四年级下思维训练讲义修改Word格式.docx
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通过割补添加辅助线使不规则变成规则图形方便计算。
例4:
如图,在长方形内有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间的小正方形(阴影部分)的面积是多少平方厘米?
用加减法求阴影部分的边长,再求面积。
如图11×
15的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间的小正方形(阴影部分)的面积是多少平方厘米?
例5:
如图,5个大小相同的长方形拼成一个大长方形,大长方形的周长是44㎝,求大长方形的面积。
观察小长方形的长和宽的关系。
如图,有10个完全相同的小长方形平成一个大长方形,已知小长方形的宽是15㎝,求大长方形的面积。
☆学以致用
A级
1.求图中的面积(单位:
2.有两个相同的长方形,长为6㎝,宽为4㎝,将他们如图所示叠放在一起,这个图形的周长和面积各是多少?
3.一长方形,长是80㎝,宽是45㎝。
如果宽增加5㎝,要使面积不变,长应减少多少㎝?
4.一个长方形,如果宽不变,长增加3米,那么它的面积增加24平方米;
如果长不变,宽减少4米,那么它的面积减少60平方米。
5.如图,是一个养鸡专业户用一段16米的篱笆围城的一个长方形养鸡场。
求它的面积。
B级
5.如图4,组合图形的周长为68㎝,已知大长方形的边长比小正方形的边长长5㎝,求组合图形的面积。
6.如图5,正方形的边长为12㎝,长方形的顶点恰好分别把正方形四条边都分成了两段,其中长的一段是短的一段的2倍。
这个长方形的面积。
第二讲乘法原理
乘法原理:
做一件事,完成它需要分成
个步骤。
做第一步有
种不同的方法,做第二步有
种不同的方法,……,做第
步有
种不同的方法,那么完成这件事共有:
种不同分方法。
(联想三年级学过的搭配)
做一件事,需要分成
个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成。
马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋,他每次出场演出都要戴一顶帽子,穿一双鞋。
问:
小丑的帽子和鞋共有几种不同的搭配?
从甲地到乙地有两条线路,从乙地到丙地有三条路线。
从丙地到丁地有两条线路。
问从甲地经过乙、丙到丁地,共有多少种不同的方法?
爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和小明到公园玩耍时站成一排照相,共有多少种不同的站法?
4男2女6人站成一排合影留念,要求2个女生紧挨着排在正中间,一共有多少中排法?
用2、3、5、7四个数字可以组成
(1)多少个三位数?
(2)多少个没有重复数字的三位数?
分步,第一步,排百位数字;
第二步,排十位数字;
第三步,排个位数字。
想想:
为什么要先排百位?
有四张卡片,上面分别写有1、2、4、0四个数字,从中任意抽出三张卡片可以组成多少个不同的三位数?
如图,A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种来染色。
如果要求相邻的区域染不同的颜色,那么共有多少种不同的染色方法?
有序思考,A、B、C、D四个区域依次染色。
如图,有一个棋盘,将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上,但不能在同一条棋盘线上。
共有多少种不同的放法?
1.用数字0、1、2、3、4、5可以组成
(1)多少个三位数?
(2)多少个没有重复的三位数?
2.四一班有6人,四二班有8人,四三班有9人。
从三个班中各选1人参加比赛,共有多少种不同的选法?
3.四角号码字典,用4个数字表示一个汉字。
爱思考的小明受启发自编一个“密码本”,用3个数字(可重复)表示一个汉字,例如,用“011”表示汉字“车”。
小明的“密码本”上最多能表示多少个汉字?
4.四年级一、二、三举办的联欢会共演出10个节目,每班至少演出3个节目。
三个班承担节目个数有多少种不同的分配方式?
5.用两位数做被乘数,一位数做乘数,一共有多少个不同的乘法算式?
6.如图的方格子中放两枚棋子,要求两枚棋子不在同行也不在同列。
7.甲乙两人在排成一排的5个座位中选两个相邻的座位,共有多少种选法?
