初等代数研究课后习题答案1Word文件下载.docx
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,bMMN,
?
对任何a,b,N,a,b,b,a
3、证明自然数的乘法是唯一存在的
唯一性:
取定,反证:
假设至少有两个对应关系,对,有fg,a,,bN
MfbgbN(),(),,设是由使fbgb()(),成立的所有的组成的集合,bfbgba()()1,,,?
,1M,设则fbgb()(),?
,,,fbagba()()bN,
,,,,,即,fbgb()(),?
fbgb()()?
bM?
MN,,bN
乘法是唯一的
存在性:
设乘法存在的所有组成集合当时,,Kaa,1,,bN
,,,设,,?
1,k,,111,1111,,,,,,,,,bbbbaK,,,bN
,,有与它对应,且,,对,令ab,1,,aaababa,,,,bNababb,,
,,aaaa,,,,,,,1111
,,,,ababbabab,,,,,,1
,,,()
(1)abba
,,,,aba
,即乘法存在?
KN?
aK
p24—5、解:
满足条件的有,,,AA,{1,2}A,{1,2,3}A,{1,2,4}A,{1,2,5}1234
,,,A,{1,2,3,4}A,{1,2,3,5}A,{1,2,4,5}A,{1,2,3,4,5}5678
,,,,,,,
基数和为?
,,,,,,,AAAAAAAA2,3,4,523343528,,,,,,12345678
p24—6、证明:
,中的与中的对应ABAaBb,,,yx
,?
,,,BAbaab?
,,ABab
,,,,,ABABBAABab,,
p24—8、证明:
1)3+4=7
,,,,3231(31)45,,,,,,,3134,,,
,,,3332(32)56,,,,,,,
,,,3433(33)67,,,,,,,
2)3412,,
,313,,32313136,,,,,,,
,33323239,,,,,,,
,343333312,,,,,,,
,,,,p24—12、证明:
1)()mnmn,,,
,,,,,,()1
(1)mnmnmnmn,,,,,,,,,
,,,2)()mnnmm,,
,,,,()1
(1)mnmnmnmnmm,,,,,,,
p26—36、已知对任何满足fmn(,)mnN,,
fnn(1,)1,,,
fmfm(1,1)(,2),,,
fmnfmfmn(1,1)(,(1,)),,,,,
求证:
1)fnn(2,)2,,
)2fnn(3,)22,,
n,13)fn(4,)22,,
1)当时,结论成立,fff(2,1)(11,1)(1,2)2112,,,,,,,n,1
假设时,结论成立,即,fkk(2,)2,,nk,
当时,nk,,1
fkfkffk(2,1)(11,1)(1,(2,)),,,,,,,,,,,,,fkkk(1,2)
(2)1
(1)2
所以对一切自然数结论都成立
2)当时,结论成立fnfnf(3,)(21,)(2,2)22212,,,,,,,,n,1
假设时,结论成立,即fkk(3,)22,,nk,
fkfkffk(3,1)(21,1)(2,(3,)),,,,,,,,,,,,,fkkk(2,22)2222
(1)2
11,3)当时,结论成立fff(4,1)(31,1)(3,2)22222,,,,,,,,n,1
k,1假设时,结论成立,即fk(4,)22,,nk,
k,1fkffkf(4,1)(3,(4,))(3,22),,,,kk,,12,,,,,2(22)222
p62—1、证明定理2.1
,,,[,],[,]abcdZ[,][,][,]abcdacbd,,,,
因为自然数加法满足交换律?
,,,,,[,][,]acbdcadb
而[,][,][,]cdabcadb,,,,?
,,,[,][,][,][,]abcdcdab
,,,[,],[,],[,]abcdefZ
[,][,][,][,][,][(),()]abcdefacbdefacebdf,,,,,,,,,,,
以为自然数满足加法结合律?
,,,,,([,][,])[,][,]([,][,])abcdefabcdef
即整数加法满足交换律和结合律
p62—2、已知,求证的充要条件是[,],[,]abcdZ,[,][,]abcd,[,][,][1,1]abcd,,
“”已知则[,][,]abcd,,adbc,,,
,,,,[,][,][,][1,1]abcdadbc
“”已知则,[,][,][1,1]abcd,,[,][1,1]adbc,,,,adbc,,,
[,][,]abcd
p62—4、已知,求证a,b,N,,,([,])[,]abab
,[,][,]abba,,,,,([,])[,][,]abbaabp62—5、已知,求证[,],[,]abcdZ,,,,,,([,][,])[,][,]abcdabcd
左边,,,,,,,,,([,][,])[,][,]abcdadbcbcad
右边,,,,,,,[,][,][,][,][,]abcdbacdbcad
所以左边等于右边?
