线性规划在企业管理中的运用Word文档格式.docx

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排队现象在日常生活中屡见不鲜，如机器等待修理、船舶等待装卸、顾客等待服务等等.它们有一个共同的问题，就是等待时间长，会影响生产任务的完成，或者顾客会自动离去二影响生产效益；

如果增加修理工、装卸码头和服务台，固然能解决等待时间过长的问题，但又会蒙受修理工、码头和服务台空闲的损失.这类问题的妥善解决是排队论的任务.

人们在生产和消费过程中，都必须储备一定数量的原材料，、半成品或商品.存储少了会因停工待料或失去销售机会而遭受损失，存储多了又会造成资金积压、原材料及商品的损耗.因此，如何确定合理的存储量、购货批次和购货周期至关重要，这是存储论要解决的问题.

博弈论就是研究博弈行文中的竞争各方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到这一个合理方案的数学理论和方法.市场经济与竞争机制是博弈论与经济学即企业经营管理建立起了密切关系，在这一领域发挥着越来越重要的作用.

人们在着手实现某个预期目标时，出现了多种情况，有多种行动方案可供选择.决策者如何选择一个最优方案，才能达到他的预期目标，这是决策论的研究任务.

模拟方法则重点分析研究具有复杂性和随机性的系统，已解决其他模型无法有效解决之问题.

运筹学在企业管理中的应用

运筹学的应用范围很广，以下主要对运筹学在某些重要的经济管理方面给以简述，而非对应用全貌的概述.

（1）市场营销：

广告预算和媒体的选择，竞争性定价、新产品开发、销售制定等;

（2）生产计划：

从总体确定生产、存储和劳动力的配合等计划，以适应波动的需求计划，还可以生产作业计划、日程表编排以及合理下料、配料、物料管理等方面;

（3）库存管理:

主要应用多种物资库存量的管理，确定某些设备的能力和容量，比如停车场大小、新增发电设备的容量大小、电子计算机的内存量、合理的水库容量等.目前新的动向是：

将库存理论与计算机化的物资管理信息系统相结合;

（4）运输问题：

空运飞机航班和飞行机组人员服务时间分配、水运中的船舶航运计划、港口装卸设备的配置和船到港后的行运安排，公路运输中除了汽车调度外，还有公路网的设计和分析、室内公共汽车路线的选择级行车时刻表的安排、出租汽车的救助和停车场的设立及铁路运输等;

（5）财政和会计：

预算、贷款、成本分析、定价、投资、证券管理等；

（6）人事管理：

人员的获得和需求估计、人才的开发（教育和训练）、人员的分配（指派问题）、各类人员的合理利用、人才的评价（如何测定一个人对组织、社会的贡献）、工资和津贴的确定等.

（7）设备维修更新和可靠性分析以及项目选择和评价等；

（8）工程的优化设计；

（9）计算机和信息系统：

计算机的内存分配，不同排队规则对磁盘和磁鼓工作性能的影响，计算机信息系统自动设计等；

（10）城市管理：

各种紧急服务系统的设计和运用，如救护站、救护车、警车等分布点的设立，城市工会和污水处理系统的规划等等.

近年来，运筹学作为系统工程的重要方法，与系统分析及其他系统工程方法相结合，用以研究规模庞大和复杂的问题，如部门计划、区域经济规划等.

本论

◆运筹学的数学模型

模型就是用一个简化的方式表现一个复杂过程或系统，用以帮助人们进行思考和解决问题.运筹学所研究的模型一般来说都是数学模型，也就是用字母、数字和运算符号将系统或过程的某些特征及相互关系表达出来.它试图精确地和定量地表示系统的各种关系.它是现实系统过过程的一种抽象，近似实际系统或过程而又非市级系统或过程的复制品.它应能反映实际系统或过程的某些特征而又比实际系统或国过程本身简单.下面介绍几种常见的数学模型.

一，线性规划模型

设要从甲地调配物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C地200吨、D地100吨.已知每吨运费如表：

销地

产地

A

B

C

D

甲

21

25

7

15

乙

51

37

假设运费与运量成正比，在这种情况下，怎样才能找出一个运费最省的调拨计划？

设X11,X12,X13,X14分别表示从甲地运往A,B,C,D四地的物资数量，用X21,X22,X23,X24分别表示从乙地运往A,B,C,D四地的物资数量，总的运费为F.满足题目条件的数学形式就是：

minF=21X11+25X12+7X13+15X14+51X21+51X22+37X23+15X24

s.t.X11+X12+X13+X14=2000

X21+X22+X23+X24=1100

X11+X21=1700

X12+X22=1100

X13+X23=200

X14+X24=100

xij≥=;

i=1,2;

j=1,2,3,4

有以上分析可以看出，抽象成数学形式的核心就是求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，使某个目标达到最小或最大，而这些约束日条件又都可以用另一组线性不等式或线性方程来表示.

二，随机规划模型

设决策者要设计一个水库，使水库的容量C在满足给定的限定条件下达到最小，以使其造价最省.

