浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第41讲课本题改编型问题讲解篇179.docx
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浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第41讲课本题改编型问题讲解篇179
第41讲 课本题改编型问题
内容
特性
课本中例题、习题是针对教材内容而设置,具有示范性、典型性和代表性,例题、习题是学业考试试题和模拟试题编制的题源,这种“源于课本,又高于课本”的考题,既立足教材,又迁移了教材中解决问题的基本思想和方法,对教材中问题的适当拓展或延伸,改变题目的原有呈现形式,实现问题的推陈出新.
解题
策略
通过课本中例题、习题的基本解题思路和改编后问题的结构去进一步探索,结合纵向、横向思考,特殊到一般等数学方法.
基本思想
类比思想、特殊到一般、运动变换思想体现较多.
类型一 以题改题-情景不变,内容改变
课本的作业题中有这样一道题:
把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?
请画示意图说明剪法.
我们有多少种剪法,图1是其中的一种方法:
定义:
如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;
(3)如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第63页探究活动.问题通过课本题再赋予新的定义,进行了类比探究,丰富问题内含.考查了学生学习的理解能力及动手创新能力,知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,是一道体现能力的题目.
(浙教版教材八上,第86页第16题)
1.已知△ABC中,AB=AC,点E、F分别是直线BC,AC上的点,直线AE、BF相交于点P,且CF=k·BE,∠BAC=α.
(1)若点E、F分别是边BC,CA上的点.
①如图1,k=1,α=60°,求∠APF的度数;
②如图2,k=,α=120°,求∠APF的度数;
(2)如图3,若点E在边BC上,点F在CA的延长线上,k=,α=120°,求∠APF的度数.
类型二 以题生题-借助习题,拓展问题
(2015·温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?
奥地利数学家皮克(G.Pick,1859~1942)证明了格点多边形的面积公式:
S=a+b-1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图,a=4,b=6,S=4+×6-1=6.
(1)请在图1中画一个格点正方形,使它内部只含有4个格点,并写出它的面积;
(2)请在图2中画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其他格点.
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八下第103页课题学习.本题是应用与设计作图,关键是理解皮克公式,根据题意求出a、b的值.
(浙教版教材八下,第132页第11题)
2.(2017·湖州)已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
(1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE,求证:
OE=OG;
(2)如图2,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连结DH交CE于点F,交OC于点G.若OE=OG,
①求证:
∠ODG=∠OCE;
②当AB=1时,求HC的长.
类型三 借景编题-利用材料,设置问题
如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________________________________________________________________.
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九上第17页探究活动.此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键.
(浙教版教材九下,第10页第5题)
3.(2015·衢州)如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,tanα=,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )
A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm
类型四 多题联题-利用习题,组合编题
已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题.
(1)A比B后出发几个小时?
B的速度是多少?
(2)在B出发后几小时,两人相遇?
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第166页第2题和第165页例2.本题考查利用一次函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,准确识图并获取信息是解题的关键.
(浙教版教材九上,第149页第5题和第136页第6题)
4.锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0),当x= ,公共部分面积y最大,y最大值= .
类型五 以题换题-结构不变,情景改变
(2016·绍兴)课本中有一个例题:
有一个窗户形状如图1,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?
这个例题的答案是:
当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2.
我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题:
(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积?
(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?
请通过计算说明.
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九上第24页例1.此题主要通过例题的方法去解决新问题,正确表示出函数解析式是解题关键.
(浙教版教材九下,第23页第5题;浙教版教材九上,第148页第2题)
5.如图是一只球沿着斜面向下运动的截面图,球的半径为0.24m,接触点为B,BC=6m,斜面坡角为α=20°,求球最高点A离地面的距离AH.(精确到0.1m)
(参考数据:
sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
【课本改变题】教材母题--浙教版教材八下,第127页第4题
提出问题:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证:
AE=DH;
类比探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
综合运用:
(3)在
(2)问条件下,HF∥GE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积.
【方法与对策】本题通过课本题逐步深化,借助课本题模型联系前后知识和方法设置问题,绍兴市中考对该课本题也改编过.本题考查了三角形的综合知识.用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强,难度较大.这是中考课本题改编题的常用题型.
【求最值时,忽视自变量的取值范围】
某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:
在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元)
x
销售量y(件)
销售玩具获得利润w(元)
(2)在
(1)问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元;
(3)在
(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
第41讲 课本题改编型问题
【例题精析】
例1
(1)如图2作图.
(2)如图3①、②作△ABC.①当AD=AE时,∵2x+x=30+30,∴x=20.②当AD=DE时,∵30+30+2x+x=180,∴x=40.(3)如图4,CD、AE就是所求的三分线.设∠B=α,则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α,∠ADE=∠AED=2α,此时△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC,设AE=AD=x,BD=CD=y,∵△AEC∽△BDC,∴x∶y=2∶3,∵△ACD∽△ABC,∴2∶x=(x+y)∶2,所以联立得方程组解得即三分线长分别是和.
例2
(1)画法不唯一,如答图1或2.
(2)画法不唯一,如答图3或4.
例3 由题意可得出:
y=a(x+6)2+4,将(-12,0)代入得出,0=a(-12+6)2+4,解得:
a=-,∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是:
y=-(x+6)2+4.故答案为:
y=-(x+6)2+4.
例4
(1)由图可知,A比B后出发1小时;B的速度:
60÷3=20(km/h);
(2)由图可知点D(1,0),C(3,60),E(3,90),设OC的解析式为s=kt,则3k=60,解得k=20,所以s=20t,设DE的解析式为s=mt+n,则解得所以s=45t-45,由题意得解得所以,B出发小时后两人相遇.
例5
(1)由已知可得:
AD==m,则S=1×=m2,
(2)设AB=xm,则AD=m,∵3-x>0,∴0 S=AB·AD=x=-x2+3x=-+,当x=m时,且x=m在0 【变式拓展】 1. (1)①∵AB=AC,α=60°,∴△ABC为等边三角形.∵k=1,∴CF=BE,∵∴△ABE≌△BCF,∴∠CBF=∠BAE,∴∠APF=∠BAE+∠ABP=∠CBF+∠ABP=60°;②∵CF=·BE,∴=,∵AB=AC,α=120°,∴=.∵∴△ABE∽△BCF,∴∠CBF=∠BAE,∴∠APF=∠BAE+∠ABP=∠CBF+∠ABP=30°. (2)∵∴△ABE∽△BCF,∴∠CFB=∠AEB,又∵∠CAE=∠FAP,∴∠APF=∠C=30°. 2. (1)如题图1中,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OD=OC,∴∠DOG=∠COE=90°,∴∠OEC+∠OCE=90°,∵DF⊥CE,∴∠OEC+∠ODG=90°,∴∠ODG=∠OCE,∴△DOG≌△COE(ASA),∴OE=OG. (2)①证明: 如题图2中,∵OG=OE,∠DOG=∠COE=90°,OD=OC,∴△ODG≌△OCE,∴∠ODG=∠OCE.②设CH=x,∵四边形ABCD是正方形,AB=1,∴BH=1-x,∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°,∵EH⊥BC,∴∠BEH=∠EBH=45°,∴EH=BH=1-x,∵∠ODG=∠OC
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