高中数学导数练习题答案.docx
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高中数学导数练习题答案
专题8:
导数(文)
经典例题剖析
考点一:
求导公式。
例1.f(x)是f(x)13x2x1的导函数,则f
(1)的值是。
3
解析:
f’xx22,所以f’1123
答案:
3
考点二:
导数的几何意义。
,f
(1))处的切线方程是y例2.已知函数yf(x)的图象在点M(1
f
(1)f
(1)。
解析:
因为k1x2,则211,f
(1)),可得点M的纵坐标为,所以f’1,由切线过点M(122
55,所以f1,所以f1f’1322
答案:
3
,3)处的切线方程是。
例3.曲线yx32x24x2在点(1
,3)处切线的斜率为k3445,所以设切解析:
y’3x24x4,点(1
,3)带入切线方程可得b2,,3)线方程为y5xb,将点(1所以,过曲线上点(1
处的切线方程为:
5xy20
答案:
5xy20
点评:
以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三:
导数的几何意义的应用。
32例4.已知曲线C:
yx3x2x,直线l:
ykx,且直线l与曲线C相切于点
x0,y0x00,求直线l的方程及切点坐标。
解析:
直线过原点,则ky0x00。
由点x0,y0在曲线C上,则x0
y232y0x03x02x0,0x03x02。
又y’3x26x2,在x0
x0,y0
处曲线C的切线斜率为kf’x03x06x02,2
22整理得:
解得:
x02x03x00,x03x023x06x02,3或x002
(舍),此时,y0311,k。
所以,直线l的方程为yx,切点坐标是844
33,。
28
答案:
直线l的方程为y133x,切点坐标是,428
点评:
本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。
考点四:
函数的单调性。
例5.已知fxax33x2x1在R上是减函数,求a的取值范围。
解析:
函数fx的导数为f’x3ax26x1。
对于xR都有f’x0时,fx
a0为减函数。
由3ax6x10xR可得,解得a3。
所以,3612a02
当a3时,函数fx对xR为减函数。
18
(1)当a3时,fx3x33x2x13x。
39
3由函数yx在R上的单调性,可知当a3是,函数fx对xR为减函数。
3
(2)当a3时,函数fx在R上存在增区间。
所以,当a3时,函数fx在
R上不是单调递减函数。
综合
(1)
(2)(3)可知a3。
答案:
a3
点评:
本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题,要有求导意识。
考点五:
函数的极值。
例6.设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值。
(1)求a、b的值;32
3],都有f(x)c成立,求c的取值范围。
(2)若对于任意的x[0,
2解析:
(1)f(x)6x6ax3b,因为函数f(x)在x1及x2取得极值,则有2
66a3b0,
,解得a3,b4。
f
(1)0,f
(2)0.即
2412a3b0.
(2)由(Ⅰ)可知,f(x)2x39x212x8c,f(x)6x218x126(x1)(x2)。
1)时,f(x)0;当x(12),时,f(x)0;当x(2,3)时,f(x)0。
所以,当x(0,
当x1时,f(x)取得极大值f
(1)58c,又f(0)8c,f(3)98c。
则当x0,3时,f(x)的最大值为f(3)98c。
因为对于任意的x0,3,有f(x)c2恒成立,
2
所以98cc,解得c1或c9,因此c的取值范围为(,1)(9,)。
1)(9,)。
答案:
(1)a3,b4;
(2)(,
点评:
本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数fx的极值步骤:
①求导数f’x;②求f’x0的根;③将f’x0的根在数轴上标出,得出单调区间,由f’x在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。
考点六:
函数的最值。
例7.已知a为实数,fxx24xa。
求导数f’x;
(2)若f’10,求fx在区间2,2上的最大值和最小值。
解析:
(1)fxxax4x4a,f’x3x2ax4。
3
2
2
12
。
f’x3xx43x4x12
4
令f’x0,即3x4x10,解得x1或x,则fx和f’x在区间
2,2
3
(2)f’132a40,a
f1
9,2
504
。
所以,fx在区间2,2上的最大值为f273504
,最f273
小值为f1
9。
2
答案:
(1)f’x3x22ax4;
(2)最大值为f
4
3
950
,最小值为f1。
227
点评:
本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数fx在区间a,b上的最值,要先求出函数fx在区间a,b上的极值,然后与fa和fb进行比较,从而得出函数的最大最小值。
考点七:
导数的综合性问题。
例8.设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数,其图象在点(1,f
(1))处的切线与直线
x6y70垂直,导函数f’(x)的最小值为12。
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。
解析:
(1)∵f(x)为奇函数,∴f(x)f(x),即axbxcaxbxc
∴c0,∵f’(x)3ax2b的最小值为12,∴b12,又直线x6y70的斜率为
3
3
1
,因此,f’
(1)3ab6,∴a2,b12,c0.6
(2)f(x)2x312x。
f’(x)6x2126(xx,列表如下:
