数学河南省开封市第一中学届高三期中考试理.docx
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数学河南省开封市第一中学届高三期中考试理
河南省开封市第一中学2016届高三期中考试(理)
一、选择题:
共12题每题5分共60分
1.设=(1,2sin),=(,),=(,)且-∥,则锐角为()
A.30°B.45°C.60°D.75°
2.已知,则与的夹角为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
3.若,,,则()
A.0B.C.D.
4.已知的外接圆的圆心为O,半径为1,,则向量在向量方向上的投影为()
A.B.C.D.
5.如图所示,在△ABC中,BD=2CD,若,则()
A.B.
C.D.
6.已知向量若,则=()
A.1B.2C.3D.4
7.已知是非零向量,则“命题”是“命题向量与向量共线”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.在平行四边形中,,,若将其沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
9.在四边形中,则该四边形的面积为()
A.B.C.5D.10
10.已知向量,的夹角为,,,则.
11.如图,中,,为的中点,以为圆心,为半径的半圆与交于点,为半圆上任意一点,则的最小值为()
A.B.C.D.
12.如图,中,,为的中点,以为圆心,为半径的半圆与交于点,为半圆上任意一点,则的最小值为()
A.B.C.D.
二、填空题:
共4题每题5分共20分
13.已知向量,则向量在向量方向上的投影为.
14.已知A,B,C三点的坐标分别是,若,则=__________.
15.已知向量______.
16.如图,在等腰梯形中,,,,点,分别为,的中点.如果对于常数,在的四条边上,有且只有个不同的点使得成立,那么实数的取值范围为.
三、解答题:
共8题共70分
17.设与是两个单位向量,其夹角为60°,且=2+,=﹣3+2.
(1)求•;
(2)求||和||;
(3)求与的夹角.
18.已知、、是的内角,向量且.
(1)求角的大小;
(2)若,求.
19.已知:
,,设函数
求:
(1)的最小正周期及最值;
(2)的对称轴及单调递增区间.
20.已知向量.
(1)若点三点共线,求的值;
(2)若为直角三角形,且为直角,求的值.
21.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.
(1)求证:
A,B,C三点共线;
(2)求的值;
(3)已知,
的最小值为,求实数的值.
22.已知.
(1)若,求角的值;
(2)求的最小值.
23.已知,与的夹角是.
(1)计算:
;
(2)当为何值时,?
24.如图,已知点是边长为1的正三角形的中心,线段经过点,并绕点转动,分别交边于点,设,,其中.
(1)求表达式的值,并说明理由;
(2)求面积的最大和最小值,并指出相应的的值.
参考答案
1.D
【解析】
试题分析:
因为,,由向量平行的充要条件得:
,解得,所以锐角.故选D.
考点:
向量的线性运算;向量平行的充要条件;特殊角的三角函数值.
2.C
【解析】
试题分析:
由
得,又,则.故选C.
考点:
向量的数量积的性质和运算律;向量之间的夹角.
3.B
【解析】
试题分析:
因为,结果是一个数量,,所以.故选B.
考点:
向量数量积的坐标运算和运算律.
4.B
5.C
【解析】
试题分析:
由题,则:
.
考点:
向量的加减法及几何意义..
6.B
【解析】
试题分析:
由题.则可得:
.
考点:
向量的坐标运算及向量平行的性质.
7.A
【解析】
试题分析:
“命题”能推出“命题向量与向量共线”,而“命题向量与向量共线”不能推出“命题”,∴是充分不必要条件.故选A.
考点:
常用逻辑用语.
8.C
【解析】
试题分析:
由有,若将其沿折成直二面角,则三棱
锥的外接球的直径为,由题意有直线平面,且
所以外接球直径为,半径为
表面积为,故选C.
考点:
1.球的表面积公式;2.球心的确定.
9.C
【解析】
试题分析:
因为,所以,则该四边形的面积为,故选C.
考点:
1、平面向量的数量积公式;2、垂直向量及三角形面积公式.
10.
【解析】
试题分析:
因为向量的夹角为,,,所以
,所以
,故答案为.
考点:
1、平面向量的数量积公式;2、平面向量的夹角和模.
11.D
【解析】
试题分析:
以为坐标原点,所在直线为轴建立直角坐标系,所以
设且,所以
,令,则
,其中.
所以当时有最小值.故选D.
考点:
1、平面向量的数量积公式;2、圆的参数方程的应用.
12.D
【解析】
试题分析:
以为坐标原点,所在直线为轴建立直角坐标系,所以
,设且,所以
,令,则
,其中.
所以当时有最小值.故选D.
考点:
1、平面向量的数量积公式;2、圆的参数方程的应用.
13..
【解析】
试题分析:
根据向量的数量积的几何意义,向量在向量方向上的投影为
.
考点:
向量的数量积的几何意义.
14.