分析:
我们把甲乙选中座位并坐下分成三步完成。
第一步:
在5个座位中选相邻的两个座位,有()种不同分方法。
第二步:
在选出的两个座位中甲先坐下,有()种选择方法。
第三步:
在选出的两个座位中乙再坐下,有()中不同的方法。
所以,根据乘法原理,共有()种不同的方法。
8.图中有多少个大小不同的长方形?
C级
9.用2、3、4、5、6这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数,这些五位数的和是多少?
第四讲加法原理
加法原理是最基本的计算原理,什么叫加法原理?
我们举例说明:
文具盒里有2支钢笔,4支圆珠笔,5支铅笔。
如果从文具盒中任意取一支笔,有多少种不同的方法?
从文具盒中任意取一支钢笔,有2种方法;
任取一支圆珠笔,有4中方法;
任取一支铅笔,有5中方法。
所以从文具盒中任取一支笔,有2+4+5=11种不同的取法。
加法原理:
如果完成一件事有
类方法,第一类有
种不同的方法,第二类有
(注:
每种方法都能完成这件事。
)
沿着图中的路线走。
不允许走重复路线,从A到C共有多少种不同的走法?
从A地到C地共有两大类不同的走法。
从甲地到乙地有4条路线,从乙地到丙地有2条路线,从甲地到丙地有3条路线,那么,从甲地到丙地共有多少种种走法?
如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选法?
先分类,再思考。
lan老师要从6幅中国画、5幅油画、2幅水粉画中选2幅不同类型的画来装饰教室,有几种选法?
用五种颜色给图中的5个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。
共有多少种不同的染法?
(五种颜色一次可以不用完)
理解题意,根据题意按使用颜色的种类来分类。
用1、2、3、4四个数字组成五位数,数字可以重复,至少有连续三位是1的五位数有多少个?
将至少有连续三位数是1的五位数分成三类,:
连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1.
数1447、1225、1031有些相同的特点,每个数都是以1开头的数字,且每个数恰有两个数字相同,这样的数有多少个?
1.书架上4本不同的数学书、5本不同的语文书、6本不同的英语书。
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?
(2)若从这些书中,每种书各取一本,有多少种取法?
(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种取法?
2.某信号兵用红黄蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以挂一面、二面、三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?
3.西瓜小学四、五、六年级共订300份报纸,每个年级至少订99份。
共有多少种订法?
4.十位上的数字比个位上的数字大的两位数一共有多少个?
5.在一次联欢会上,有6位同学参加演出,他们每人一首独唱,又每两人合唱一首,每4人表演个小品,那么这次联欢会他们共表演了多少个节目?
6.小明有人民币1张5角、4张2角、8张1角,他要拿出8角买一张邮票,有多少种不同的拿法?
7.在所有的三位数中,有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?
8.已知一种三位数,它的三个数位上的数字之和是24,这样的三位数有多少个?
9.用1、2、3这三种数字组成一个四位数,在可能组成的四位数中,至少有连续两位是2的数有多少个?
10.求满足条件□□□-□□=□的三位数有多少个?
第五讲相遇问题
(一)
在小学竞赛中有一个常考不衰的类型就是行程问题。
行程问题变化多端,灵活有趣,基本上每次的奥赛和华赛无论是初赛黑石决赛都至少有一道行程问题。
在小升初择校考试中,行程问题更是考官的宠儿,100分的试题,大约就有10至15分的题为行程问题。
由此可见行程问题的重要性。
相遇问题是两个物体,从不同的地点做面对面的运动,即相向运动,相向运动会使两物体在途中相遇。
其路程、速度和、相遇时间的关系为:
路程=速度和×
相遇时间速度和=路程÷
相遇时间相遇时间=路程÷
速度和
说明:
(1)公式的推导可以利用乘法分配律来推导;
(2)在相遇问题里,我们要使用以上公式,必须有个前提:
“两物体两物体运动时将相同,更多时候体现在两物体同时出发”。
如果它们的时间不等,可以加以适当变形,使之相等,再用公式。
解决行程问题的关键是找出题中隐藏较深的关系,找关键的关键又在于画出示意图。
画图的步骤:
(1)基础线在中间。
(2)一人在上一人在下,不同的人用不同的颜色,不同的时段用不同的粗细。
图:
规律:
两列火车同时从甲乙两地相向而行,快车每小时行80㎞,慢车每小时行60㎞,两车4小时后在途中相遇,两地相距多少㎞?
