第六节 圆和圆的位置关系文档格式.docx
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1.如何判定两圆的位置关系?
点拨:
(1)定义法.根据两圆的公共点个数判定两圆的位置关系.即当两圆没有公共点时,两圆外离或者内含;
当两圆有唯一公共点时,两圆外切或者内切;
当两圆有两个公共点时,两圆相交.然后结合图形判定位置关系.
(2)数量关系法.通过比较两圆的圆心距与半径的数量关系判定两圆的位置关系.即当d>R+r时,两圆外离;
当d=R+r时,两圆外切;
当R-r<d<R+r(R≥r)时,两圆相交;
当d=R-r(R>r)时,两圆内切;
当d<R-r(R>r)时,两圆内含.
注意:
当d>R-r时,两圆可能相交,还可能外切或外离;
当d<
R+r时,两圆可能相交,还可能内切或内含,因此,只有当R-r<d<R+r时,才能判定两圆相交.
2.两圆相切有什么性质?
两圆相切时,经过两圆的圆心的直线必经过切点,这条直线是两圆相切时常用的辅助线.
3.两圆相交时,如何添加辅助线?
在解有关相交两圆的问题时,常作出连心线、公共弦;
或连接交点与圆心,从而把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到一个三角形中,利用三角形的有关知识来解决.
如右图所示,⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm.
(1)若以点P为圆心作⊙P与⊙O外切,则⊙P的半径是多少?
(2)若以点P为圆心作⊙P与⊙O内切,则⊙P的半径是多少?
【思路导析】根据两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系,可求出⊙P的半径.
解:
(1)设⊙O与⊙P相外切于点A,
则OP=OA+PA.
∴PA=OP-OA=8-5=3(cm).
(2)设⊙O与⊙P内切于点B,
则OP=PB-OB.
∴PB=OP+OB=8+5=13(cm).
1.有两个圆,已知一个圆的半径R=4,两圆的圆心距是6.那么另一个圆的半径r满足什么条件时这两个圆外离?
2.已知相切两圆的圆心距为5,其中一个圆的半径为3,那么另一个圆的半径是多少?
3.已知两个圆的圆心距为2cm,一个圆的半径为8cm,要使这两个圆内含,另一个圆的半径应满足什么条件?
4.已知两个圆内切,圆心距是2cm,如果一个圆的半径是4cm,那么另一个圆的半径是多少?
已知⊙O1与⊙O2的半径分别为一元二次方程x2-9x+14=0的两根,若圆心距O1O2的长为5,试判断⊙O1与⊙O2的位置关系.
【思路导析】由一元二次方程x2-9x+14=0得x1=2,x2=7.由于x2-x1=7-2=5,与圆心距相等,故两圆内切.
设⊙O1与⊙O2的半径分别为R和r,
由x2-9x+14=0,可得x1=7,x2=2.
∵⊙O1与⊙O2的半径是一元二次方程x2-9x+14=0的两个根,
∴R1=7,r=2.∴R-r=5.∴R-r=O1O2.
∴两圆的位置关系为内切.
1.若两圆的半径恰好是一元二次方程x2-6x+3=0的两根,且圆心距为6,则这两个圆的位置关系是()
A.外离B.外切C.内切D.相交
2.已知两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且d2+R2-r2=2Rd,则两圆的位置关系是()
A.外切B.内切
C.外离D.外切或内切
3.如下图所示,⊙O1与⊙O2是等圆且相外切,并都内切于⊙O3.若△O1O2O3的周长为18cm,求圆⊙O3的半径.
4.如下图所示,⊙O2与半圆O1内切于点C,与半圆的直径AB相切于点D.若AB=6,⊙O2的半径为1,求∠ABC的度数.
一、选择题
1.如果两圆的半径分别为3cm和5cm,圆心距为2cm,那么这两个圆的位置关系是()
A.外离B.外切C.相交D.内切
2.已知半径分别为r和2r的两圆相交,则这两圆的圆心距d的取值范围是()
A.0<d<3rB.r<d<3r
C.r<d<2rD.r≤d≤3r
3.如果两圆的半径分别为2cm和5cm,圆心距为8cm,那么这两个圆的位置关系是()
A.内切B.外切C.相交D.外离
4.已知⊙O的圆心在直角坐标系的原点,半径为3,⊙P的圆心坐标为(-3,1),半径为2,那么这两个圆的位置关系是()
C.相交D.内含
5.已知两个半径为1的圆外切,半径为2且和这两个圆都相切的圆共有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
6.已知⊙O1与⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根,且两圆的圆心距等于5,则⊙O1与⊙O2的位置关系是()
A.相交B.外离
C.外切D.内切
7.已知两圆的半径分别为4cm和6cm,两圆的位置可能是相交、外切、外离,则圆心距d的取值范围是()
A.d>10cmB.d=10cm
C.d<15cmD.d>3cm
二、填空题
8.已知两圆的圆心距为1cm,它们的半径分别为2cm和3cm,那么这两个圆的位置关系是.