,,,,([,][,])[,][,]abcdabcdp62—7、已知abcN,,,,求证当且仅当时[,][,]abcd,adbc,,,
“”已知,[,][,][,]abcdadbc,,,,,adbc,,,
因为?
,,[,]adbc是负数,?
[,][,]abcdadbc,,,
“”已知[,][,]abcd,则[,][,][,]abcdadbc,,,,,
因为[,]adbc,,是负数,?
,,,adbc
p62—9、已知,求证:
1),2),,,,Z,,,,,,,,,,,,
设,,,,[,],[,]abcd
1),,,,,,[,]acbd?
,,,,,,,()()acbd
而,,,,,,abcd,
()()()()acbdabcdabcd,,,,,,,,,,,
,,,,,,,
)2,,,,,[,]acbdadbc?
,,,,,acbdadbc()
acbdadbcacdbdcabcdabcd,,,,,,,,,,,,,()()()()()
,,,,
p63—12、名棋手每两个比赛一次,没有平局,若第名胜负的次数各为,ab,nkkk
222222,求证:
kn,1,2,........,aaabbb,,,,,,,......nn1212
对于,必存在一个使得ab,akn(1,2,...,),bjn(1,2,...,),kjkj
22222222abkjn,,(,1,2,...,)?
,,,,,,,aaabbb......,kjnn1212
p63—16、已知,,求证pab10,pcd10,padbc,证明:
由已知:
使,10abps,,10cdpt,,,,stZ,
bapsdcpt,,,,10,10,
,,,,,,adbcacaptaccpspcsat10(10)()
padbc
281a,p63—17、设2不整除,求证a
因为2不整除,所以存在唯一一对qrZ,,,使aqr,,2,其中a02,,r
2222?
81ar,1,?
,,aqq441aqq,,,14
(1),,
p63—20、设,求证是奇数的平方aaaa
(1)
(2)(3)1,,,,aZ,
aaaaaaaa
(1)
(2)(3)1[
(1)1]
(1)[
(2)
(2)1]1,,,,,,,,,,,,
22,,,,,,,,[
(1)
(1)][
(2)
(2)]1aaaa22,,,,,,,
(1)
(2)2
(1)
(2)1aaaa
2,,,,[
(1)
(2)1]aa
肯定一奇一偶肯定为偶数aa,,1,2?
,,
(1)
(2)aa
肯定为奇数?
,,,
(1)
(2)1aa
p63—22、证明:
前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9
(1),nn证明:
前n个自然数的和为2
因为:
n个自然数的和仍为自然数
1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数
若个位数码为2
则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1
而(1+n)-n=1?
个位数码不能为2
若个位数码为4
则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立
若个位数码为7
则1+n与n的个位数码有2种可能,则2,7或1,14
也不可能成立,若个位数码为9
则1+n与n的个位数码有2种可能,即2,9或1,18
也不可能成立,
综上,前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1()=()aaa,,......aaa,,......,12n12n
()是的公因数中的最大数aaa,,......,aaa,,......12n12n
所以R需考虑非负整数()=()aaa,,......aaa,,......,12n12np63—29、证明2.3定理4的推论(,)1ab,的充要条件是有xyZ,,使得axby,,1
因为(,)1ab,?
ab,不全为0
“”由定理4,,xyZ,使axbyab,,,(,)1,
“”设(,)abd,则,?
,daxby?
,dab(,)1dadb,?
d1,
p63—30、证明2.3定理6及其推论。
定理6:
若,则(,)(,)mambmab,mN,
若都为0,则显然成立(0,0)(0,0),mab,
不全为零,则使若ab,,,xyZ,axbyab,,(,)0000
'
而maxmbymamb,,(,)maxmbymaxby,,,()
因为,?
,,axbyaxby,,xyZ,axbyaxby,,0000
?
,,maxbymaxmby()mabmaxmby(,),mabmamb(,)(,),,00
而(,)(,)mambamxmbymab,,?
(,)(,)mambmab00
是的公因数,则的充要条件是推论:
设(/,/)1adbd,dab,(,)ab,d
“”是的公因数?