(用两种方法解题)
速度和×
时间=路程
甲乙两车同时从相距108米的两地相向而行,8分钟后两人相遇。
已知甲每分钟行65米,求乙的速度。
甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行,5分钟后相遇,已知甲每分钟比乙每分钟多行20米,求甲乙两人的速度各是多少?
利用和差问题解题
甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行,5分钟后相遇,已知甲的速度是乙的速度的3倍,求甲乙两人的速度各是多少?
甲乙两人分别AB两地同时出发,在距中点24千米的地方相遇,已知甲的速度为60千米,乙的速度为48千米。
问甲乙两地相距多少千米?
画出线段图分析行程问题,找出对应差。
甲乙两人分别从相距480千米的AB两地同时相向而行。
8小时后两人相遇,已知甲每小时比乙多少走2千米。
甲乙两人在哪儿相遇?
甲乙两地相距300千米,客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。
货车每小时行60千米,客车每小时行40千米,货车达到乙地后立即以原速度返回,从甲地出发后多少小时两车相遇?
画出线段图分析行程问题,直观明了。
甲乙两人同时从学校出发到少年宫,已知学校到少年宫的距离是2400米,甲到少年宫后立即返回,在距离少年宫300米的地方与乙相遇,此时他们已经离开学校30分钟了。
甲乙两人的速度各是多少?
1.甲乙两人同时从两地相向而行,甲骑摩托车每小时行36千米,乙骑自行车每小时行12千米。
(1)求两人的速度和?
(2)求5小时两人共行多少千米?
2.两列火车同时从两地相向而行,甲每小时行30千米,乙每小时行60千米,两地相距900千米,需要多少小时相遇?
3..两列火车同时从AB两地相向而行,甲每小时行65千米,乙每小时行60千米,经过8小时两车在途中相遇,AB两地相距多少千米?
4.甲乙两地相距980千米,两列火车分别同时从AB两地相向而行,快车每小时行50千米,慢车每小时行多少千米才能在10小时后相遇?
5.甲乙两人从相距200千米的AB两地同时相向而行。
10小时后相遇,已知甲每小时比乙多行2千米。
求甲乙的速度。
6.AB两地相距496千米,甲从A地开往B地,每小时行32千米,甲出发半小时后乙车从B地开往A地,它的速度是甲车的2倍,乙车出发多少小时后两车相遇?
7.两地相距1900千米,甲乙两人同时同地向同一方向行走,甲每分钟行90米,乙每分钟行100米,当乙到达目的地后,立即返回,与甲相遇,从出发到相遇共经过多少时间?
8.A、B两地相距1050千米,甲乙两列火车分别从A、B两地相向而行,甲每小时行60千米,乙每小时行48千米,乙出发时,从车厢飞出一只鸽子,以每小时80千米的速度向甲飞去,在鸽子与甲相遇时,乙车距A地还有多少千米?
9.A、B两车同时分别从甲乙两地相对开出,A每小时行50千米,B每小时行40千米,两车在距中点20千米处相遇。
求AB之间的距离。
10.甲乙两人从AB两地同时出发,相向而行,相遇时距A地48千米,相遇后两人继续前进,分别到达A、B两地后立即返回,在距A地94千米处第二次相遇。
A、B两地相距多少千米?
第六讲追及问题
(一)
行程问题包含很多种,上节课我们学习了相遇问题,今天我们将继续研究行程问题中另一个很重要的问题就是:
追及问题。
1、追及问题是一种同向运动的过程,一般是一个走的快的在后面追赶前面走的慢的。
两者路程有如下关系:
2、在解答追及问题时,一定要弄清楚两物体追及的本质,即:
用相差的速度去追相差的路程。
解答前画出线段图,弄清题中相关联的几个量,根据基本数量关系,再找出要求的数量的关系进行解答。
甲乙两人从相距10千米的两地出发,同向而行,甲每小时行6千米,乙每小时行4千米,经过几小时甲追上乙?