【解析】
试题分析:
由题,又,
得:
,化简的得:
则:
,得:
考点:
三角函数的变形及求值.
15.
【解析】
试题分析:
由题:
设:
,得:
,
考点:
向量的运算及方程思想.
16.(,)
【解析】
试题分析:
由题意得,四条边上各存在两点.先建立直角坐标系:
以CD中点为坐标原点,CD所在直线为x轴,则,根据对称性只需研究点在情况:
当点在上,,
满足存在两点;当点在上,
,满足存在两点;当点在上,
,满足存在两点;三种情况的交集为实数的取值范围为
考点:
向量数量积
17.
(1);
(2),;(3).
【解析】
试题分析:
(1)由与是两个单位向量,其夹角为60°,由向量的数量积,得,
代入即可得到结果;
(2)由和即可求得;(3)由求向量的夹角的
公式即可得到.
试题解析:
解:
(1)由与是两个单位向量,其夹角为60°,
则=1×=,
=(2+)•(﹣3+2)=﹣6+2+•
=﹣6+2+=﹣;
(2)||====,
||====
(3)cos<,>===﹣,
由于0≤<,>≤π,则有与的夹角.
考点:
向量的数量积的定义和性质;向量之间的夹角.
18.
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)根据向量的数量积的坐标表示和三角函数的基本公式得到,再根据角的取值得到;
(2)根据三角函数的基本公式进行恒等变换,得到,结合,得,利用两角和的正切公式即可求得.
试题解析:
解:
(1)因为且
所以-cosA+sinA=1,即sinA-cosA=1所以2sin(A-)=1,sin(A-)=
因为,所以,所以A-=,故;
(2),,,
cosB+sinB=-2cosB+2sinB,3cosB=sinB,tanB=3,
tanC=tan(-(A+B))=-tan(A+B)==
考点:
向量的数量积的坐标表示和三角函数的基本公式.
19.
(1),;
(2)对称轴,单调增区间为
【解析】
试题分析:
利用向量的数量积的定义和三角函数的基本公式得到函数;根据函数的图像和性质,即可得到函数的最小正周期为,最值为,对称轴为,单调增区间为
试题解析:
解:
(1)函数f(x)的最小正周期为,
(2)对称轴为
由得
函数的单调增区间为
考点:
向量的数量积的坐标表示;三角函数的基本公式;函数
的图像和性质.
20.
(1)-19;
(2)1.
【解析】
试题分析:
(1)根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得;(Ⅱ)根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.
试题解析:
解:
(1)∴,.
(2),则,∴,
考点:
向量的减法运算;向量平行和垂直的充要条件.
21.
(1)见解析
(2)2(3)
【解析】
试题分析:
(1)由题证明三点共线,即可化为证向量共线.可利用条件,
化为:
,由向量共线定理得证.
(2)由
(1),利用向量运算可化为:
.求出.
(3)由题给出了函数,可先化简函数关系式,
再利用最值条件,因含参数,需对分三种情况讨论,求出的值.
试题解析:
(1)证明:
由已知得:
即//
又有公共点,三点共线.
(2)
,
当时当时,取得最小值1,与已知相矛盾;
当时当时,取得最小值,得(舍去)
当时当时,取得最小值,得,
综上所述,为所求.
考点:
1.运用向量共线定理证三点共线;2.向量的运算及几何意义;
3.向量的坐标运算及函数最值和分类讨论的思想.
22.
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)先由向量垂直坐标表示得,即,再根据角范围,确定
(2)先根据向量的模的定义得
,再根据同角三角函数关系及配角公式得
,最后根据角的范围,根据余弦函数确定最值
试题解析:
(1)因为,且
所以,
即,又,
所以,
(2)因为,
所以
因为,所以,
故当时,取到最小值.
考点:
向量垂直及模,三角函数性质
【答案】
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)利用平面向量的向量积的运算计算即可;
(2)由,可知即可求得值
试题解析:
由已知得:
,
(1)∵,∴.
(2)∵,∴,∴,
即,∴,即时,与垂直.
考点:
平面向量的数量积的有关运算
24.
(1);
(2),
【解析】
试题分析:
(1)将向量用向量和表达,由三点共线,即可得到和
的关系.
(2)由三角形面积公式,,由
(1)可知,由消元法,转化为的函数求最值即可.
试题解析:
:
(1)如图延长交与,∵是正三角形的中心为的中点,则有
三点共线
故
(2)是边长为1的正三角形,由
,即
设则,
易知在为减函数,在为增函数.,即,时,取得最小值,即取得最小值’
又∴f(t)取得最大值是,
则取得最大值,此时或
考点:
向量的实际应用,函数的最值
【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值,考查消元和换元等方法.属中档题.解题时要根据实际问题回归求函数最值的问题,其中考查利用函数的单调性求函数最值的方法,要注意构造新函数时定义域的问题
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- 数学 河南省 开封市 第一 中学 届高三 期中考试