立体几何中的探索性问题Word文件下载.docx
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这说明A1,B,G,E四点共面.所以BG⊂平面A1BE.
(8分)
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,
所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,
因此四边形B1BGF是平行四边形,所以B1F∥BG,
(10分)
而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,
故B1F∥平面A1BE.(12分)
3.如图,四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(1)求三棱锥APDE的体积;
(2)AC边上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?
若存在,求出AM的长;
若不存在,请说明理由.
解析:
(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.
又∵ABCD是矩形,
∴AD⊥CD.
∵PD∩CD=D,
∴AD⊥平面PCD,
∴AD是三棱锥APDE的高.
∵E为PC的中点,且PD=DC=4,
∴S△PDE=
S△PDC=
×
=4.
又AD=2,
∴VA-PDE=
AD·
S△PDE=
2×
4=.
(2)取AC中点M,连接EM,DM,∵E为PC的中点,M是AC的中点,∴EM∥PA.
又∵EM⊂平面EDM,PA⊄平面EDM,
∴PA∥平面EDM.
∴AM=
AC=.
即在AC边上存在一点M,使得PA∥平面EDM,AM的长为.
4.如图所示,在三棱锥PABC中,点D,E分别为PB,BC的中点.在线段AC上是否存在点F,使得AD∥平面PEF?
若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由.
假设在AC上存在点F,使得AD∥平面PEF,
连接DC交PE于G,连接FG,如图所示.
∵AD∥平面PEF,平面ADC∩平面PEF=FG,
∴AD∥FG.
又∵点D,E分别为PB,BC的中点,∴G为△PBC的重心,∴
=
=
.故在线段AC上存在点F,使得AD∥平面PEF,且
=.
5.[2016·
北京卷]如图,在四棱锥P ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:
DC⊥平面PAC.
(2)求证:
平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?
说明理由.
(1)证明:
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明:
因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB,
所以AB⊥平面PAC,
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:
取PB的中点F,连接EF,CE,CF.
因为E为AB的中点,
所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF,
所以PA∥平面CEF.
6.[2016·
四川卷]如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°
,BC=CD=
AD.
(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
平面PAB⊥平面PBD.
解:
(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AM,且BC=AM,
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:
取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)证明:
由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.
因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,所以PA⊥平面ABCD,
从而PA⊥BD.
因为AD∥BC,BC=
AD,
所以BC∥MD,且BC=MD,
所以四边形BCDM是平行四边形,
所以BM=CD=
AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
7. [2016·
阳泉模拟] 如图74110,在四棱锥PABCD中,BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
AC⊥PD.
(2)在线段PA上是否存在点E,使BE∥平面PCD?
若存在,求出
的值;
若不存在,请说明理由.
(1)证明:
∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AC⊥CD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面PCD,
∵PD⊂平面PCD,∴AC⊥PD.
(2)在线段PA上存在点E,使BE∥平面PCD,且
.下面给出证明:
∵AD=3,BC=1,
∴在△PAD中,分别取PA,PD靠近点P的三等分点E,F,连接EF,BE,CF.
∵
∴EF∥AD,且EF=AD=1.
又∵BC∥AD,∴BC∥EF,且BC=EF,
∴四边形BCFE是平行四边形,
∴BE∥CF,又∵BE⊄平面PCD,CF⊂平面PCD,
∴BE∥平面PCD.
8.(10分)[2016·
河南中原名校联考]如图所示,在四棱锥S ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△SAD是等边三角形,且SD=2,BD=2,AB=2CD=4.
(1)证明:
平面SBD⊥平面SAD.
(2)若E是SC上的一点,当E点位于线段SC上什么位置时,SA∥平面EBD?
请证明你的结论.
(3)求四棱锥SABCD的体积.
∵△SAD是等边三角形,
∴AD=SD=2,又BD=2,AB=4,
∴AD2+BD2=AB2,∴BD⊥AD,
又∵平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD.
∴BD⊥平面SAD.
又BD⊂平面SBD,∴平面SBD⊥平面SAD.
(2)当E为SC的三等分点,即ES=2CE时,结论成立.
证明如下:
连接AC交BD于点H,连接EH.
∵CD∥AB,CD=
AB,
∴==,∴HE∥SA.
又SA⊄平面EBD,HE⊂平面EBD,
∴SA∥平面EBD.
(3)过S作SO⊥AD,交AD于点O.
∵△SAD为等边三角形,
∴O为AD的中点,∴SO=
.易证得SO⊥平面ABCD,
∴V四棱锥SABCD=S梯形ABCD·
SO.
