教你怎么利用数学概率购买彩票Word格式.docx
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完成一件事,有n类法子,在第一类法子中有m1种分歧的方法,在第二类法子中有m2种分歧的方法,……,在第n类法子中有mn种分歧的方法.那么,完成这件事共有
N=m1十m2十……十mn
种分歧的方法.
再看下面的问题:
从甲地到丙地必需经过乙地,从甲地到乙地有A,B,C,D四条路途;
从乙地到丙地有H,I,J三条路途.问从甲地到丙地共有几种走法?
因为从甲地到乙地有4种走法,而采纳每一种走法走到乙地后,又可有3种走法到丙地.所以共有4*3=12种分歧的走法.
乘法原则:
完成一件事,有n个步伐,第一步有m1种分歧的方法,第二步有m2种分歧的方法,……,第n步有mn种分歧的方法,必需通过每一步伐,才算完成这件事,那么完成这件事共有N=m1×
m2×
……×
mn种分歧的方法.
思考题:
1,一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成.选出1人来完成这件工作,共有几多种方法?
2,一件工作要通过两个步伐完成,第一个步伐有5种方法可以完成,第二个步伐有4种方法可以完成.问完成这件工作共有几种方法?
第二讲
排列
(一)排列的概念
关于排列,我们先看下面的例子:
例:
由数字1,2,3,4可以组成几多个没有重复数字的三位数?
题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字.根据题意.
第一步,先确定百位上的数字.在1,2,3,4这四个数字中任取一个,共有4种方法;
假设我们取3作为百位数.
第二步,确定十位上的数字.当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数字中1,2,4中去取,共有3种方法;
假设我们取2作为十位数.
第三步,确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取,共有2种方法.
根据乘法原理,从四个分歧的数字中,每次取出三个排成三位数的方法共有4×
3×
2=24种.就是说,共可以排成24个分歧的三位数.
界说1:
一般地说,从n个分歧元素中,任取m(m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况),依照一定的顺序排成一列,叫做从n个分歧元素中取出个m元素的一个排列.
从排列的界说知道,如果两个排列相同,不单这两个排列的元素相同,而且排列的顺序也必需完全相同.如果所取的元素不完全相同,如问题中的三位数“123”和“321”,虽然它们的元素相同,但排列顺序分歧,也是两个分歧的排列.
由数字0,1,2,3,4可以组成几多个没有重复数字的三位数?
第三讲
排列
(二)有重复的排列
上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素,可是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题,所以有需要对此作一下讨论.
在界说前,我们先看一下下面的例子:
由1-9这九个数字,共可组成几多个六位数?
(每个位置上的数字可以重复)
1,先确定十万位上的数字.在1-9这九个数字中任取一个,共有9种方法.
2,确定万位上的数字.在1-9这九个数字中任取一个,还是有9种方法.
3,千位,百位,十位和个位上的数字取法如上,都为9种.
4,根据乘法原理,共有9×
9×
9=531441种取法.
界说2:
一般地说,从n个分歧元素中,任取m(m<=n)个元素(元素可以重复),依照一定的顺序排成一列,叫做有重复的排列.
在我们身边,“数字型彩票”就是属于有重复的排列.它的游戏规则年夜家肯定不会陌生,是从0-9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数,然后从0-4这5个数字中任取1个数字作为特别名码.只不外这个六位数和数学意义上的六位数有些分歧,它允许0作为十万位上的数字.
由上述的界说2,不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有
特别名码个数×
106种
即五百万个分歧的开奖号码.
第四讲
排列(三)排列数的计算公式
前面两讲中我们讨论的是一些比力简单的排列问题,可以用穷举的方法来解决.但对一些相对较复杂的问题,就不能这样做了,需要根据具体的计算公式来解答.
界说3:
从n个分歧元素中,任取m(m<=n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个分歧元素中取出m个元素的排列数,用符号P(m,n)暗示.
例如:
从5个分歧元素中取出3个元素的排列数暗示为P(3,5).
求排列数P(m,n)可以这样考虑:
设有n个元素m1,m2,...,mn从其中先任选1个元素排在第一个位置,因为m1,m2,...,mn中任选1个都可以,所以有n种方法;
排在第二个位置的元素,是除选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个,所以有n-1种方法;
这样下去,选第三个,第四个......第m个位置的元素的方法,数目分别是n-2,n-3,...,n-(m-1).
根据乘法原则,它们的总数是这m个排列方法的数目的积,即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以
P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1).这里m<
=n.
这就是说,从n个元素中每次取出m个元素,所有的排列总数即是m个连续自然数的积,其中最年夜的一个数是n,这个公式叫做排列数公式.
当m=n时,叫做n个分歧元素的全排列.
