荆楚理工学院普通专升本数学分析考试大纲Word格式.docx
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2、数集、确界原理:
区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确界,确界原理;
3、函数概念:
函数定义,函数表达法(解析法、列表法、和图象法),分段函数;
4、具备某些特性函数:
有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。
(三)考核规定
1、理解实数域及性质;
2、掌握几种不等式及应用;
3、纯熟掌握数域,上确界,下确界,确界原理;
4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。
第二章数列极限
数列。
数列极限定义,无穷小数列。
收敛数列性质:
唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
数列极限存在条件:
数列极限单调有界定理、柯西收敛准则。
1、极限概念;
2、收敛数列性质:
唯一性,有界性,保号性,单调性;
3、数列极限存在条件:
单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则。
1、纯熟掌握数列极限
定义;
2、掌握收敛数列若干性质;
3、掌握数列收敛条件(单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等)。
第三章函数极限
求函数极限,单侧极限。
函数极限性质:
唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性和四则运算法则。
函数极限存在条件:
归结原则、函数极限单调有界定理和柯西准则。
两个重要极限。
无穷小量及其阶比较,无穷大量,曲线渐近线。
1、函数极限概念,单侧极限概念;
2、函数极限性质:
唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性;
3、函数极限存在条件:
归结原则(Heine定理),柯西准则;
4、两个重要极限;
5、无穷小量与无穷大量,阶比较。
1、纯熟掌握使用
语言,纯熟论述各类型函数极限;
2、掌握函数极限若干性质;
3、掌握函数极限存在条件。
(归结原则,柯西准则,左、右极限,单调有界等);
4、纯熟应用两个特殊极限;
5、牢固掌握无穷小(大)定义、性质、阶比较。
第四章函数持续性
函数在一点持续性,左、右持续,间断点及其分类,区间上持续函数。
持续函数局部性质:
局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数持续性,闭区间上持续函数性质:
最值定理、介值性定理、根存在定理,反函数持续性,一致持续与一致持续性定理。
指数函数持续性,初等函数持续性。
1、函数持续概念:
一点持续定义,区间持续定义,单侧持续定义,间断点及其分类;
2、持续函数性质:
局部性质及运算,闭区间上持续函数性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致持续性),复合函数持续性,反函数持续性;
3、初等函数持续性。
1、纯熟掌握在点持续定义,等价定义;
2、掌握间断点及其类型;
3、理解在区间上持续定义;
4、掌握在一点持续性质及闭区间上持续函数性质;
5、理解初等函数持续性。
第五章导数与微分
导数定义,导函数,导数几何意义,极值,费马定理。
导数四则运算法则,反函数导数,复合函数导数,基本求导法则与公式。
参变量函数导数,隐函数导数,初等函数导数。
高阶导数。
微分概念,微分几何意义,微分运算法则,一阶微分形式不变性,高阶微分,微分在近似计算中应用。
1、导数概念:
导数定义、单侧导数、导函数、导数几何意义;
2、求导法则:
导数公式、导数运算(四则运算)、求导法则(反函数求导法则,复合函数求导法则,隐函数求导法则,参数方程求导法则);
3、微分:
微分定义,微分运算法则,微分应用;
4、高阶导数与高阶微分。
1、纯熟掌握导数定义及其几何意义;
2、牢固记住求导法则、求导公式;
3、会求各类函数导数(复合函数、含参变量函数、隐函数、幂指函数、高阶导数(莱布尼兹公式));
4、掌握微分概念,并会用微分进行近似计算;
5、理解持续、可导、可微关系。
第六章微分中值定量、不定式极限
罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,单调函数。
柯西中值定理。
不定式极限,罗比塔法则。
带有皮亚诺型余项、拉格朗日型余项泰勒公式,泰勒公式在近似计算上应用
1、中值定理:
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;
2、几种特殊类型不定式极限与罗比塔法则;
3、泰勒公式。
1、牢固掌握微分中值定理及应用(涉及罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理);
2、会用洛比达法则求极限(将其她类型不定型转化为等类型)。
第七章导数应用
函数单调性与极值。
最大值与最小值。
函数凸性与曲线拐点。
函数图象讨论。
方程近似解。
极值鉴别法;
函数升降、凸性讨论关于理论及成果;
画函数草图基本要素和办法。
1、函数单调性与极值;
2、函数凹凸性与拐点.
1、掌握单调与导数符号关系,并用它证明单调,不等式、求单调区间、极值等;
2、运用二阶导数鉴定凹凸性及拐点;
3、理解凸函数及性质;
4、会求曲线各种类型渐近线性.