直接使用公式:
追及路程÷
速度差=追及时间
1.两汽车相距2000米,货车在前,客车在后,货车每分钟行600米,客车每分钟行620米,客车经过多少时间追上货车?
2.甲以每小时4千米的速度步行去某地,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙几小时追上甲?
在400米的环形跑道上,甲乙两人同时同地同向而跑,甲每秒跑8米,乙每秒跑10米,他们跑出多少秒钟乙第一次追上甲?
环形跑道上的追及问题,每追上一次,它们的路程差就为环形跑道的一个周长。
1.小明和小亮在一个环形湖边跑步,小明每分钟跑100米,小亮每分钟跑120米。
如果他们同时从同一地点出发,相背而行,5分钟后两人相遇;
如果同时从同一地点出发,同向而行,几分钟后小亮第一次追上小明?
2.甲乙两人练习跑步。
若甲让乙先跑10米,则甲5秒种就可以追上乙;
若乙比甲先跑2秒钟,则甲跑4秒钟能追上乙。
则两人的速度各是多少?
甲乙两人都以每分钟30米的速度同时,同地,同向步行出发,走了12分钟后,甲返回取东西,而乙继续前进,甲取东西用了6分钟,然后改骑自行车乙每分钟360米的速度去追乙,则骑车后多少时间能追上乙?
甲追上乙的时候,甲已经走了=(分钟),然后找到路程差和速度差,即可求出追及时间。
甲骑摩托车每小时行30千米,乙骑自行车每小时行30千米,甲乙两人同时背向而行,3小时候甲返回追乙,问甲返回几小时才能追上乙?
上午8时有一列货车以每小时48千米的速度从甲地开往乙地,上午10时又有一列客车从甲地开往乙地,每小时行70千米。
为了行驶安全,列车间的距离应不小于8千米,那么,货车最晚应在什么时间停车让客车通过?
列车间距不小于8千米可理解为客车追到离货车还有8千米时就算追上了货车。
一列客车在上午8时经过A城,每分钟行900米,9分钟后一列货车也飞驰经过A城,每分钟行1200米,根据交通安全条例,两列车之间距离不足300米时,慢车应该停车让快车通过。
客车从A城出发经过多少时间后就应该停车让货车通过?
1.甲乙两人同时从相距36千米的两城同向而行,乙在前甲在后,甲每小时行50千米,乙每小时行6千米,几小时后甲追上乙?
2.甲乙两人同时从相距36千米的西村和东村同时向东而行,甲骑自行车每小时行14千米,乙步行每小时行5千米,几小时后甲追上乙?
3.甲乙两人沿运动场的跑道跑步,甲每分钟跑290米,乙每分钟跑270米,跑道一圈长400米。
如果两人同时从起跑线朝同方向跑,那么甲经过多少时间长能第一次追上乙?
4.在一次军事演习中,红方以每小时24千米的速度追击蓝方,当到某地时,得知蓝方已经于2小时之前转移,已知蓝方的速度是每小时12千米。
红方从此地要几小时才能追上蓝方?
5.小明以每分钟行50米的速度从学校步行回家,12分钟后,小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距离学校1千米的地方追上小明。
求小强骑自行车的速度。
6.一位通讯员骑摩托车追赶前面的部队的汽车。
汽车每小时行30千米,摩托车每小时行36千米,通讯员出发10小时后追上了汽车。
那么,部队的汽车比通讯员早出发几小时?
7.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后一辆摩托车以每小时36千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的中点处追上了自行车队。
甲乙两地相距多少千米?
8.甲乙两船从A港到B港,甲每小时行30千米,乙每小时行45千米,甲比乙早出发4小时,两人同时到达乙港。
问AB两港相距多少千米?
9.甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米,乙车先开30千米,两车沿同一路线到B城去送货,经过多少时间两车相距5千米?
