高考数学文复习第1部分专题2 数列 突破点5 数列的通项与求和含答案.docx
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高考数学文复习第1部分专题2数列突破点5数列的通项与求和含答案
突破点5 数列的通项与求和
[核心知识提炼]
提炼1an与Sn的关系
若an为数列{an}的通项,Sn为其前n项和,则有an=在使用这个关系式时,一定要注意区分n=1,n≥2两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一起.
提炼2求数列通项常用的方法
(1)定义法:
①形如an+1=an+c(c为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如an+1=kan(k为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列.
(2)叠加法:
形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),求其通项公式.
(3)叠乘法:
形如=f(n)≠0,利用an=a1···…·,求其通项公式.
(4)待定系数法:
形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=,再转化为等比数列求解.
(5)构造法:
形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先在原递推公式两边同除以qn+1,得=·+,构造新数列{bn},得bn+1=·bn+,接下来用待定系数法求解.
提炼3数列求和
数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法、错位相减法是常用的两种方法.
[高考真题回访]
回访1 an与an+1的关系
1.(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.
[∵an+1=,
∴an+1===
==1-=1-=1-(1-an-2)=an-2,
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.
∴a8=a3×2+2=a2=2.
而a2=,∴a1=.]
回访2 数列求和
2.(2012·全国卷)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为( )
A.3690 B.3660
C.1845 D.1830
D [∵an+1+(-1)nan=2n-1,
∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,
a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,
a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,
∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234
==1830.]
3.(2013·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.则
(1){an}的通项公式为__________;
(2)数列的前n项和为__________.
(1)an=2-n
(2) [
(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+d.
由已知可得解得
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由
(1)知=
=,
从而数列的前n项和为
=.]
4.(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,则
(1){an}的通项公式为__________;
(2)数列的前n项和为__________.
(1)an=n+1
(2)2- [
(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.
设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,
从而a1=.
所以{an}的通项公式为an=n+1.
(2)设的前n项和为Sn,
由
(1)知=,则
Sn=++…++,
Sn=++…++.
两式相减得
Sn=+-
=+-.
所以Sn=2-.]
热点题型1 数列中an与Sn的关系
数列中的an与Sn的关系
题型分析:
以数列中an与Sn间的递推关系为载体,考查数列通项公式的求法,以及推理论证的能力.
【例1】
(1)(2017·郑州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.
1 121 [由解得a1=1,a2=3,
当n≥2时,由已知可得:
an+1=2Sn+1,①
an=2Sn-1+1,②
①-②得an+1-an=2an,∴an+1=3an.又a2=3a1,
∴{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
∴Sn=(3n-1),∴S5=121.]
(2)数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且满足=1(n≥2).求数列{an}的通项公式.
【04024060】
[解] 由已知,当n≥2时,=1,
所以=1,2分
即=1,
所以-=.4分
又S1=a1=1,
所以数列是首项为1,公差为的等差数列,6分
所以=1+(n-1)=,
即Sn=.8分
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-.10分
因此an=12分
[方法指津]
给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:
一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
提醒:
在利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项公式时,务必验证n=1时的情形.
[变式训练1]
(1)已知数列{an}前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=__________.
(2)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn+2=3an(n∈N*),则an=__________.
(1)n·2n(n∈N*)
(2)2×3n-1(n∈N*) [
(1)由Sn=2an-2n得当n=1时,S1=a1=2;当n≥2时,Sn=2(Sn-Sn-1)-2n,即-=1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,则=n,Sn=n·2n(n≥2),当n=1时,也符合上式,所以Sn=n·2n(n∈N*).
(2)因为2Sn+2=3an,①
所以2Sn+1+2=3an+1,②
由②-①,得2Sn+1-2Sn=3an+1-3an,所以2an+1=3an+1-3an,即=3.
当n=1时,2+2S1=3a1,所以a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,
所以an=2×3n-1(n∈N*).]
热点题型2 裂项相消法求和
题型分析:
裂项相消法是指把数列中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的方法,主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和.
【例2】 已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列的前n项和为Tn,求证:
≤Tn<.
[解]
(1)由已知及等差数列的性质得S5=5a3,∴a3=14,1分
又a2,a7,a22成等比数列,所以a=a2·a22.2分
所以(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)且d≠0,
解得a1=d,∴a1=6,d=4.4分
故数列{an}的通项公式为an=4n+2,n∈N*.6分
(2)证明:
由
(1)得Sn==2n2+4n,==,8分
∴Tn=
=-.10分
又Tn≥T1=-=,
所以≤Tn<.12分
[方法指津]
裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,常见的裂项方式有:
(1)=;
(2)=;
(3)=(-).
提醒:
在裂项变形时,务必注意裂项前的系数.
[变式训练2] (名师押题)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【04024061】
[解]
(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,2分
又a1+a4=9,可得或(舍去)4分
由a4=a1q3得公比q=2,故an=a1qn-1=2n-1.6分
(2)Sn==2n-1.8分
又bn===-,10分
所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=-=1-.12分
热点题型3 错位相减法求和
题型分析:
限于数列解答题的位置较为靠前,加上错位相减法的运算量相对较大,故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查,但其仍是命题的热点之一,务必加强训练.
【例3】 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
[解]
(1)由题意有
即2分
解得或4分
故或6分
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+++++…+,①
Tn=+++++…+. ②8分
①-②可得
Tn=2+++…+-=3-,10分
故Tn=6-.12分
[方法指津]
运用错位相减法求和应注意:
一是判断模型,即判断数列{an},{bn}中一个为等差数列,一个为等比数列;二是错开位置,一般先乘公比,再把前n项和退后一个位置来书写,这样避免两式相减时看错列;三是相减,相减时一定要注意式中最后一项的符号,考生常在此步出错,一定要细心.
提醒:
为保证结果正确,可对得到的和取n=1,2进行验证.
[变式训练3] 已知在公比大于1的等比数列{an}中,a2,a4是函数f(x)=(x-2)(x-8)的两个零点.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
【04024062】
[解]
(1)因为a2,a4是函数f(x)=(x-2)(x-8)的两个零点,且等比数列{an}的公比q大于1,所以a2=2,a4=8,2分
所以q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).6分
(2)由
(1)知2nan=n×2n,所以Sn=1×2+2×22+…+n×2n,①7分
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②8分
由①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1,11分
所以Sn=2+(n-1)×2n+1(n∈N*).12分
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