所以函数f(x)的单调增区间是(,和),∵f
(1)10,
f,f(3)18,∴f(x)在[1,3]上的最大值是f(3)18,最小值是f
答案:
(1)a2,b12,c0;
(2)最大值是f(3)18,最小值是f点评:
本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。
导数强化训练
(一)选择题
x2
1.已知曲线y1
4的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(A)
A.1B.2C.3D.4
2.曲线yx33x21在点(1,-1)处的切线方程为(B)
A.y3x4B.y3x2C.y4x3D.y4x5
3.函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于(D)
A.1B.2C.3D.4
4.已知函数f(x)在x1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为(A)
A.f(x)(x1)23(x1)B.f(x)2(x1)
C.f(x)2(x1)2D.f(x)x1
5.函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值,则a=(D)
(A)2(B)3(C)4(D)5
6.函数f(x)x33x21是减函数的区间为(D)
(A)(2,)(B)(,2)(C)(,0)(D)(0,2)
7.若函数fxx2bxc的图象的顶点在第四象限,则函数f’x的图象是(A)
xABCD
8.函数f(x)2x21
3x
3在区间[0,6]上的最大值是(A)
A.32
3B.16
3C.12D.9
x
9.函数yx33x的极大值为m,极小值为n,则mn为(A)A.0
B.1C.2
D.4
10.三次函数fxax3x在x,(A)
A.a0
B.a0C.a1
D.a
13
11.在函数yx38x的图象上,其切线的倾斜角小于是A.3
B.2
的点中,坐标为整数的点的个数4
D.0
(D)C.1
12.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b))
A.1个
C.3个
(二)填空题
B.2个D.4个
3
13.曲线yx在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为
__________。
14.已知曲线y______________15.已知f都有f
(n)
(n)
134
x,则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是33
(x)是对函数f(x)连续进行n次求导,若f(x)x6x5,对于任意xR,
(x)=0,则n的最少值为。
16.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储
费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x吨.
(三)解答题
32
17.已知函数fxxaxbxc,当x1时,取得极大值7;当x3时,取得极
小值.求这个极小值及a,b,c的值.
18.已知函数f(x)x33x29xa.
(1)求f(x)的单调减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
19.设t0,点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线。
(1)用t表示a,b,c;
(2)若函数yf(x)g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围。
20.设函数fxx3bx2cx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。
(1)求b、c的值。
(2)求g(x)的单调区间与极值。
21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
22.已知函数f(x)
21312xaxbx在区间[11)3]内各有一个极值点.,,(1,32
(1)求a4b的最大值;
,f
(1))处的切线为l,若l在点A处穿
(1)当a4b8时,设函数yf(x)在点A(1
过函数yf(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线yf(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.
2
强化训练答案:
1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A11.D12.A
(四)填空题13.814.y4x4015.716.203
(五)解答题
17.解:
f’x3x22axb。
2据题意,-1,3是方程3x2axb0的两个根,由韦达定理得
2a13313b
3
∴a3,b9
∴
∵fxx33x29xcf17,∴c2
极小值f33333293225
3,b9,c2。
∴极小值为-25,a
18.解:
(1)
所以函数
(2)因为
所以f(x)3x26x9.令f(x)0,解得x1或x3,f(x)的单调递减区间为(,1),(3,).f
(2)81218a2a,f
(2)81218a22a,f
(2)f
(2).因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此f
(2)和f
(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小
20,解得a2.值.于是有22a
故
即函数
f(x)x33x29x2.因此f
(1)13927,f(x)在区间2,2上的最小值为-7.