第八章极限与持续(续)
关于实数集完备性基本定理:
闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理与致密性定理,实数完备性基本定理等价性。
闭区间上持续函数性质证明。
1、实数完备性六个等价定理:
闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理;
2、闭区间上持续函数整体性质证明:
有界性定理证明,最大小值性定理证明,介值性定理证明,一致持续性定理证明;
1、掌握下列基本概念:
区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列;
2、理解刻划实数完备性六个定理等价性,并掌握各定理条件与结论;
3、学会用六个定理证明其她问题,如持续函数性质定理等.
第九章不定积分
原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。
换元积分法,分部积分法。
有理函数不定积分,三角函数有理式不定积分,某些无理函数不定积分。
1、不定积分概念;
2、换元积分法与分部积分法;
3、几类可化为有理函数积分;
1、掌握原函数与不定积分概念;
2、记住基本积分公式;
3、纯熟掌握换元法、分部积分法;
4、理解有理函数积分环节,并会求可化为有理函数积分。
第十章定积分
概念引入(曲边梯形面积与变力作功),定积分定义,定积分几何意义。
牛顿-莱布尼兹公式。
可积必要条件,可积充要条件,可积函数类:
闭区间上持续函数、只有有限个间断点有界函数、单调函数。
定积分基本性质,积分中值定理。
变限积分与原函数存在性,微积分学基本定理、定积分换元积分法和分部积分法。
可积性理论补叙.
1、定积分概念:
概念引入、黎曼积分定义,函数可积必要条件;
2、可积性条件:
可积必要条件和充要条件,达布上和与达布下和,可积函数类(持续函数,只有有限个间断点有界函数,单调函数);
3、微积分学基本定理:
可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式;
4、非正常积分:
无穷积分收敛与发散概念,审敛法(柯西准则,比较法,狄利克雷与阿贝尔鉴别法);
瑕积分收敛与发散概念,收敛鉴别法。
1、掌握定积分定义、性质;
2、理解可积条件,可积函数类;
3、深刻理解微积分基本定理,并会纯熟应用;
4、纯熟计算定积分;
5、掌握广义积分收敛定义及鉴别法,会计算广义积分。
第十一章定积分应用
微元法。
平面图形面积。
由平行截面面积求体积,旋转体体积。
平面曲线弧长、曲率。
旋转曲面面积。
定积分近似计算.
1、定积分几何应用:
平面图形面积,微元法,已知截面面积函数立体体积,旋转体体积平面曲线弧长与微分,曲率;
1、纯熟计算各种平面图形面积;
2、会求旋转体或已知截面面积体积;
3、会运用定积分求孤长、曲率、旋转体侧面积.
第十二章数项级数
数项级数极其收敛与和定义,柯西收敛准则,收敛级数基本性质。
正顶级数收敛性普通鉴别原则(比较原则),比式鉴别法与根式鉴别法,积分鉴别法。
拉贝鉴别法。
交错级数,莱布尼兹鉴别法,绝对收敛级数与性质,条件收敛,阿贝尔鉴别法与狄利克雷鉴别法。
1、级数敛散性:
无穷级数收敛,发散等概念,柯西准则,收敛级数基本性质;
2、正项级数:
比较原理,达朗贝尔鉴别法,柯西鉴别法,积分鉴别法;
3、普通项级数:
交错级数与莱布尼兹鉴别法,绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质,阿贝尔鉴别法与狄利克雷鉴别法。
1、掌握数项级数敛散定义、性质;
2、纯熟掌握正项级数敛、散鉴别法;
3、掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理。
第十三章函数列与函数项级数
函数列与函数项级数收敛、一致收敛性以及一致收敛柯西准则,函数项级数维尔斯特拉斯优级数鉴别法(M鉴别法),阿贝尔鉴别法与狄利克雷鉴别法。
函数列极限函数与函数项级数和函数持续性、可积性与可微性。
1、一致收敛性及一致收敛鉴别法(柯西准则,优级数鉴别法,狄利克雷与阿贝尔鉴别法);
2、一致收敛函数列与函数项级数性质(持续性,可积性,可微性)。
1、掌握函数列及函数项级数一致收敛定义;
2、掌握函数列、函数项级数一致收敛鉴别法;
;
3、函数列极限函数,函数项级数和函数性质。
第十四章幂级数
阿贝尔第一定理,幂级数收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性,幂级数性质,幂级数四则运算。
泰勒级数,函数可以展开成泰勒级数条件,初等函数幂级数展开式。
复变量指数函数和欧拉公式。
1、幂级数:
阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间,幂级数一致收敛性,幂级数和函数分析性质;
2、几种常用初等函数幂级数展开与泰勒定理。
1、纯熟掌握幂级数收敛域、收敛半径及和函数求法;
2、理解幂级数若干性质;
3、理解求普通任意阶可微函数幂级数展开式办法;
4、会运用间接法求某些初等函数幂级数展开式。
第十六章多元函数极限与持续
平面点集概念,R2上完备性定理,二元函数和n元函数概念。
二重极限,累次极限。
二元函数持续性,复合函数持续性。
有界闭域上持续函数性质。
1、平面点集与多元函数概念;
2、二元函数极限、累次极限;
3、二元函数持续性:
二元函数持续性概念、持续函数局部性质及初等函数持续性。
1、理解平面点集若干概念;
2、掌握二元函数二重极限定义、性质;
3、掌握二次极限,并掌握二重极限与二次极限关系;
4、掌握二元持续函数定义、性质.