9.相切两圆的半径分别为15和18,则这两个圆的圆心距d等于.
10.已知⊙O1,⊙O2的半径都等于1,有下列4个命题:
①若O1O2=1,则⊙O1与⊙O2有两个公共点;
②若O1O2=2,则⊙O1与⊙O2外切;
③若O1O2≤3,则⊙O1与⊙O2必有公共点;
④若O1O2>1,则⊙O1与⊙O2外离.其中正确命题的序号是.
11.已知两个圆的半径之比是5∶3,外切时圆心距是32,则当这两个圆内切时,圆心距为.
12.已知两圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是.
13.如下图所示,⊙O从直线AB上的点A(圆心O与点A重合)出发,沿直线AB以1cm/s的速度向右运动(圆心O始终在直线AB上).已知线段AB=6cm,⊙O,⊙B的半径分别为1cm和2cm.当两圆相交时,⊙O的运动时间t(s)的取值范围是.
14.如右图所示,两枚同样大小的硬币,其中一枚固定,另一枚沿其周围滚动,滚动时两枚硬币总是保持有一点相接触(相外切),当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈,回到原来的位置时,那么滚动的那个硬币自转周.
三、解答题
15.在△ABC中,AB=8,BC=6,AC=10,分别以A,B,C三点为圆心,作两两外切的三个圆,那么这三个圆的半径分别是多少?
16.已知⊙O1与⊙O2相切于点P,O1O2=5,其中一个圆的半径为8,求另一个圆的半径.
17.如右图所示,扇形的圆心角为90°
,半径为8cm.求能剪成的最大圆的半径.
1.一电动玩具的正面是由半径为10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘按右图所示的方式连接而成的,小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动(大圆盘不动),回到原来的位置.在这一过程中,判断虚线表示位置的三个圆内,所画的头发、眼睛、嘴巴的位置正确的是()
2.如右图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=3,将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA,BC为半径的圆形成一圆环,该圆环的面积为()
A.3πB.3π
C.9πD.6π
二、解答题
3.某建筑工地上有三个半径都是0.5m的管道,按下图所示的方式堆放在地上,最上面的管道的顶部距地面多高?
4.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=6,BC=8.
(1)如下图①所示,若半径为r1的⊙O是Rt△ABC的内切圆,求r1;
(2)如上图②所示,若半径为r2的两个等圆⊙O1,⊙O2外切,且⊙O1与AC,AB相切,⊙O2与BC,AB相切,求r2;
(3)如上图③所示,当n为大于2的正整数时,若半径为rn的n个等圆⊙O1,⊙O2,…,⊙On依次外切,且⊙O1与AB,BC相切,⊙On与BC,AB相切,⊙O1,⊙O2,…,⊙On-1均与AB边相切,求rn.
1.(2009桂林)右图是一张卡通图,图中两圆的位置关系是()
A、相交B、外离C、内切D、内含
2.(2009郴州)两圆的半径分别为3cm和8cm,圆心距为7cm,则该两圆的位置关系为( )
A.外离B.外切C.相交D.内含
3.(2009肇庆)若
与
相切,且
,
的半径
,则
是()
A.3B.5C.7D.3或7
4.(2009衡阳)两圆的圆心距为3,两圆的半径分别是方程
的两个根,则两圆的位置关系是()
A.相交B.外离C.内含D.外切
5.(2009佛山)将两枚同样大小的硬币放在桌上,固定其中一枚,而另一
枚则沿着其边缘滚动一周,这时滚动的硬币滚动了( )
A.1圈 B.1.5圈 C.2圈 D.2.5圈
6.(2009佛山)已知
的三边分别是
,两圆的半径
,圆心距
,则这两个圆的位置关系是 .
7.(2009湛江)如图,
的直径分别为2cm和4cm,现将
向
平移,当
=cm时,
相切.