19.解:
(1)因为函数
即t3f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)0,at0.因为t0,所以at2.g(t)0,即bt2c0,所以cab.
又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f(t)g(t).
而f(x)3x2a,g(x)2bx,所以3t2a2bt.
t2代入上式得bt.因此cabt3.故at2,bt,ct3.将a
(2)yf(x)g(x)x3t2xtx2t3,y3x22txt2(3xt)(xt).
当y(3xt)(xt)0时,函数yf(x)g(x)单调递减.
y0,若t0,则ttxt;若t0,则tx.33由
由题意,函数yf(x)g(x)在(-1,3)上单调递减,则
ttt(1,3)(,t)或(1,3)(t,).所以t3或3.即t9或t3.333
又当9t3时,函数yf(x)g(x)在(-1,3)上单调递减.
所以t的取值范围为(,9][3,).
20.解:
(1)∵fxx3bx2cx,∴fx3x22bxc。
从而
g(x)f(x)f(x)x3bx2cx(3x22bxc)=x3(b3)x2(c2b)xc是一个奇函数,所以g(0)0得c0,由奇函数定义得b3;
32
(2)由(Ⅰ)知g(x)x6x,从而g(x)3x6,由此可知,
(,
和)是函数g(x)是单调递增区间;
(是函数g(x)是单调递减区间;
g(x
)在xg(x
)在x取得极大值,
极大值为取得极小值,
极小值为。
21.解:
设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
h1812x4.53x(m)430<x<.2
故长方体的体积为
Vx2x24.53x9x26x3m3
从而V(x)18x18x
令V’
当020x32(4.53x)18x(1x).x0,解得x0(舍去)或x1,因此x1.3时,V’x0,2x1时,V’x0;当1x
故在x1处Vx取得极大值,并且这个极大值就是Vx的最大值。
从而最大体积VV’x912613m3,此时长方体的长为2m,高为1.5m.
3答:
当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m。
22.解:
(1)因为函数f(x)1312xaxbx在区间[11)3]内分别有一个极值点,所以,,(1,32
3]内分别有一个实根,,,(1,f(x)x2axb0在[11)
设两实根为x1,x2(x1
x2),则x2x10x2x1≤4.于是
b3时等号成立.且当x11即a2,故,x23,04,0a24b≤16,
a24b的最大值是16.
(2)解法一:
由f
(1)1ab知f(x)在点(1,f
(1))处的切线l的方程是
21yf
(1)f
(1)(x1),即y(1ab)xa,32
因为切线l在点
所以g(x)A(1,f(x))处空过yf(x)的图象,21f(x)[(1ab)xa]在x1两边附近的函数值异号,则32
x1不是g(x)的极值点.
而g(x)131221xaxbx(1ab)xa,且3232
g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a).
若11a,则x1和x1a都是g(x)的极值点.
2,又由a24b8,得b1,故f(x)所以11a,即a13xx2x.3
解法二:
同解法一得g(x)21f(x)[(1ab)xa]32
13a3(x1)[x2
(1)x(2a)].322
因为切线l在点A(1,f
(1))处穿过yf(x)的图象,所以g(x)在x1两边附近的函数值异号,于是存在m1,m2(m1
当m11m2).x1时,g(x)0,当1xm2时,g(x)0;
或当m1x1时,g(x)0,当1xm2时,g(x)0.3a3ax21x2,则22设h(x)
当m1x1时,h(x)0,当1xm2时,h(x)0;
x1时,h(x)0,当1xm2时,h(x)0.
1是h(x)的一个极值点,则h
(1)211或当m1由h
(1)0知x
所以a
3a0,22,又由a24b8,得b1,故f(x)13xx2x.3
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