导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案.doc
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导数及其应用
【考纲说明】
1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】
导数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则
一、导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x0+)-f(x0),比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+之间的平均变化率,即=。
如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作f’(x0)或y’|。
即f(x0)==。
说明:
(1)函数f(x)在点x0处可导,是指时,有极限。
如果不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x0处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤:
(1)求函数的增量=f(x0+)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f’(x0)=。
二、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0)。
相应地,切线方程为y-y0=f/(x0)(x-x0)。
三、几种常见函数的导数
①②③;④;
⑤⑥;⑦;⑧.
四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
‘=(v0)。
形如y=f的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——求导——回代。
法则:
y'|x=y'|u·u'|x
五、导数应用
1、单调区间:
一般地,设函数在某个区间可导,
如果,则为增函数;
如果,则为减函数;
如果在某区间内恒有,则为常数;
2、极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3、最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ(x)在(a,b)内的极值;
②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
4.定积分
(1)概念:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0 ,即=(ξi)△x。 这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。 基本的积分公式: =C;=+C(m∈Q,m≠-1); dx=ln+C;=+C; =+C;=sinx+C;=-cosx+C(表中C均为常数)。 (2)定积分的性质 ①(k为常数); ②; ③(其中a<c<b。 (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线x=a,x=b(a 如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x=a,x=b(a 【经典例题】 【例1】(2012广东)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程: 。 【解析】先对函数y=x3-x+3求导,得: y=3x2-1。 代入点(1,3)求出斜率,k=2。 设切线方程为y-3=2(x-1),得切线方程为: y=2x+1。 【例2】(2012辽宁)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A的纵坐标为。 【解析】抛物线变形为: y=x2。 求导y,=x。 代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为: 4,-2。 点P,Q两点坐标为(4,8),(-2,2)。 得出两切线为: y=4x-8,y=-2x-2。 两直线交点为(1,-4)。 所以交点的纵坐标为-4。 【例3】(2011课标)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为x+2y-3=0。 (1)求a,b的值; (2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>,求k的取值范围。 b=1 f(x)=1 【解析】 (1)f,(x)=由于直线x+2y-3=0的斜率为,且过点(1,1), = f, (1)= 故即解得a=1,b=1。 (2)由 (1)知,所以。 考虑函数,则。 (i)设,由知,当时,。 而,故 当时,,可得; 当x(1,+)时,h(x)<0,可得h(x)>0 从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+. (ii)设0 (1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。 (iii)设k1.此时h’(x)>0,而h (1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k的取值范围为(-,0]. 【例4】(2012山东)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与x轴平行。 (Ⅰ)求k的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)设g(x)=(x2+x),其中为f(x)的导函数,证明: 对任意x>0,。 【解析】由f(x)=可得,而,即,解得; (Ⅱ),令可得, 当时,;当时,。 于是在区间内为增函数;在内为减函数。 (Ⅲ), 当时,,. 当时,要证。 只需证,然后构造函数即可证明。 【例5】(2012北京)已知函数,其中. (Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值; (Ⅲ)设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数) 【解析】(Ⅰ),(),在区间和上,;在区间上,.所以,的单调递减区间是和,单调递增区间是. (Ⅱ)设切点坐标为,则解得,. (Ⅲ),则解,得, 所以,在区间上,为递减函数,在区间上,为递增函数. 当,即时,在区间上,为递增函数,所以最大值为. 当,即时,在区间上,为递减函数,所以最大值为. 当,即时,的最大值为和中较大者; ,解得,所以,时,最大值为,时,最大值为. 综上所述,当时,最大值为, 当时,的最大值为. 【例6】(2012重庆)已知函数在处取得极值为 (1)求、b的值; (2)若有极大值28,求在上的最大值。 【解析】错误! 未找到引用源。 (Ⅰ)因故由于在点处取得极值 故有即,化简得解得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 令,得当时,故在上为增函数;当时,故在上为减函数当时,故在上为增函数。 由此可知在处取得极大值,在处取得极小值由题设条件知得, 此时,因此上的最小值为。 【例7】(2011安徽)设,其中为正实数 (Ⅰ)当时,求的极值点; (Ⅱ)若为上的单调函数,求的取值范围。 【解析】 (1)f'(x)=当a=时令f'(x)=0解得x=或x= 当x时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0; 当x,f'(x)>0,所以f(x)在x=处取得极大值,在x=处取得极小值。 (2)若为上的单调函数则f'(x)恒大于等于零或f'(x)恒小于等于零,
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