第十七章多元函数微分学
多元函数可微性与全微分,偏导数及其几何意义,全微分存在必要条件、充分条件,可微性几何意义及应用。
复合函数求导法则,复合函数全微分。
方向导数与梯度。
高阶偏导数,二元函数中值定理和秦勒公式,二元函数极值与最值。
1、可微性:
偏导数概念,偏导数几何意义,偏导数与持续性;
全微分概念;
持续性与可微性,偏导数与可微性;
2、多元复合函数微分法及求导公式;
3、方向导数与梯度;
4、泰勒定理与极值。
1、纯熟掌握可微,偏导,可微意义;
2、掌握二元函数可微,持续以及偏导函数持续等概念之间关系;
3、会计算各种类型函数偏导,函数全微分;
4、会求空间曲面切平面,法线;
5、会求函数方向导数;
6、会求二元函数无条件极值。
第十八章隐函数定理及其应用
隐函数概念,隐函数存在性条件分析,隐函数(存在惟一性、可微性)定
理,隐函数求导。
隐函数组概念,函数行列式,隐函数组定理,隐函数组求导,
反函数组与坐标变换。
几何应用。
条件极值与拉格朗日乘数法。
1、隐函数:
隐函数概念,隐函数定理,隐函数求导举例;
2、隐函数组:
隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行列式;
3、几何应用:
平面曲线切线与法线,空间曲线切线与法平面,曲面切平面和法线;
条件极值:
条件极值概念,条件极值必要条件。
1、掌握一种方程拟定隐函数条件,隐函数性质,隐函数导数(偏导)公式;
2、会求空间曲线切线与法平面;
3、会求空间曲面切平面与法线;
4、掌握条件极值拉格朗日乘子法。
第二十章重积分
平面图形面积,二重积分定义及其存在性,二重积分性质。
直角坐标系下二重积分计算(化为合计积分)。
格林公式,平面曲线积分与路线无关等价条件,原函数。
二重积分变量替代公式,用极坐标计算二重积分。
三重积分概念与性质,化三重积分为累次积分,三重积分换元法,柱坐标变换与球坐标变换。
重积分在应用:
曲面面积。
1、二重积分概念:
二重积分概念,可积条件,可积函数,二重积分性质;
2、二重积分计算:
化二重积分为累次积分,换元法(极坐标变换,普通变换);
3、含参变量积分;
4、三重积分计算:
化三重积分为累次积分,换元法(普通变换,柱面坐标变换,球坐标变换);
5、重积分应用:
立体体积,曲面面积,物体重心,转动惯量;
6、含参量非正常积分概念及其一致敛性:
含参变量非正常积分及其一致收敛性概念,一致收敛鉴别法(柯西准则,与函数项级数一致收敛性关系,一致收敛M鉴别法),含参变量非正常积分分析性质.
1、理解二重积分,三重积分定义与性质;
2、掌握二重积分换序,变量代换;
3、理解三重积分换序,会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分;
4、理解含参量正常积分定义及性质.
第二十二章曲线积分与曲面积分
第一型曲线积分定义与计算。
第二型曲线积分定义和计算,两类曲线积分联系。
第一型曲面积分概念、性质和计算。
曲面侧,第二型面积分概念、性质和计算,两类曲面积分之间联系。
高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路线无关等价条件。
场论初步。
1、第一型曲线积分概念、性质与计算,第一型曲面积分概念、性质与计算;
2、第二型曲线积分概念、性质与计算,变力作功,两类曲线积分联系;
3、格林公式,曲线积分与路线无关性,全函数;
4、曲面侧,第二型曲面积分概念及性质与计算,两类曲面积分关系;
5、高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与途径无关性;
1、纯熟掌握第一、二型曲线、曲面积分计算办法;
2、理解两种曲线积分,两种曲面积分关系;
3、纯熟运用格林公式,高斯公式,斯托克斯公式计算;
4、掌握积分与途径无关条件。
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