(温馨提示:
有两种情况,要分类讨论)
10.甲乙两人同时同地沿一条公路行走。
甲每小时行6千米,而乙第一小时行1千米,第二小时行2千米,第三小时行3千米……每行1小时都比前1小时多行1千米。
经过多少小时后乙追上甲?
第七讲流水行船问题
行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题,它也有路程、速度与时间之间的数量关系。
特殊就在,它比一般行程问题多了一个水速。
水速:
就是水本身具有的速度,即船在水中漂流,不借助其他外力只顺水而行,单位时间所走的路程就是水流速度。
船速:
在静水中行船,单位时间内所行的路程。
逆水速度:
就是船逆水行船时船所具有的速度。
顺水速度:
就是船顺水行船时船所具有的速度。
行船问题与一般行程问题相比,除了速度、时间与路程之间的关系外,还有如下的特殊数量关系:
顺水速度=船速+水速
船速=(顺水速度+逆水速度)÷
2
逆水速度=船速-水速
水速=(顺水速度-逆水速度)÷
一只船从甲地出发顺水航行7小时达到乙地,共行了182千米,这只船从乙地返回甲地用了13小时。
求船在静水中的速度和水流的速度。
根据公式:
顺水速度=路程÷
顺水时间逆水速度=路程÷
逆水速度
两地相距180千米,一艘轮船在静水中的速度是每小时25千米,水速为每小时5千米。
求这艘船在两地之间往返一次共用多少时间?
一艘船在静水中的速度为每小时行15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,水速每小时行3千米,问从乙地返回甲地需要几小时?
先求甲乙两地距离,再求返回的时间。
甲乙两港相距360千米,一艘轮船往返两港需要35小时,逆流航行比顺流航行多花了5个小时。
现在有一艘帆船,静水中的速度是每小时行12千米,那么这艘帆船往返两港要多少小时?
某港口停有甲乙两艘快艇。
一天甲快艇顺水以每小时40千米,乙快艇逆水以每小时24千米的速度同时背向开出。
1小时候,甲快艇调头去追乙快艇,已知水流速度为每小时4千米。
多少小时甲才能追上乙?
想,这题应该是甲快艇追乙快艇的问题,弄清楚追及的路程与速度
甲乙两船在静水中的速度分别时22
和18
.两船先后从同一港口顺水开出,乙船先行2小时,甲船才出发。
已知水速是4
。
甲船开出多少小时后可追上乙船?
甲乙两船在静水中的速度分别时24
和32
,两船从相距336千米的两港同时出发相向而行,几小时相遇?
如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时乙船追上甲船?
某河有相距54千米的上、下两个码头,每天定时有甲乙两艘速度相同的客船分别从两码头同时相向而行。
一天甲船从上游码头出发时掉下一物,此物浮于水面顺水飘下,4分钟后,与甲船相距1千米。
预计乙船出发后几小时与此物相遇?
1.甲乙两港相距400千米。
一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港逆水10小时。
2.甲乙两港相距192千米,一艘快艇顺水要8小时行完全程,已知水流速度为每小时4千米。
求这艘快艇逆水行完全程要多少小时?
3.一只船在静水中的速度是18
,水流速度是2
,这只船从甲港逆水航行到乙港,用了5小时,求甲乙两港之间的距离是多少千米?
4.一艘船的速度15
(静水速度),它逆水行了6小时航程为72千米。
它顺水行同样的航程要几小时?
5.一艘船在长江中顺流而下航行400㎞,要10h;
逆流而上航行360㎞,也要10h。
求这艘轮船在静水中航行190千米要用多少时间?
6.甲乙两码头相距288千米,货船顺流而下需要8小时,逆流而上需要16小时。
如果客船顺流而下需要12小时,那么客船在静水中的速度是多少?
7.一艘轮船从甲港到乙港顺流航行要8小时,返回时每小时比顺水少行9千米。
已知甲乙两港相距216千米。
(1)返回时比去时多行几小时?
(2)水流的速度是多少?
8.一位短跑选手,顺风跑90米用了10秒。
在同样的风速下,逆风跑70米也用了10秒。
那么
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