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(3)
个别值的预测区间:
[(Cf
d1f:
)2)&
*11"
:
)2)]
Yn瓦%\n送%
=[(650一2.23心心存^^),(650+2於顾存黑益叫
=(650-30.1247,650+30.1247)
=(619.88,680.12)元
当Yf=1000时,在95%勺置信概率下消费支出C个别值的预测区间为(619.88,680.12)丿元。
2.4
要求:
⑴崖立建筑面积与建造单位成本的线性回归方程,
⑵解释回归系数的经济意几
估计当建筑而积为4.5万平方米肘,建造单位成本可能是多少?
mVXV-yxyv解:
⑴b=jj二
严斷—诃2=-3353152=_64ig4
12x192.5022-42J84522.428
y=184547-64.184x
(2)当建筑面积Ml万平方米时,建造草位成本平均下降64.184元.
(3)区间预测
取〉=0.5,Yf平均值置信度95%勺预测区间为
—2
Yf-t
(Xf-X)
2
'
Xi
已知Yf=1556.647,10.025(10)=2.228,a=31.736,n=10
2一22
Xi=、(Xf—X)=;
「x(n-1)=(1.9894)八2*1仁43.5348
(Xf-X)2=(4.5-3.5233)八2=0.9539
当Xf=4.5时,将相关数据代入计算得到
109539
1556.647二2.228*31.736*、1=1556.647二22.9386
V1243.5348
即是说,当建筑面积达到4.5万平方米时,建造平均单位成本平均值
置信度95%的预测区间为
(1533.7084,1579.5856)元。
第三章
思考题
3.2答:
多元线性回归模型中,回归系数[(j=1,2,…,k)表示的是当
控制其它解释变量不变的条件下,第j个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响,这样的回归系数称为偏回归系数。
简单线性回归模型只有一个解释变量,回归系数表示解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响。
多元线性回归模型中的回归系数是偏回归系数,是当控制其它解释变量不变的条件下,某个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响,从而可以实现保持某些控制变量不变的情况下,分析所关注的变量对被解释变量的真实影响。
3.3答:
多元线性回归中的古典假定比简单线性回归时多出一个无多重共线性假定。
假定各解释变量之间不存在线性关系,或各个解释变量观测值之间线性无关。
解释变量观测值矩阵X列满秩(k列)。
这是保证多元线性回归模型参数估计值有解的重要条件。
3.4答:
多元线性回归分析中,多重可决系数是模型中解释变量个数的增函数,这给对比不同模型的多重可决系数带来缺陷,所以需要修正。
联系:
由方差分析可以看出,F检验与可决系数有密切联系,二者都建立在对应变量变差分解的基础上。
F统计量也可通过可决系数计算。
对方程联合显著性检验的F检验,实际上也是对可决系数的显著性检验。
区别:
F检验有精确的分布,它可以在给定显著性水平下,给出统计意义上严格的结论。
可决系数只能提供一个模糊的推测,可决系数越大,模型对数据的拟合程度就越好。
但要大到什么程度才算模型拟合得好,并没有一个绝对的数量标准。
练习题3.4
填补表中空缺数据:
-2.755367
⑴tc=0.640080=4.304723
0.451234
(2)=337483?
=0.130789
(3)=0-161566=3.881590
(4)=0.005645xlJ95567=0.010136
⑸」"
用烷」"
阿59唏电986159
(6)S.Eofregression回归标准差
stun$quaredresid10.622904
=V=726=0.154783
炉n^k0.98759126
(7)=1-0.987591*30=689,751148
②分析回归结果:
根据图中数据,模型估计的结果写为:
InF=-2.755367+0.451234lnV+0.627133ln^+0.010136匚
1)拟合优度:
由上图数据可以得到,可决系数=0.987591,修正的可决系数^=0.986159,这说明模型对样本的拟台很好。
2)F检验:
针对=给定显著性水平^=005,在f
分布表中查出自由度为k・lW和mk=26的临界值巴卩3)电6九由上图得到F=689,751148,由于F=689.751148>
(3'
26),应拒绝原假设,说明回归方程显著,即国内生产总值、财政支岀、商品零售价格指数等变量联合起来对中国税收收入有显善影响。
3)t检验:
由上图中的P值可以判断,在尬=0心的显著性水平下,邸'
、包、A估计值对应的P值小于6T=0.05f表明对应解释变量对被解释变量影响显著。
在0=叩0的显著性水平下,与只估计值对应的P值小于W表明对应解釋变量对被解释变量影响显著。
③评估参数的经济意义:
当其他变量不改变时,国内生产总值每增加%中国税收收入增加0451234%.
