高等几何试题及答案Word格式文档下载.docx
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2、写出德萨格定理的对偶命题:
封
┉3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1,则交比(ad,bc)=______。
业┉4、平面上4个变换群,射影群,仿射群,相似群,正交群的大小关系为:
专┉
┉5、二次曲线的点坐标方程为4x1x3x220,则其线坐标方程为是
二、选择题(每小题2
分,共10分)
密
1.下列哪个图形是仿射不变图形?
(
)
系┉
┉A.圆
B.直角三角形
┉C.矩形
D.平行四边形
┉2.u12
2u1u28u22
0表示()
┉A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
;
’.
B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点
C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点
D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点
3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成?
()
A.一次B.两次
C.三次D.四次
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有():
A.三角形的垂心B.梯形
C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆
5.二次曲线按射影分类总共可分为()
A.4类B.5类
C.6类D.8类
三、判断题(每小题2分,共10分)
1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。
2.两直线能把射影平面分成两个区域。
3.当正负号任意选取时,齐次坐标(1,1,1)表示两个相异的点。
()
4.在一维射影变换中,若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件,则此射影变换一定是对合。
5.配极变换是一种非奇线性对应。
四、作图题(8分)
已知线束中三直线a,b,c,求作直线d,使(ab,cd)=-1。
(画图,写出作法过程和
根据)
五、证明题(10分)
如图,设FGH是完全四点形ABCD对边三点形,过F的两直线TQ与SP分别交
AB,BC,CD,DA于T,S,Q,P.试利用德萨格定理(或逆定理)证明:
TS
与QP的交点M在直线GH上。
六、计算题(42分)
1.(6分)平面上经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点,求单比(ABP)
2.(6分)已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0,求
(1)l的齐次坐标方程;
(2)l上无穷远点的坐标;
(3)l上无穷远点的方程。
3.(8分)在直线上取笛氏坐标为
2,0,3的三点作为射影坐标系的
P,P
E,(i)
*0
求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系;
(ii)问有没有一点,
它的两种坐标相等?
4.(8分)求点列上的射影变换,它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2
的点,并求出此射影变换的自对应元素的参数。
5.(6分)求由两个射影线束x1x30,x2x30,30所构成的二阶曲线的方
程。
6.(8
分
试求二次曲线Γ:
2
+2x
1x3
-4
x2x3的中心与渐近线。
x1
4x1x23x2
=0
┉一、填空题(每小题4分,共20分)
┉1、1(4分)
┉2、如果两个三线形对应边的交点在一条直线上,则对应顶点的连线
┉交于一点。
(4分)
┉3、2(4分)
4、
射影群包含仿射群,仿射群包含相似群,相似群包含正交群(4
分)
5、u1u3u22
0(4分)
┉二、选择题(每小题2分,共10分)
┉1.(D),2.(C),3.(B),4.(A),5.(B)
2分,共10分)
封三、判断题(每小题
┉1.(×
),2.(√),3.(
×
),4.(√),5.(√)
┉┉四、作图题(8分)
第1页共4页
作法过程:
1、设a,b,c交于点A,在c上任取一点C,(2分)
2、过C点作两直线分别与a交于B、E,与b交于F,D,(2分)
3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。
(2分)
根据:
完全四点形的调和共轭性(2分)
证明:
在三点形BTS与三点形DQP中(4分)
对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点,(2分)
由德萨格定理的逆定理知,(2分)
对应边的交点BT与DQ的交点G,TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线,即TS与QP的交点M在直线GH上。
(2分)六、计算题(42分)
1.(6分)
解:
设P点的坐标为(
AP
(ABP)
PB
BP
而:
x0
36,y0
1
x0,yo)
(分割比),(2分)
且P在直线x+3y-6=0上,
(3
6)3(2
)60
解得λ=1,
即P是AB中点,且(ABP)=-1
┉1.(6分)
(1)x1-2x2+x3=0
(2)(1,1/2,0)(2分)
(3)u1u21/20
┉2.(8分)
笛氏坐标
3
x
.
射影坐标:
P*
P0
E
λ
(i)由定义
λ=(P*P0,EP)=(2
0,3x)=(3
2)(x
0)
(x
2)(3
3x6
x,且10
故:
3x
60
636
(ii)若有一点它的两种坐标相等,即
x=λ则有x
x,即3x2-
6
封7x=0,
∴当x=0及x=7时两种坐标相等。
3.(8分)
设射影变换的方程为:
a
b
cd0
由题意知:
a+b
c
d
0,
6a2b
3c
0,6a+3b+2c+d=0
得到:
a:
b:
c:
d
3:
5:
7
故射影变换方程为:
'
5
5
7
二重元素满足:
32
10
得=7/3或=1
(6分)
由题意:
x23x30
由上式得:
x2x1
3x3x3
故所求方程即为3x1x3x2x30(2分)
6.(8分)
二次曲线的齐次方程为:
x12+3x1x2-4x22+2x1x3-10x2x3=0,
Daij
4
36
0∴二次曲线为常态的,
设中心(
),
且
A31,
A32
A33
13
25
而:
A312
A23
A33
则中心为(14
26)
求渐近线方程:
a11X2+2a12XY+a22Y2=0,X=x-ξ,Y=y-η。
从X2+3XY-4Y2=0→(X+4Y)(X-Y)=0.
X+4Y=(x-14)+4(y+
26
)=0
→
,
(
5x+20y+18=0
→-
-
X-Y=(x-14)-(y+
5y
8=0
5x
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