8、9题不变。
(满分:
100分)
一、选择题(每题8分,共32分)
1.已知两圆的半径分别为2和5,且圆心距为2,则两圆的位置关系是()
A.外离B.外切C.相切D.内含
2.已知相交两圆的半径分别为5和8,那么这两个圆的圆心距d的取值范围是()
A.d>3B.d<13
C.3<d<13D.d=3或d=13
3.在平面直角坐标系中,两个圆的圆心坐标分别为(0,1)和(1,0),半径都是1,那么这两个圆的位置关系是()
A.外离B.相切C.相交D.内含
4.已知当两圆相切时,圆心距等于2cm,其中一个圆的半径等于6cm,则另一个圆的半径是()
A.10cmB.4cm
C.8cmD.4cm或8cm
二、填空题(每题8分,共32分)
5.已知两圆的半径分别是3和7,且这两个圆外离,那么圆心距d的取值范围是.
6.已知两圆的直径分别是6cm与8cm,且两圆相切,则圆心距是cm.
7.已知两圆半径分别为R和r(R>r),其圆心距为d,若R2+d2-r2=2Rd,则两圆的位置关系是.
8.右图是一个滚珠轴承的平面示意图,若该滚珠轴承的内、外圆的半径分别为2和6,则在该轴承内最多能放半径为2的滚珠颗.
三、解答题(每题18分,共36分)
9.如下图所示,各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O1,⊙O2的半径为R.求⊙O3的半径.
10.如下图所示,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆⊙O1与AB相切于点M,设⊙O1的半径为y,AM=x,求y与x之间的函数关系式.
第六节圆和圆的位置关系
变式训练一
1.0<r<22.2或8
3.解:
设一个圆的半径为R=8cm,另一个圆的半径为r.
则当R>
r时,必须d<R-r,即2<8-r.
∴0<r<6cm.
当r>R时,必须d<r-R,即2<r-8.
∴r>10cm.
4.解:
设一个圆的半径为R=4cm,另一个圆的半径为r.
当R>r时,2=R-r,即2=4-r,∴r=2(cm).
当r>R时,r=6(cm).
所以另一个圆的半径为2cm或6cm.
变式训练二
1.B2.D3.9cm4.75°
轻松过关打基础
1.D2.B3.D4.C5.D6.C7.D
8.内切9.3或3310.①②11.812.3或7
13.3<t<5或7<t<914.2
15.解:
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,⊙C的半径为r3.
∵三个圆两两外切,
∴r1+r2=8,
r1+r3=10,
r2+r3=6.解得r1=6,
r2=2,
r3=4.
∴⊙A的半径为6,⊙B的半径为2,⊙C的半径为4.
16.3或1317.(82-8)cm
快乐拓展练能力
1.B2.C
3.解:
如右图所示,连接O1O2,O2O3,O1O3,过点O3作AB⊥MN,垂足为点B,交⊙O3于点A,交O1O2于点C,
∴O1O2∥MN,
CB=0.5m.
∵⊙O1,⊙O2的半径均为0.5m,且与地面MN相切,
∴AB⊥O1O2,即O3C是△O1O2O3的高.
∵O1O2=O1O3=O2O3=0.5×
2=1(m),
∴AB=AO3+O3C+CB
=0.5+32+0.5
=(1+32)m.
∴最上面的管道的顶部距地面(1+32)m.
(1)r1=AC+BC-AB2=6+8-102=2.
(2)连接O1A,O1C,O2B,O2C,O1O.
则S△ABC=S△BO2C+S梯形O1ABO2+S△CO1O2+S△AO1C,
∴12×
6r2+12×
8r2+12(2r2+10)·
r2+12×
2r2×
(245-r2)=12×
6×
8.解得r2=107.
(3)由
(2)得
12×
6rn+12×
8rn+12[2(n-1)rn+10]·
rn+12×
2(n-1)rn(245-rn)=12×
8.
解得rn=102n+3.
体验中考
1.D2.C3.D4.A5.C6.相交7.1或3
8.513m
9.解:
(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;
当t>
5.5时,函数表达式为d=2t-11.
(2)两圆相切可分为如下四种情况:
①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+1+t,t=3;
②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+1-t,t=113;
③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11;
④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.
所以,点A出发后3s、113s、11s、13s两圆相切.
名题自我测评
1.D2.C3.C4.D
5.d>106.1或77.内切或外切8.6
9.23R10.y=-14x2+x
- 配套讲稿:
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