当其他变量不改变时,财政支出每増加1%,中国稅收收入增加0,627133%.
当其他变量不改变时,商品零售价格指数每增加1%,中国稅收收入
增加0.010136%,
△感觉3.5的数字有误,但是过程可
以参考(470895-70895)
3.5已知某商品的需求量(Y)、价格(X2)和消费者收入(X3),下表给出了解释变量X2和.X3对Y线性回归方差分析的部分结果:
表3.10方差分析表
变差来源
平方和(SS)
自由度(df)
平方和的均值(MSS
来自回归(ESS)
377067.19
来自残差(RSS)
470895.00
总变差(TSS)
19
1)回归模型估计结果的样本容量n、来自回归的平方和(ESS)、回归平方和ESS与
残差平方和RSS的自由度各为多少?
2)此模型的可决系数和修正的可决系数为多少?
3)利用此结果能对模型的检验得出什么结论?
能否认为模型中的解释变量X2和X3联合起来对某商品的需求量Y的影响是否显著?
本例中能否判断两个解释变量X2和X3各自对某商品的需求量Y也都有显著影响?
【练习题3.5参考解答】
3-1=2
188533.60
70895.00
20-3=17
4170.2941
447962.19
1)n=19+1=20
来自回归的平方和(ESS)的自由度为k-仁3-1=2
残差平方和RSS的自由度为n-k=20-3=17
TSS-RSS=〔_RSS_〔_'
ef
TSSTSS、(Y-Y)2
(YiV'
(Y-YY'
(y?
-Y)2
=447962.19
=377067.19+70895.00
3)F=188533.60/4170.294仁45.2087
或者
F”企咅丄45.1955k-11-R23-11-0.8417
F0.05(2,17)=3.59cF=45.1955
所以可以认为模型中的解释变量X2和X3联合起来对某商品的需求量(Y)的影响显
著
但是,判断判断两个解释变量X2和.X3各自对某商品的需求量Y也都有显著影响
需要t统计量,而本例中缺t统计量,还不能作出判断。
第四章
4.1答:
多重共线性包括完全的多重共线性和不完全的多重共线性。
多重共线性实质上是样本数了解释变量系数矩阵的线性相关问题。
产生多重共线性的经济背景主要有以下几种情形:
第一,经济变量之间具有共同变化趋势。
第二,模型中包含滞后变量。
第三,利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性。
第四,样本数据自身的原因。
4.5答:
原因是这些变量之间通常具有共同变化的趋势。
4.9
1)答:
正确。
理由:
在高度多重共线性的情形中,没有任何方法能从所给的样本中把存在高度共线性的解释变量的各自影响分解开来,从而也就无法得到单个参数显著性检验的t统计量,因此无法判断单个或多个偏回归系数的单个显著性。
2)答:
错误。
在完全多重共线性情况下,参数估计值的方差无穷大,因此不再是有效估计量,从而BLUE不再成立。
3)答:
方差扩大因子VIFjJ,当R2时,方差扩大因子也会很大,说明变量
0-Rj)
之间多重共线性也会越严重。
4)答:
较高的简单相关系数只是多重共线性存在的充分条件,而不是必要条件特别是在多于两个解释变量的回归模型中,有时较低的简单相关系数也可能存在多重共线性,这时就需要检查偏相关系数。
因此,并不能简单地依据相关系数进行多重共线性的准确判断。
5)
VIFVar(?
3)牙VIF,从而方差扩大因
送X3i
子VIF越大,参数估计量的方法越大。
6)答:
在多元回归模型中,可能会由于多重共线性的存在导致R2很高的情况下,各个参数单独的t检验却不显著。
7)答:
根据公式,Var(?
3)2厂,在两个解释变量线性相关程度一定的情
Ex2(1—恳)
况下,X3的值很少变化,从而会使得x2i很小,从而Var(?
3)增大,如果全部X3
值都相同,'
•x2i趋于零,Var(?