,ddadbdab(/,/)(,)ab,,d?
dN
“”因为,使dab,(,)?
,,xyZ,axbyd,,,
,使,,xyZ,(/)(/)1adxbdy,,(/,/)1adbd,,,
p64—32、证明2.3定理七及其推论
定理七:
若,,中至少有一个不为0,则(,)1ac,bc,(,)(,)abcbc,bZ,
中至少有一个不为0使bc,?
,,xyZ,abxcyabc,,(,)
因为因为(,)1ac,(,),(,)abcbabcc(,)(,)bcabc?
(,)(,)abcbc
推论:
若,,则(,)1ac,(,)1abc,(,)1bc,
因为,不为零?
bc,?
,(,)(,)1abcbc(,)1bc,
p64—33、已知是奇数,,求证nabnab,,,nab(,)n
因为nabnab,,,?
,,,,,,nababnabab()(),()()
nanb2,2nab2(,),因为是奇数,nab(,),,n
p64—36、已知,求证(,),(,)abdabd,,(,,,)aaababbbdd,
(,)(,),(,)aaabaabadabbbbd,,,
,(,,,)(,)aaababbbadbddd
p64—40、已知,求证aana,2,......中的倍数的个数等于(,)nanaN,
当时,结论成立,(,)1na,nna
时,,令,,则可改写为当(,)nad,aana,2,......ada,(,)1na,d,111
因为所以其中一定包括dadanda,2,......nanadnadna,2,......
(1),,d,11111111都是的倍数,共有个nd
2p64—42、已知是异于3的奇素数,求证241p,p
22证明:
是异于3的奇素数,为偶数,pp,3?
p1,p,,19
2其中都为合数,且都大于3pp,,1,1ppp,,,,1
(1)
(1)
都可被2、3中的一个整除,若,则由?
,,pp1,1pp,,,,1
(1)221p,
2,因为?
241ppp,,,,13,1321p,
np64—44、已知整数都大于1,是素数,求证且是素数an,na,1a,2
n证明:
反证不是素数当时不是素数与已知矛盾,所以是素数nna,2a,1
p64—45、求不大于50的一切素数
解:
平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
p64—46、求下列各数的标准分解式:
1)82798848
853解:
82798848=2311,,
p64—49、已知整数都大于1,求证abc,,[(,),(,)]([,],)acbcabc,
(,)(,)acbcab证明:
[(,),(,)](,)([,],)acbccabc,,,((,),(,))(,)acbcab
pppp66—69、已知是奇素数,求证1)p123...
(1)0(mod),,,,,,pp
ppp,,,1112)123...
(1)1(mod),,,,,,,pp
1)因为(1,)1,(2,)1,...,(1,)1pppp,,,,
pppp,,…?
11(mod)p22(mod),p33(mod),p
(1)1(mod)ppp,,,
ppp?
,,,,,,,,,,,123...
(1)(123...
(1))(mod)ppp
pp
(1),pp
(1),因为p123...
(1),,,,,,p22
,,,,,,123...
(1)0(mod)pp
p,1p,1p,1p,12),,…11(mod),p21(mod),p31(mod),p
(1)1(mod)pp,,
ppp,,,111?
,,,,,,,123...
(1)1(mod)pp
qp,,11p66—70、设是相异素数,求证pq,pqpq,,1(mod)
q,1p,1qp,,11证明:
,,pp,0(mod)qp,1(mod)?
,,pqp1(mod)
qp,,11qp,,11同理pqq,,1(mod)?
,,pqpq1(mod[,])
qp,,11即pqpq,,1(mod)
2,,p66—72、已知是素数,,求证p,,,,
(1)()()...(),,,,,pppp,,N
kkk,1证明:
因为是素数,所以p,(),pppkN,,,
221,,,,?
,,,,,,,,()1,(),....,()pppppppp
2,,因为,
(1)1,?
,,,,,,,,,
(1)()()...()pppp
p66—73、计算,(66150)
322解:
66150的标准分解式为661502357,,,,
02?
,,,,,,,,,,(66150)2357(21)(31)(51)(71)15120
p66—74、已知整数,求证2(),aa,2
,,n12证明:
设的标准分解式为,其中为素数ppp,,...,appp,,,,...a12n12n
aa,1n,若显然,?
2(),a,,,1,(1,2,...,)in,()22a,,a,2i
n当时,一定且p,1为偶数,?
2(),a,,p2a,211
综上所述时2(),aa,2
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