计算排列数P(2,4),P(4,6),P(7,7)
第五讲
排列(四)排列数计算公式的应用
学习了排列数的计算后,我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题.看一下下面的这两个例子.
例1:
红,黄,蓝三种颜色分歧的旗,按分歧的次第排成一列暗示信号,可以单用一面,或两面,三面并用,问一共可以暗示几多分歧的信号?
一面组成的信号有P(1,3)种;
两面组成的信号有P(2,3)种;
三面组成的信号有P(3,3)种.
根据加法原则,得:
P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15(种)
例2:
有一分,两分,五分的硬币各若干枚.从中挑出1-3枚硬币暗示一种代号.可以只用一枚,也可用两枚,也可用三枚,允许重复挑选.问一共有几多种分歧的代号?
这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决.
一枚暗示的代号有31种,
两枚暗示的代号有32种,
三枚暗示的代号有33种.
31+32+33=3+9+27=39(种)
在设置德律风卡的密码时,可以从0-9这十个数字选取,组成一个密码(密码至少要有四位,五位也可以,最多不超越六位).问一共有几多个分歧的密码?
(按有重复数字和无重复数字两种情况讨论)
第六讲
组合
(一)组合的性质
让我们先看一下下面的例子:
北京--天津--上海三个民航站的直达航线,一共有几种分歧的飞机票价?
因为北京--上海,上海--南京,南京--北京三条航线的距离各不相同,所以有3种分歧的飞机票价.
这个问题与需要准备几种分歧的飞机票是分歧的.飞机票的总数,与两个城市的先后顺序有关,这是一个排列问题;
而票价只与两个城市的距离有关,与两个城市的先后顺序无关,因此可以看作是从三个分歧的元素中任选两个,不论怎样的顺序并成一组,求一共有几多个分歧的组,这就是我们要研究的组合问题.
界说:
一般地说,从n个分歧元素里,每次取出m(1<
=m<
=n)个元素,不论怎样的顺序并成一组,叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合.
从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合,就是指下列三种组合ab,ac,bc.
由组合的界说可以知道,如果两种组合里所含的元素完全一样,只是排列的顺序分歧,如ab和ba,那么它们仍是相同的组合.
由此可知,组合和排列是分歧的.排列和元素排列的顺序有关,可是组合和这种顺序没有关系.
1,从2,3,5,7,11,13这六个数中,每次取出3个数相乘.问可以获得几多个分歧的积?
2,一分,二分,五分硬币各一枚,一共可以组成几多种分歧的币值?
第七讲
组合
(二)组合数的计算公式
由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦,所以我们这里略去复杂的推导过程,直接给出组合数的计算公式.
界说:
从n个分歧元素中取出m(m<
=n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个分歧元素中取出m个元素的组合数,用C(m,n)暗示.
C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/(1*2*...*m)
当m=n时,C(m,n)=1.
让我们来看下面这个例题:
有七个人进行乒乓球角逐,采纳单循环制,即每两人之间要进行一场角逐.问共要进行几多场角逐?
这个问题同即是从7个分歧的元素中选取2个元素的所有组合个数.
所以角逐场数即是C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21
袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,要求取出的顺序为黑白黑.问共有几多种这样的顺序?
第八讲
组合(三)组合的推广
界说1:
若r1+r2+......+rk=n,把n个分歧的元素分成k个部份,第一部份r1个,第二部份r2个,......,第k部份rk个,则分歧的分法有:
n!
/(r1!
*r2!
*......*rk!
)种
这里n!
叫做n的阶层,它的值为n!
=1*2*......*n;
界说2:
若n个元素中有n1个具有特性“1”,n2个具有特性“2”,......,nk个具有特性“k”,且n1+n2+......+nk=n,从这n个元素中取出r个,使得具有特性“i”的元素有ri个(1<
=i<
=k),而r1+r2+......+rk=r,这时分歧的取法的总数为:
C(r1,n1)*C(r2,n2)*......*C(rk,nk),这里要求ri<
=ni.
有10个砝码,其重量分别为1克,2克,......,10克,从中取出三个;
要求取出的三个砝码,一个小于5克,一个即是5克,一个年夜于5克.问共有几多种分歧的取法?
由上述的界说2,我们认为1克-4克的砝码具有特性“1”,5克的砝码具有特性“2”,6克-10克的砝码具有特性“3”.从这10个砝码中取出三个,具有特性“1”、特性“2”、特性“3”的各取一个,则分歧取法总数为:
C(1,4)*C(1,1)*......*C(1,5)=4*1*5=20(种)
在一个装有n只白球,n只黑球,n只红球的袋中,任取m只球,要求取出的m只球中有m1只白球,m2只黑球,m3只红球(m1+m2+m3=m),问共有几多种分歧的取法?
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