中考几何证明题及答案.docx
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中考几何证明题及答案
几何证明练习题及答案
【知识要点】
1.进一步掌握直角三角形的性质,并能够熟练应用;
2。
通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证;
3。
证明要合乎逻辑,能够应用综合法熟练地证明几何命题。
【概念回顾】
1。
全等三角形的性质:
对应边(),对应角()对应高线(),对应中线(),对应角的角平分线()。
2。
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则BC:
AC:
AB=()。
【例题解析】
【题1】已知在ΔABC中,,AB=AC,BD平分.求证:
BC=AB+CD.
【题2】如图,点E为正方形ABCD的边CD上一点,点F为CB的延长线上的一点,且EA⊥AF.求证:
DE=BF.
【题3】如图,AD为ΔABC的角平分线且BD=CD.求证:
AB=AC。
【题4】已知:
如图,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AB∥ED,AC∥FD,证明AB=DE,AC=DF。
【题5】已知:
如图,△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
A
P
C
B
求:
∠APB的度数.
【题6】如图:
△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足是F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
(1)求证:
AE=CD;
(2)若AC=12㎝,求BD的长。
A
B
C
D
E
F
【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等。
求证:
(1)∠AEF=∠AFE
(2)角B的度数
【题8】如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线,∠1=∠B,求证:
AB=AC+CD.
A
B
C
D
E
1
【题9】如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,BE的延长线交AC于点F。
求证:
AF=FC
【题10】如图,将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A'B'CD'的位置,若∠B’CB=30度,求AE的长.
【题11】AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高.M,N分别在AD,BE的延长线上,∠CBM=∠ACN.求证AM=BN。
【题12】已知:
如图,AD、BC相交于点O,OA=OD,OB=OC,点E、F在AD上,且AE=DF,∠ABE=∠DCF.
求证:
BE‖CF.
【巩固练习】
【练1】如图,已知BE垂直于AD,CF垂直于AD,且BE=CF。
(1)请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线?
请证明你的结论。
(2)链接BF,CE,若四边形BFCE是菱形,则三角形ABC中应添加一个什么条件?
【练2】在等腰直角三角形ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边上的一个动点,且PB=PD,DE垂直AC,垂足为E。
(1)求证:
PE=BO
(2)设AC=3a,AP=x,四边形PBDE的面积为y,求y与x之间的函数关系式。
【练3】已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD,BC的延长线叫MN与E、F
求证∠DEN=∠F.
【练4】如图,若C在直线OB上,试判断△CDM形状。
【练5】已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形.求证:
EF=2AD
1、【练6】如图,等边三角形ABC的边长为2,点P和点Q分别是从A和C两点同时出发,做匀速运动,且他们的速度相同,点P沿射线AB运动,Q点沿点C在BC延长线上运动。
设PQ与直线AC相交于点D,作PE⊥AC于点E,当P和Q运动时,线段DE的长度是否改变?
证明你的结论。
【提示】
【题1】分析:
在BC上截取BE=BA,连接DE.可得ΔBAD≌ΔBED.由已知可得:
,,.∴,∴CD=CE,∴BC=AB+CD.
【题2】分析:
将ΔABF视为ΔADE绕A顺时针旋转即可.
∵.∴.
又∵,AB=AD.∴ΔABF≌ΔADE.(ASA)∴DE=DF.
【题3】分析:
延长AD到E使得AD=ED.易证ΔABD≌ΔECD.∴EC=AB.
∵.∴.∴AC=EC=AB.
【题4】本题比较简单,难点在BF+CF=CE+CF这,一般刚接触三角形证明的人会在这失手。
证明:
∵BF=CE
又∵BF+CF=BC
CE+CF=EF
∴BC=EF
∵AB∥DE,AC∥FD
∴∠B=∠E,∠DFE=∠BCA
又∵BF=CE
∴△DEF≌△ABC(ASA)
∴AB=DE,AC=DF
【题5】顺时针旋转△ABP600,连接PQ,则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
【题6】解析:
如果遇到这类题,有时在图形中隐藏着一些不明显的条件,你就先试试一个角加公共角等于90°,再试其它角加这个公共角是否能等于90°,能说明它俩相等。
证明:
(1)∵BD⊥BC,CF⊥AE
∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90°
∵∠D+∠BCD=90°
∠FEC+∠BCD=90°
∴∠D=∠FEC
又∵∠DBC=∠ACE=90°,AC=BC
∴△DBC≌△ACE(HL)
∴AE=CD
(2)由
(1)可知△BDC≌△ACE
∴BC=AC=12㎝,BD=CE
∵AE是BC边上的中线
∴BE=EC=BC=6㎝
∵BD=CE
∴BD=6㎝
【题7】解:
∵CB=CE,CD=CF
∴∠B=∠CEB,∠D=∠CFD
∵∠B=∠D(菱形的对角相等)
∴∠CEB=∠CFD
∵∠CEF=∠CFE=60°
∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°
∠CED+∠CFE+∠AFE=180°
∴∠AEF=∠AFE
(2)设∠B=X,则∠A=180°—X,∠CEB=X
∵∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF+∠AFE=180°
∴(180°-X)+2∠AEF=180°
∴∠AEF=X/2
∵∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°
∴X+60°+X/2=180°
∴X=80°
∴∠B=80°
【题8】解析:
这种类型的题,一般是一条长的线段被分为两段,只能证AC、CD这两条线段与AB这条线段平分的两条线段AE、BE相等,从而证明出来。
证明:
∵∠AED是△EDB的一个外角
又∵∠1=∠B
∴∠AED=2∠B
∴∠AED=∠C=2∠B
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD=∠DAE
又∵∠AED=∠C,AD=DA
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE,CD=DE
∵∠1=∠B
∴DE=BE
∴CD=BE
∵AB=AE+BE
又∵AC=AE,CD=BE
∴AB=AC+CD
【题9】解析:
作CF的中点G,连接DG,则FG=GC
又∵BD=DC
∴DG∥BF
∴AE∶ED=AF∶FG
∵AE=ED
∴AF=FG
∴=
∴即AF=FC
【题10】提示:
证明三角形ABD和三角形CAF全等。
AEBD四点共圆。
四边形EDCF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
【题11】
证明:
因为△ABC为等边三角形,AD垂直于BC、BE垂直于AC,
所以∠BAM=∠CBN,
又因为∠CBM=∠ACN所以∠ABM=∠BCN
在△ABM和△BCN中,有AB=BC
∠BAM=∠CBN
∠ABM=∠BCN
由三角形全等的判定ASA得
△ABM和△BCN全等
所以AM=BN
【题12】分析:
要证明BE‖CF,只要证明∠E=∠F;已知∠ABE=∠DCF,又由三角形的外角性质可知∠E=∠BAO﹣∠ABE,∠F=∠CDO﹣∠DCF,因此只要证明∠BAO=∠CDO.
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