高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第3节椭圆基丛点练理Word文件下载.docx
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cos∠F2PF1==-.
又因为∠F2PF1∈(0,π),
所以∠F2PF1=.故选C.
4.(xx运城二模)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( B )
(A)(B)-(C)2(D)-2
设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,y1+y2=4,
两式相减,得
+=0,
所以=-,
所以k==-.
5.若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>
0)上的一点,且·
=0,
tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为( A )
因为·
所以PF1⊥PF2,
在Rt△PF1F2中,
设|PF2|=1,
则|PF1|=2,|F1F2|=,
所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=,
故此椭圆的离心率e==.
6.(xx沈阳二模)已知椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为( D )
(A)(0,-1)(B)(,1)
(C)(0,)(D)(-1,1)
根据正弦定理得=,(*)
所以由=
可得=,
即==e,
所以|PF1|=e|PF2|,
又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·
(e+1)=2a,
则|PF2|=,因为a-c<
|PF2|<
a+c(不等式两边不能取等号,否则(*)式不成立),
所以a-c<
<
a+c,
即1-<
1+,
所以1-e<
1+e,
即
解得-1<
e<
1.
7.(xx上海十三校联考
(二))若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= .
①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4.②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,
解得a=8.
答案:
4或8
8.(xx河南六市调研
(一))过椭圆+=1的中心任作一直线,交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF面积的最大值是 .
设P点的纵坐标为yP,由于椭圆+=1的中心是原点O,则Q点的纵坐标为-yP,且|yP|≤4,c===3,则△PQF的面积是|OF|(|yP|+|yQ|)=c×
2|yP|=3|yP|≤3×
4=12.
12
9.已知椭圆C:
+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:
y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e= .
因为点A,B分别是直线l:
y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是(-,0),(0,a).
设点M的坐标是(x0,y0),
由|AM|=e|AB|,得(*)
因为点M在椭圆上,所以+=1,
将(*)式代入,得+=1,
整理得,e2+e-1=0,
解得e=.
10.如图所示,已知椭圆+=1(a>
0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°
求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.
解:
(1)因为|AF1|=|AF2|=a,
且∠F1AF2=90°
|F1F2|=2c,
所以2a2=4c2,
所以a=c,所以e==.
(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),
由=2,
解得x=,y=-,
代入+=1,得+=1,
即+=1,
解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆方程为+=1.
能力提升练(时间:
15分钟)
11.(xx宜宾二诊)已知直线l:
y=kx与椭圆C:
0)交于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,且·
=0.若∠ABF∈(0,],则椭圆C的离心率的取值范围为( D )
(A)(0,](B)(0,]
(C)[,](D)[,1)
设椭圆C的右焦点为F′,连接AF′,BF′,因为·
所以AF⊥BF,
又直线l:
y=kx过原点O,
所以根据椭圆的对称性知点A,B关于原点对称,
所以四边形AFBF′是矩形,
所以|AB|=|FF′|=2c(其中c=),
所以在直角三角形AFB中,
|AF|=|AB|sin∠ABF=2csin∠ABF,
|BF|=|AB|cos∠ABF=2ccos∠ABF,
又根据椭圆的定义知|AF|+|AF′|=2a,
所以2csin∠ABF+2ccos∠ABF=2a,
所以离心率e==
=,
又∠ABF∈(0,],
所以<
∠ABF+≤,
sin(∠ABF+)≤,
故e∈[,1).
12.椭圆Γ:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .
已知F1(-c,0),F2(c,0),
直线y=(x+c)过点F1,且斜率为,
所以倾斜角∠MF1F2=60°
.
因为∠MF2F1=∠MF1F2=30°
所以∠F1MF2=90°
所以|MF1|=c,|MF2|=c.
由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=c+c=2a,
所以离心率e===-1.
-1
13.已知椭圆+=1(a>
0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=,则椭圆的离心率e= .
设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0),
则k1=,k2=,
由题意有|k1k2|=|·
|=||=,
因为P,M,N在椭圆上,
所以+=1,+=1,
两式相减得+=0,
即=-,
所以=,即=,解得e==.
14.(xx长春调研)已知椭圆+=1(a>
0)的离心率为,右焦点到直线x+y+=0的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点M(0,-1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,且满足=-,求直线l的方程.
(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>
0),
则=2,
c+=±
2,c=或c=-3(舍去).