首先，为防止洪水灾害，在一年中第i个季节水库应空出一定的容量vi，以保证洪水的注入.由于洪水不一定年年有，洪水量的大小也会变化，因此比较合理的约束条件应为以较大的概率α1保证水库容纳洪水，即

P（C-Si≥Vi）≥α1,i=1,2,3,4

其中Si为第i个季节初水库的出水量.

其中，为保证灌溉、发电、航运等用水供应，水库在每一季节应能保证一定的放水量qi由于考虑到随机因素，要求满足这一条件的概率不小于某一数α2，即P（xi≥qi）≥α2,i=1,2,3,4

其中xi为第i季的可放水量.

同样，为保护水库的安全和水生放养，一般地还要求水库保持最小储水量sm,即P（si≥sm）≥α3，i=1,2,3,4

另外，表示放水量和储水量的xi，si不能是负数，即

xi≥0；

si≥0，i=1,2,3,4

于是，写成数学形式就是：

minC

s.t.P（C-Si≥Vi）≥α1

P（xi≥qi）≥α2

P（si≥sm）≥α3

其中约束条件采用了概率约束形式，具有这种特征的数学形式我们就叫做随机规划模型.

◆企业实例分析

企业背景情况：

AutomobileAlliance是一家大型的汽车制造公司.它所生产的产品可分为三类：

家用卡车，家用小型轿车以及家用中型和豪华轿车.并且，位于底特律和密执安交界处的一家工厂负责装配两种中型和豪华轿车.

第一种车型，FamilThrillseeker，是一种四门轿车，装有乙烯树脂座椅、塑料内饰、标准配置，省油性能出色.购买这种车对于生活不是十分富裕的中产家庭来说是一个明智的选择.每一辆FamilyTrillseeker为公司带来中等水平的3600美元的利润.

第二种车型，ClassyCruiser，是一种双门豪华车，配有真皮座椅、选装配置、木制内饰以及导航能力.它定位于较高层次的中产阶级，每一辆ClassyCruiser能够为公司带来5400美无的可观利润.

装配厂经理EachelRosencrantz目前正在为下一个月制定生产计划.具体地说，就是她要在考虑各种可能的和现实的影响因素后决定FamilyThrillseeder和ClassyCruiser各需要生产多少能够使得公司的利润最大.她知道工厂每个月有48000工时的生产能力，装配一辆FamilyThrillseeker需要6个工时，一辆ClassyCruiser需要10.5工时.

由于工厂只是一个装配厂，装配这两种车所需的所有零件都不在厂里制造，而从密执安附近区域的其他工厂运来.例如轮胎、转向轮、车窗、座椅以及车门都来自于不同的供应厂.Rachel知道下一个月她只能从车门供应厂得到20000扇车门.最近的一场罢工迫使这家供应厂停产了几在，下个月将无法完成生产计划.FamilyTrillseeker和ClassyCruiser都使用相同的车门.

另外根据公司新近的对各种车型的月需求预测，ClassyCruiser的产量限制在3500辆.在装配厂生产能力范围内，FamilyThrllseeder的生产没有限制.

对于这个问题，我们需要建立一个线性规划模型并求解，先确定FamilyTrill-seeker和ClassyCruiser在以上得知的条件限制下各应当装配多少？

建立基本模型

问题假设：

1）F与C两种车型每辆的获利是与各自装配量无关的常数，两种车型的装配时间是与它们装配量无关的常数.

2）C，F每辆的获利是与它们相互间装配量无关的常数，每辆车型的数量和时间是与它们相互间装配量无关的常数.

决策变量：

设下月装配F，C分别为X1,X2.

目标函数：

设下个月获利Z美元，X1辆F获利3600X1，X2辆C获利5400X2，故Z=3600X1+5400X2.

约束条件：

1）装配一辆F需6小时，一辆C需10.5小时，下个月总装配工时6X1+10.5X2≤48000.

2）装配F需4个车门，装配C需2个车门，下个月装配车辆总的车门数4X1+2X2≤20000.

3）由于需求限制，避免供过于求，C的装配辆X2≤3500.

4）X1,X2不能为负值.

综上可得（模型一）

MAXZ=3600X1+5400X2

s.t.6X1+10.5X2≤48000

4X1+2X2≤20000

X2≤3500

X1≥0,X2≥0

此模型我们可以用LINDO软件或线性规划中的对偶单纯形法进行求解.在此,由于二维变量相对简单,因此先用单纯形法进行求解.