3)将是无穷大。
8)正确。
如果分析的目的仅仅是预测,则多重共线性是无害的。
练习题4.2
克莱因与戈德伯格曾用1921-1950年(1942-1944年战争期间略去)美国国内消费丫和工资收入X1、非工资一非农业收入X2、农业收入X3的时间序列资料,利用OLSE古计得出了下列回归方程:
0=8.1331.059X10.452X20.121X3
(8.92)(0.17)(0.66)(1.09)
R2=0.95F-107.37
(括号中的数据为相应参数估计量的标准误)。
试对上述模型进行评析,指出其中存在的问题。
解:
从模型拟合结果可知,样本观测个数为27,消费模型的判定系数R2=0.95,
F统计量为107.37,在0.05置信水平下查分子自由度为3,分母自由度为23的F临界值为3.028,计算的F值远大于临界值,表明回归方程是显著的。
模型整体拟合程度较高。
依据参数估计量及其标准误,可计算出各回归系数估计量的t统计量值:
―整"
91乙二壘®
0,t2=叱"
6恥
8.920.170.661.09
除t1外,其余的tj值都很小。
工资收入X1的系数的t检验值虽然显著,但该
系数的估计值过大,该值为工资收入对消费边际效应,因为它为1.059,意味着
工资收入每增加一美元,消费支出的增长平均将超过一美元,这与经济理论和常识不符。
另外,理论上非工资一非农业收入与农业收入也是消费行为的重要解释变量,但两者的t检验都没有通过。
这些迹象表明,模型中存在严重的多重共线性,不同收入部分之间的相互关系,掩盖了各个部分对解释消费行为的单独影响。
4.5
(1)由于第三个解释变量Mt-Mt」是Mt和皿〜的一个线性组合,所以可
能存在多重共线性问题。
(2)如果重新将模型设定为:
GDR十+“「网(3-r)Mt」ut
=「一片Mt—:
:
2Mt」ut
我们可以唯一地估计出「、冷、〉2,但不能唯一地估计出:
2、:
3、:
4
(3)由于不再有完全共线性,所有参数都能唯一地估计出来。
(4)答案同(3)
第五章
练习题5.1
练习題£
1参考解答:
(1)因为皿)=易所以取隔二
用用L乘给定模型两端,得
Z1/=!
*?
F您+AF禺十
,丄JJT7-V
A2iA2i
上述模型的随机误差项的方差为一固定常数,即
畑(¥
)=寺『"
(叫)二+
Xl\孔
(2)根据加权最才匚乘ii,可得修正异方差后的参数估计式为
瓦-过%心;
◎码心)-(E也必;
JiV吟;
x;
)亠(2匹垃)(2%璋)-(》%坨垃『
k二(工叭丁:
工;
)(工鸣必)-(力玖”工)(17/;
总)一E%总)£
肥云)-£
叫坨边『
其中
「邓厂厂》叮一尹
X2i=X)厂X】
x3i=^i—X
5.3
题5.3参考解答:
(1)建立样本回归函数。
Y=179.1916+0.7195X
(0.808709)(15.74411)
R=0.895260,F=247.8769
(2)利用White方法检验异方差,则White检验结果见下表:
HeteroskedasticityTest:
White
Prob.
F-statistic
7.194463F(2,28)
0.0030
Obs*R-squared
10.52295Chi-Square
(2)
0.0052
Scaledexplained
SS
30.08105Chi-Square
(2)
0.0000
由上述结果可知,该模型存在异方差。
分析该模型存在异方差的理由是,从数据可以看出,一是截面数据;
二是各省市经济发展不平衡,使得一些省市农村居民收入高出其它省市很多,如上海市、北京市、天津市和浙江省等。
而有的省就很低,如甘肃省、贵州省、云南省和陕
西省等。
(3)用加权最小二乘法修正异方差,分别选择权数
viujvJrIjiuIjl[r*■iiel■h-m-oiiiu■i■uu±
u■i一auii■»
i-uir—nujdhl■-?
