳理:
1、等边三角形
条件:
△OAB△OCD匀为等边三角形
结论:
I①AOAC^AOBD;②ZAEH=;③0E平分ZAED
导角核心:
2、等腰直角三角形
ABAB
条件:
△OAB△OCD匀为等腰直角三角形
结论:
工;「却厂=心肩厂;厂;迟卜:
;丄垃汴
3、任意等腰三角形
条件:
△OAB△OCD匀为等腰三角形,且/AOB=/COD
结论:
'•沁厂=心斥7;〔_'.口;_1川:
;,疋小丈
核心图形:
D
核心条件:
少=gg=OD;ZAOB=ZCOD
典型例题:
例1:
在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE连接AE与CD,证明:
(1)△ABE^ADBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60°;(4)△AGB^ADFB
(5)△EGB^ACFB(6)BH平分/AHCGF//AC
例2:
如果两个等边三角形△ABD和△BCE连接AE与CD,证明:
(1)△ABE^ADBC
(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60°;
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分/AHC
例3:
如果两个等边三角形△ABD和△BCE连接AE与CD,证明:
(1)△ABE^ADBC
(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60°;
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分/AHC
D
例4:
如图,两个正方形ABC[和DEFG连接AG与CE二者相交于H问:
(1)△ADG^ACDE是否成立?
(2)AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分/AHE>
例5:
如图两个等腰直角三角形ADC与EDG连接AG,CE,二者相交于H.问(ADG^ACDE是否成立?
(2)
AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分/AHE>
例6:
两个等腰三角形ABD与BCE其中AB=BD,CB=EB,ABDNCBE连接AE与CD.问(ABE^ADBC是否成立?
(2)AE是否与CD相等?
(3)AE与CD之间的夹角为多少度?
(4)HB是否平分/AHC?
例7:
如图,分别以△ABC的边ABAC同时向外作等腰直角三角形,其中AB=AE,AC=AD,/BAE=ZCAD=90,
点G为BC中点,点F为BE中点,点H为CD中点。
探索GF与GH的位置及数量关系并说明理由。
團2S3
(3)如图3,若/DAC=135,/ACP=15,且AC=4,求BQ的长.
例9:
在厶ABC中,ABAC,点D是射线CB上的一动点(不与点BC重合),以AD为一边在AD的右侧作厶ADE
曰.¥W量关糸.
(3)结论:
与之间的数量关系是
例10:
在ABC中,ABBC2,ABC90,BD为斜边AC上的中线,将ABD绕点D顺时针旋转
(0180)得到EFD,其中点A的对应点为点E,点B的对应点为点F,BE与FC相交于点H.
(1)如图1,直接写出BE与FC的数量关系:
;
(2)如图2,M、N分别为EFBC的中点.求证:
MN;
(3)连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF、CE与AC之间的数量关
系:
.
当堂练习:
1:
在厶ABC中,AB=AC,/BAC=90。
,点D在射线BC上(与B、C两点不重合),以AD为边作正方形ADEF,使点E与点B在直线AD的异侧,射线BA与射线CF相交于点G.若点D在线段BC上,①依题意补全图1;
②判断BC与CG的数量关系与位置关系,并加以证明;
2:
已知:
如图,点C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形.CG、CH分别是ACN、MCB的
高•求证:
CGCH.
4:
已知,如图,P是正方形ABCD内一点,且PA:
PB:
PC1:
2:
3,求ZAPB的度数.
Cr
5:
如图所示,P是等边ABC中的一点,PA2,PB2.3,PC4,试求ABC的边长.
6:
在RtAABC中,ACB90,D是AB的中点,DE±BC于E,连接CD.
(1)如图1,如果A30,那么DE与CE之间的数量关系是.
(2)如图2,在
(1)的条件下,P是线段CB上一点,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图3,如果A(090),P是射线CB上一动点(不与B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转2a,得到线段DF,连接BF,请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系(不需证明).
AA
课后练习:
60,判断△ABE的形状并加以证明;
2:
如图,△ABC中,/BAC=90,AB=AC,边BA绕点B顺时针旋转a角得到线段BP,连结PAPC,过点P作PD
丄AC于点D.
(1)如图1,若a=60°求/DPC的度数;
(2)如图2,若a=30°直接写出/DPC的度数;
(3)如图3,若a=150;依题意补全图,并求/DPC的度数.
卿1圈2逼3
3:
在△ABC中,
ABAC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段
CD,旋转角为,且0
180,连接
AD、
BD.
(1)
如图1,当
BAC100,
60°时,CBD的大小为
;
(2)
如图2,当
BAC100,
20时,求CBD的大小;
(3)
已知/BAC的大小为m60
m120,若CBD的大小与(
2)中的结果相同,请直接写出
的大小
4:
如图1,正方形ABCD与正方形AEFG的边ABAEABAE在一条直线上,正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为,在旋转过程中,两个正方形只有点A重合,其它顶点均不重合,连接BE、DG.
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时,求证:
BE=DG;
(2)当点C在直线BE上时,连接FC,直接写出FCD的度数;
(3)如图3,如果45,AB2,AE42,求点G到BE的距离
5:
将等腰Rt△ABC和等腰RtAADE按图1方式放置,A90,AD边与AB边重合,AB2,AD4.将△ADE
绕点A逆时针方向旋转一个角度a0a180,BD的延长线交直线CE于点P.
(1)如图2,BD与CE的数量关系是,位置关系是;
(2)在旋转的过程中,当ADBD时,求出CP的长;
(3)在此旋转过程中,求点P运动的路线长.
6:
△ABC中,ABC45,AH丄BC于点巴将厶AHC绕点H逆时针旋转90°后,点C的对应点为点D,直线BD与直线AC交于点E,连接EH.
(1)如图1,当/BAC为锐角时,
①求证:
BE丄AC;②求/BEH的度数;
(2)当/BAC为钝角时,请依题意用实线补全图2,并用等式表示出线段EC,ED,EH之间的数量关系.
7:
如图1,在ACB和AED中,ACBC,AEDE,ACBAED90,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需要说明理由);
(2)将图1中的AED绕点A顺时针旋转,使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
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