∵S梯形ABCD=
(2+4)×
=3
∴V四棱锥S ABCD=3.
二、探索垂直关系
1.如图所示,在三棱锥P ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,则下列说法错误的是( )
A.当AE⊥PB时,△AEF一定为直角三角形
B.当AF⊥PC时,△AEF一定为直角三角形
C.当EF∥平面ABC时,△AEF一定为直角三角形
D.当PC⊥平面AEF时,△AEF一定为直角三角形
答案:
B[解析]已知PA⊥底面ABC,则PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,
则BC⊥平面PAB,BC⊥AE.
当AE⊥PB时,又PB∩BC=B,则AE⊥平面PBC,则AE⊥EF,A正确.
当EF∥平面ABC时,又EF⊂平面PBC,平面PBC∩平面ABC=BC,则EF∥BC,故EF⊥平面PAB,则AE⊥EF,故C正确.
当PC⊥平面AEF时,PC⊥AE,又BC⊥AE,PC∩BC=C,则AE⊥平面PBC,则AE⊥EF,故D正确.用排除法可知选B.
2.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
a或2a [解析]由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.当CF⊥DF时,设AF=x,则A1F=3a-x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=
,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.
3.如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结论:
①AF⊥PB;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.
①②③ [解析]由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.故①②③正确.
4.如图所示,已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点.
(1)求证:
EF∥平面ABCD;
(2)设M为线段C1C的中点,当
的比值为多少时,DF⊥平面D1MB?
并说明理由.
∵E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,∴EF∥AB.
∵EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
(2)当
时,DF⊥平面D1MB.
∵ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABC,
∴D1D⊥AC.
∴AC⊥平面BB1D1D,
∴AC⊥DF.
∵F,M分别是BD1,CC1的中点,
∴FM∥AC.
∴DF⊥FM.
∵D1D=AD,
∴D1D=BD.
∴矩形D1DBB1为正方形.
∵F为BD1的中点,
∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1=F,
∴DF⊥平面D1MB.
5.如图
(1),在Rt△ABC中,∠C=90°
,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).
(1) (2)
DE∥平面A1CB.
(2)求证:
A1F⊥BE.
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?
说明理由.
(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,
∴DE∥BC.(2分)
又∵DE⊄平面A1CB,
∴DE∥平面A1CB.(4分)
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D,DE⊥CD.
∴DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC,(6分)
∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD,CD∩DE=D,
∴A1F⊥平面BCDE,又BE⊂平面BCDE,
∴A1F⊥BE.(9分)
(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:
如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
又∵DE∥BC,∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.
由
(2)知,DE⊥平面A1DC,
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
∴A1C⊥DP.
又DP∩DE=D,
∴A1C⊥平面DEP.(12分)
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.(14分)
6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点.
(1)求证:
AB1⊥BF;
(2)求证:
AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?
若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.
解析:
连接A1B,则AB1⊥A1B,
又∵AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1,
∴AB1⊥平面A1BF.
又BF⊂平面A1BF,∴AB1⊥BF.
取AD中点G,连接FG,BG,则FG⊥AE,
又∵△BAG≌△ADE,
∴∠ABG=∠DAE.
∴AE⊥BG.
又∵BG∩FG=G,∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG,∴AE⊥BF.
(3)存在.取CC1中点P,即为所求.
连接EP,AP,C1D,
∵EP∥C1D,C1D∥AB1,
∴EP∥AB1.
由
(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP.
又由
(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E,
∴BF⊥平面AEP.
7.如图
(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1BCD,如图(2)所示.
(1)若M是FC的中点,求证:
直线DM∥平面A1EF.
BD⊥A1F.
(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?
在题图(1)中,因为D,M分别为AC,FC的中点,所以DM是△ACF的中位线,所以DM∥EF,
则在题图
(2)中,DM∥EF,又EF⊂平面A1EF,DM⊄平面A1EF,
所以DM∥平面A1EF.
(2)证明:
因为A1E⊥BD,EF⊥BD,且A1E∩EF=E,
所以BD⊥平面A1EF.
又A1F⊂平面A1EF,所以BD⊥A1F.
(3)直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下:
因为平面A1BD⊥平面BCD,平面A1BD∩平面BCD=BD,EF⊥BD,EF⊂平面BCD,
所以EF⊥平面A1BD.
因为A1B⊂平面A1BD,所以A1B⊥EF,
又EF∥DM,所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD,
因为A1B⊥DM,CD∩DM=D,
所以A1B⊥平面BCD,
所以A1B⊥BD,这与∠A1BD为锐角矛盾,
所以假设不成立,所以直线A1B与直线CD不能垂直.
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