将军饮马系列.docx

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将军饮马系列

“将军饮马”系列最值问题

知识回顾

1•两点之间，线段最短.

2•点到直线的距离，垂线段最短.

3•三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.

RrABRr

4.AB分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点,

当且仅当A、B、0三点共线时能取等号.

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：

如图，将军从A出发到河边

饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？

精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.

下而我们来看看数学家是怎样解决的•海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.

根据公理：

连接两点的所有线中，线段最短.

若力、B在河流的异侧，直接连接AB,AB与I的交点即为所求.

若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.

海伦解决木问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想

轴对称及其性质:

如下图，ABC与A'B'C'关于直线I对称，I叫做对称轴.A和A',B和，C和C'是对称点.

轴对称的两个图形有如下性质:

1关于某条直线对称的两个图形是全等形;

2对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；

3两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

线段垂直平分线：

垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.

通常考虑作轴

当己知条件出现了等腰三角形、角平分线.高，或者求几条折线段的最小值等情况,

对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

考察“将军饮马”问题。

题考查。

构建“对称模型”实现转化

PAPB…BC

常见模型：

（1）PAPB最小

同侧异侧

（2［①PAPB最小

②PAPB最大

异侧

同侧

（3）周长最短

类型一

类型

类型三

A'

A

AM

B*

（4）“过河”最短距离

类型一

类型

（5）线段和最小

E

F

E

I

M

s

F

（6）在直角坐标系里的运用

1EI

I

APE二BPE

同步练习

【变式练习】已知：

如图，ABC及两点必N•求作：

点P,使得PMPN,且P点到所在的直线的距离相ABC两边

等.

【例2】己知点A在直线夕卜，点P为直线|上的一个动点，探究是否存在一个定点

B,当点P在直线I

B；若不存在，请说明理

上运动时，点P与A.B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点

由.

【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

+B

A.

a

【变式练习】如图，M、N为ABC的边AC、BC±的两个定点，在AB上求一点P,使PMN的周长最短.

【例4】如图，AOB45,角内有点P,在角的两边有两点Q、R（均不同于0点），求作Q、R,使得PQR的周长的最小.

NOQ,这时在直线OP上再取A点,

【例5】如图，在POQ内部有财点和N点，同时能使MOP

使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线0Q上也取B点，使从B点到M点和N点的距离和也最小.证

明:

AMANBMBN.

【例6】己知如图，点M在锐角AOB的内部，在0E边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到

0A的边的距离和最小.

N是AC±的一动点.

求

（1）DNMN的最小值与最大值.

（2）DNMN的最小值与最大值.

【例8】如图△ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B.C重合），记ADEF的周长为t请作

出周长最小的ADEF.

/课后练习

【习题1】如图，在等腰RtABC中，CACB3,E的BC±一点，满足BE2,在斜边AB上求作一点P使得PC

PE长度之和最小・

N分别是AD和AB上的动点，贝UBMMN的最小值是

【习题4】己知00的直径CD为4,AOD的度数为60。

，点B是的中点，在直径CD上找一点P,使

BPAP的值最小，并求BPAP的最小值.

A

C

【习题5］如图所示，正方形ABCD的而积为12

△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD

则这个最小值为（

内，在对角线AC±有一点P,使PDPE的和最小,

D.<6

C

【习题6】如图，在平而直角坐标系中，直线

C

I是第一.三象限的角平分线.

实验与探究:

C'

B5,3、C2,5关于直线I的对称点B'、C的位置，并写出它们的坐标:

归纳与发现:

角平分线I的对称点P'的坐标为（不必证明）；

运用与拓广：

（3）已知两点D1,3、E1,4,试在直线I上找一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最

7忖