v-aL3-■fj
DependentVariableYf^lethod11_目百台tSquaresDate08/24/09Time1804Sample1131
Includedobservations31
Weighting;
seriesVJ3
Variable
Coefficient
StdErrort-Stati&
tic
CX
787.2847
0561472
17369644.53253400557311007468
00000000(
Areighted
Statistiic:
s-
R-sqiLiaredl
AdjustedR-squaredS=Eofiom
SumsquaredresidLeglikeliihoodDurbin-Watsonstat
09460<
60
0944200275.20-952196468
-217.01969
24B27SO
[Twleande|pendei~itvarSDdependentvsrAk^iksir^fbC:
iit^rionSchwarzcriterionstatistic
IProb(F-statistic}
274360(
1165051
1413521
142278(
1014991
000000(
UnweightedStatistics
A-squar^d
AdjustedR-squaredSEa:
f口门
Dlirbin-V/atsonstat
0B4B00'
30.842762S94S4481.741955
fu1eandependentvgirS.D.dependentvarSumsquaredresid
337630J
149961;
1025447:
书写结果为
Y^=787.28470.5615X
(4.5325)(10.0747)
R2=0.9461,F=101.4992
第六章
6.1答:
DW检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验方法,一般的计算机软件都可以计算出DW值。
给定显著水平a,依据样本容量n和解释变量个数k'
,查D.W.表得d统计量的上界du和下界dL,当OvdvdL时,表明存在一阶正自相关,而且正自相关的程度随d向0的靠近而增强。
当dLvdvdu时,表明为不能确定存在自相关。
当du<
d<
4-du时,表明不存在一阶自相关。
当4-du<
4-dL时,表明不能确定存在自相关。
当4-dL<
4时,表明存在一阶负自相关,而且负自相关的程度随d向4的靠近而增强。
DW检验的前提条件:
(1)回归模型中含有截距项;
(2)解释变量是非随机的(因此与随机扰动项不相关)
(3)随机扰动项是一阶线性自相关。
;
(4)回归模型中不把滞后内生变量(前定内生变量)做为解释变量。
(5)没有缺失数据,样本比较大。
DW佥验的局限性:
(1)DW检验有两个不能确定的区域,一旦DW值落在这两个区域,就无法判断。
这时,只有增大样本容量或选取其他方法
(2)DW充计量的上、下界表要求n_15,这是因为样本如果再小,利用残差就很难对自相关的存在性做出比较正确的诊断
(3)DW检验不适应随机误差项具有咼阶序列相关的检验
(4)只适用于有常数项的回归模型并且解释变量中不能含滞后的被解释变量
6.4
(1)答:
当回归模型随机误差项有自相关时,普通最小二乘估计量是无偏误的和非有效的。
(2)答:
DW统计量的构造中并没有要求误差项的方差是同方差。
(3)答:
用一阶差分法消除自相关是假定自相关系数'
为1,即原原模型存在完全一阶正自相关。
(4)答:
正确
6.5答:
给定显著水平a=0.05,依据样本容量n=50和解释变量个数k'
=4,查
D.W.表得d统计量的上界du=1.721,下界dL=1.378,4-du=2.279,4-dL=2.622。
(1)DW=1.05:
dL,所以模型存在正自相关。
⑵dL:
DW=1.40du,所以模型不能确定是否存在自相关。
(3)4-du:
DW=2.50:
4-dL,所以模型不能确定是否存在自相关。
(4)DW=3.974-dL,所以模型存在负自相关。
第八章
8.1答:
虚拟变量是人工构造的取值为0或1的作为属性变量代表的变量。
作用主要有:
(1)可以作为属性因素的代表,如性别、所有制等;
(2)作为某些非
精确计量的数量因素的代表,如受教育程度、管理者素质等;
(3)作为某些偶
然因素或政策因素的代表,如战争、灾害、改革前后等;
(4)可以作为时间序
列分析中季节的代表;
(5)可以实现分段回归,研究斜率、截距的变动,或比较两个回归模型的结构差异。
8.7答:
大专以下男性(D2=00=0)服装消费模型:
Y「XjUi
大专以下女性(D2=1,。
3=0)服装消费模型:
Y“1*2•-XjUj
大专及大专以上男性(D2=0,D^1)服装消费模型:
Y--'
.m'
■Xj■Uj
大专及大专以上女性(D^1,D^1)服装消费模型:
Yj=冷h工2:
•二3•:
Xj-uj
练习题8.1
a・根据模型所得回归结果,各参数均显著,^0.9156,表明模型整体拟合程度较好,R系数为-0-132&
表明,当失业率Tg基础货币肛虚拟变量都不改变的情况下,预期通货膨胀率膨胀率每増长1个百分嵐国库券利率会下降
0.1328个百分鼠(同理,描述其他解释变量hY-系数为0.6592,表明其他解
释变量不变时,滞后一期的国库券利率对当期的影响是,滞后一期的国库券利率每提升1个百分点,当期的国库券利率上升0.6592个百分点口D:
取值为1时,即放宽利率管制,当其他解释变量不改变亦国库券利率上升25831个百分点,b.1979年7月之前,匸①未放宽利率管制模型:
0=&
5371-0.1328耳・0.7102禺P2389吗+0.6刃2打]
1979年7月之后,放宽利率管制模型:
0=8.58?
1一0」328匕0/7102!
7阳02389他+0&
92JW+23831
从模型可以看出.放宽利率后,当其他解释变量不变时,国库券的利率上升了
2.5831个百分点因此实行放宽利率菅制政策,增加国库券的利率,
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