首先,列出原始问题的对偶问题:

Minz=48000X1+20000X2+3500X3

s.t.6X1+4X2≥3600

10.5X1+2X2+X3≥5400

X1,X2,X3≥0

增加人工变量X4,X5得辅助问题:

ming=X4+X5

s.t.-6X1-4X2+X4=-3600

-10.5X1-2X2-X3+X5=-5400

X1,X2,X3，X4,X5>

0

形成如下形式的表:

Z

-48000

-20000

-3500

G

0

-1

X4

-6

-4

1

-3600

X5

-10.5

-2

-1

1

-5400

下得第一张单纯形表:

z

g

-16.5

-9000

-2

-1*

按对偶单纯形法迭代

-11250

-1300

-4

-3600

-6*

X3

10.5

2

5400

-5500

-1875

X1

2/3

-1/6

600

-5*

7/4

-900

-1100

-3800

-2400

2/15

1/15

-2/15

480

X2

-1/5

-7/20

1/5

180

由最后一张单纯形表可得结果,模型一的最优解为X1=3800，X2=2400，最优值即下个月F与C分别装配3600辆和2400辆，可使

公司获取最大利润为2664万美元.

案例分析：

我们清楚实际情况并非如此简单，在最终决策之前，我们要考虑和解决下面的问题.

a,营销部得知他们可以花费500000美元进行一个广告活动，使得下个月对ClassyCruiser的需求增加20%.这个活动是否应当进行？

即C的需求辆由3500变为4200，由最后一张表第三列对应的为非基变量,新的检验数变为-1100+（3500-4200）<

0,因此最优解不变,仍为（3800,2400）.

决策是不进行广告.

b、我们知道通过让工人加班，可以增加下个月工厂的生产能力.若它可以使工厂的工时能力增加25%.在装配厂新的工时能力的情况下，Fam-ilyTrillseeker和ClassyCruiser各应当装配多少？

即下个月的工时由48000小时改为600000小时，由最后一张表第一列对应变量为基变量,将X1对应的第三行乘以（60000-48000）加到第一行,再令第一列检验数为0,得到新的单纯形表:

500

-3000

-4000

2/15*

1/15

-7/15

继续迭代得最优单纯形表

-3750

-3250

15/2

1/2

3600

3/2

-1/4

900

可知最优解为X1=3250，X2=3500，

即F，C分别装配32500辆和3500辆，公司获取最大利润3060万美元.

c、很明显，没有额外的成本，加班劳动是不可能出现的.除了正常工作时间外，为加班工作支付的最大费用又是是多少？

通过模型一的最后一张单纯形表X1对应的第三行最后一个值可知，工时每增加一小时可获取的利润为480美元,所以她愿意为加班支付的最大费用为每小时480美元.

在考虑以上三条之后，我们得知公司可以通过加班使利润比原来增加396万美元.

继续考虑：

d、若同时使用广告活动和加班劳动.广告活动使得对ClassyCruiser的需求增加20%，加班工作使得工厂工时能力增长25%.如果ClassyCruiser的利润继续保持比FamilyThrill-seeker高50%以上的水平，在同时使用广告活动和加班劳动的情况下，FamilyTrillseeker和ClassyCruiser各应当装配多少？

这时可以重新建立模型二：

s.t.6X1+10.5X2≤60000

X2≤4200

X1>

0,X2>

模型二同样可以用单纯形表做,这里为了简便期间,下面求解问题改用LINDO软件求解,输入模型二可得如下输出:

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）0.3240000E+08

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X13000.0000000.000000

X24000.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2）0.000000540.000000

3）0.0000000.000000

4）200.0000000.000000

5）0.000000-0.100000

NO.ITERATIONS=3

上面结果明确告诉我们,最优解为X1=3000,X2

即F,C分别装配3000辆和4000辆.

若使用了第二个模型,考虑广告和加班的花费,最终公司将获利.即3030万美元.所以模型二优于模型一.因此考虑过后，得出做广告和加班是可行的.

这时，AutomobileAlliance发现实际上分销商正在大幅度降低FamilyThillseeker的售价，以削减库存.由于公司与公销商签订的利润分配协议，每一辆FamilyThrillseeker的利润将不再是3600美元，而是2800美元.在这种利润下降的情况下，考虑FamilyThrillseeker和ClassyCruiser各应当装配多少？

即将模型一的目标函数改为MAXZ=2800X1+5400X2，利用软件，得以下输出：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2

1）0.2415000E+08

X11875.0000000.000000

X23500.0000000.000000

2）0.000000466.666656

3）5500.0000000.000000

4）0.000000500.000000

NO.ITERATIONS=2

由上面结果知最优解为X1=1875，X2=3500，

即F,C分别装配1875辆和3500辆.

e,通过在装配线末端对FamilyThrillseeker的随机测试，公司发现了质量问题.检查人员发现在超过60%的情况中，Thrillseeker四扇车门中的两扇不能完全密封.由于通过随机测试得到的缺陷率如此之高，公司决定在装配线的末端对每一辆Thrillseeker进行测试.由于增加了测试，装配一辆FamilyThrillseeker的时间从6小时上升到了7.5小时.在FamilyThrillseeker新的装配时间下，要确定FamilyThrillseeker和ClassyCruiser各应当装配多少？

重新建立模型三：

MAXZ=3600X1+5400X2

s.t.7.5X1+10.5X2≤48000

通过软件得输出:

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0

1）0.2310000E+08

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X11500.0000000.000000

2）0.000000373.333344

3）7000