又离心率=,则=,
故a=2,b==,
故椭圆的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),
因为=-,
所以(x1-x0,y1)=-(x2-x0,y2),y1=-y2.①
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时,①不成立,
于是设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),
联立方程
消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②
因为Δ>
0,所以直线与椭圆相交,
于是y1+y2=-,③
y1y2=,④
由①③得,y2=,y1=-,
代入④整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=±
1,
所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1.
15.(xx兰州模拟)已知椭圆方程为+x2=1,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(1)求m的取值范围;
(2)求△MPQ面积的最大值.
(1)设直线l的方程为y=kx+1,
由
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-.
可得y1+y2=k(x1+x2)+2=.
设线段PQ的中点为N,则点N的坐标为(,),
由题意有kMN·
k=-1,
可得·
可得m=,又k≠0,所以0<
m<
故m的取值范围为(0,).
(2)设椭圆的焦点为F,由
(1)可得k2=-2,
则S△MPQ=·
|FM|·
|x1-x2|
=|1-m|
=|1-m|·
所以△MPQ的面积为(0<
).
设f(m)=m(1-m)3,
则f′(m)=(1-m)2(1-4m).
可知f(m)在区间(0,)上单调递增,在区间(,)上单调递减.
所以当m=时,f(m)有最大值f()=.
即当m=时,△MPQ的面积有最大值.
精彩5分钟
1.已知椭圆C:
+=1,点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A,B,则△AOB的面积的最大值为( C )
(A)1(B)(C)2(D)2
解题关键:
设出直线l的方程为y=x+m(m≠0),与椭圆方程联立建立面积关于m的关系式,利用基本不等式求最值.
由直线l∥OM,可设直线l的方程为y=x+m(m≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线l的方程代入椭圆C的方程得,
x2+2mx+2m2-4=0,
则Δ=(2m)2-4(2m2-4)>
0,
即m∈(-2,2)且m≠0,
x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
所以S△AOB=|m||x1-x2|
=|m|·
=|m|
=
≤=2,
当且仅当m2=4-m2,即m=±
时,
△AOB的面积取得最大值,且最大值为2.
2.已知点P是椭圆+=1上的动点,且与椭圆的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若点M是∠F1PF2的平分线上的一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围是( A )
(A)(0,4)(B)(0,4](C)(2,4)(D)(2,4]
利用极限思想当点P分别趋近于上顶点和右顶点时点M趋近于点O和点F1.
由椭圆的对称性,只需研究动点P在第一象限内的情况,当点P趋近于椭圆的上顶点时,点M趋近于点O,此时|OM|趋近于0;
当点P趋近于椭圆的右顶点时,点M趋近于点F1,此时|OM|趋近于=4,所以|OM|的取值范围为(0,4).
2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第3节椭圆课时训练理
基础对点练(时间:
30分钟)
因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>
0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,
则c==4,e==.
=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为( A )
(A)(0,-1)(B)(,1)
(C)(0,)(D)(-1,1)
7.(xx辽宁六校联考)已知两圆C1:
(x-4)2+y2=169,C2:
(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,
故所求的轨迹方程为+=1.
+=1
8.(xx河南六市调研
(一))过椭圆+=1的中心任作一直线,交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF面积的最大值是 .
10.如图所示,已知椭圆+=1(a>
0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(A)(0,](B)(0,]
(C)[,](D)[,1)
设椭圆C的右焦点为F′,连接AF′,BF′,因为·
=0,
已知F1(-c,0),F2(c,0),
13.(xx聊城模拟)椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:
x=-,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是 .
设点P(x1,y1)(-a<
x1<
a),由于PQ⊥l,故|PQ|=x1+,
因为四边形PQF1F2为平行四边形,
所以|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+=2c,
则有-a<
2c-<
a,
由于0<
即椭圆离心率的取值范围是(,1).
(,1)
所以(x1-x0,y1)=-(x2-x0,y2),y1=-y2.①
消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②
于是y1+y2=-,③
y1y2=,④
故m的取值范围为(0,).
可知f(m)在区间(0,)上单调递增,在区间(,)上单调递减.
利用极限思想当点P分别趋近于上顶点和右顶点时点M趋近于点O和
点F1.
由椭圆的对称性,只需研究动点P在第一象限内的情况,当点P趋近于椭圆的上顶点时,点M趋近于点O,此时|OM|趋近于0;
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- 数学 一轮 复习 第九 平面 解析几何 椭圆 基丛点练理