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11定理与证明
定理与证明
一、学习目标
掌握平面内两条直线的位置关系--相交和平行。
掌握两直线相交所成的角的定义和性质,两直线垂直的定义和性质,掌握两直线平行的定义,判定和性质,并能运用这些概念和性质进行简单的推理证明,并了解几何中推理证明的重要性。
二、学习要求
1、逐步熟悉和掌握研究几何问题的方法和规律,掌握定义,公理和定理的意义,使它们成为研究几何问题时推理的根据。
2、具有正确运用几何语言的能力(包括文字表达的语言和符号语言两种)和识图能力。
3、理解定理证明的方法、步骤和书写格式,具备比较简单的推理证明的能力。
三、例题分析
第一阶梯
[例1]完成下列一步推理:
(1)∵CD⊥AB于0(已知) ∴∠AOC= ()
(2)∵∠1与∠2互余(已知) ∴∠1+∠2=90°()
(3)∵OC是∠AOB的平分线 ∴∠AOC= ()
或∴∠A0B=2 或∴∠BOC=
(4)∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°(已知) ∴∠1=∠3()
(5)∵AB∥CDEF∥CD(已知) ∴ ∥ ()
(6)∵点C是AB的中点(已知) ∴AC= () 或∴AB=2 或∴AC=
提示:
垂直的定义是什么?
角平分线及中点的三种表示方法是什么?
互余、互补是怎样定义的?
平行公理及推论是什么?
参考答案:
(1)∠AOC=90°(垂直定义)
(2)互余定义
(3)∠AOC=∠BOC,∠AOB=2∠AOC(或2∠BOC)∠BOC=
∠AOB(角平分线定义)
(4)同角的余角相等
(5)AB∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)
(6)AC=BC,AB=2AC(或2BC)AC=
AB(中点的定义)
说明:
角平分线和中点的表示方法有三种,在具体进行推理论证的过程中,可根据实际需要选择其中的一种表示方法。
[例2]在括号中填上理由:
如图,直线AB、CD被EF所截
∴∠1=∠2()
又∴∠1=∠4(已知)
∴∠2=∠4()
∵∠2和∠3互为邻补角
∴∠2和∠3=180°()
∴∠3+∠4=180°(等量代换)
∴∠3与∠4互补()
提示:
∠1与∠2是什么角?
邻补角有什么性质?
参考答案:
对顶角相等;等量代换;邻补角定义;互补定义。
说明:
在很多几何证明的问题中,角与角之间的关系,往往是通过对顶角或邻补角转换的,所以我们在今后的证明中,不能忽略对顶角相等,邻补角互补这一隐含在图中的条件。
[例3]如图,完成下面的练习:
(1)∵∠3=∠4(已知)
∴ ∥ ()
(2)∵∠4=∠5(已知)
∴ ∥ ()
(3)∵∠6+∠ECB=180°(已知)
∴ ∥ ()
(4)∵∠B=∠7(已知)
∴ ∥ ()
(5)∵AE∥BC(已知)
∴∠6= ()
(6)∵AB∥EC
∴∠7= ()
(7)∵AE∥BC(已知)
∴∠EAB+ =180°
第二阶梯
[例1]已知:
如图1,AB∥CD,∠A=∠C,求证:
AD∥BC
证法一:
∵AB∥CD()
∴∠B+ =180°()
∵∠A=∠C()
∴∠B+∠A= ()
∴ ∥ ()
证法二:
如图2,连结AC。
∵AB∥CD()
∴∠1= ()
∵∠DAB-∠2=∠BCD-∠1()
即∠DAC=∠BCA
∴ ∥ ()
证法三:
如图3,延长AB至E
∵AB∥CD()
∴∠C=∠CBE()
∵∠A=∠C()
∴ = ()
∴AD∥BC()
[例2]已知,如图,∠1=∠2,DE∥AC,EF∥CD,求证;EF平分∠BED
提示:
要证明EF平分∠BED,只需证明∠3=∠4即可由DE∥AC能得出,∠5等于哪个角?
由EF∥CD,
能得出∠3等于哪个角,∠4等于哪个角?
得出的这三个角相等吗?
参考答案:
证明:
∵DE∥AC,CD∥EF(已知)
∴∠1=∠5,∠5=∠3(两直线平行,内错角相等)
∴∠1=∠3(等量代换)
∵CD∥EF(已知)
∴∠2=∠4(两直线平行,同位角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠3=∠4(等量代换)
∴EF平分∠BED(角平分线定义)
说明:
本题是平行线的性质与角平分线的应用,在证明角相等的结论时,经常用到平行线的性质及角平分线的定义,同学们可通过图形及已知条件,探求证明思路,总结角相等的证明方法。
[例3]如图△ABC中,CD⊥AB,FG⊥AB,∠1=∠2,求证:
∠AED=∠ACB。
提示:
由图可知,∠AED和∠ACB是同位角,要证明∠AED=∠ACB,只需证明DE∥BC,要证明DE∥BC,只需证明∠1=∠3,又∠1=∠2,即只需证明∠2=∠3,∠2和∠3是同位角,从而只需证GF∥DC
即可,由已知条件CD⊥AB,FG⊥AB能证出GF∥DC吗?
参考答案:
证明:
∵CD⊥AB,FG⊥AB(已知)
∴∠CDB=∠FGB=90°(垂直定义)
∴GF∥DC(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行)
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等)
说明:
综合法,分析是证明几何题目常用的推理论证的方法,综合法是由已知想可知逐步推向未知,而分析法是由结论想需知逐步靠近已知,当题目较复杂,推理思路不清楚时,可用分析法探求思路,即从结论入手去想需知,思路明确以后,采用综合法进行推理,即逆向思考,正向推理。
第三阶梯
[例1]已知:
如图,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:
∠A=∠F.
提示:
要证∠A=∠F,只需证DF∥BC即可,要证明DF∥BC,只需证∠4=∠C,又∠C=∠D,所以只需证∠4=∠D,从而只需证出EC∥DB,想想由已知条件∠1=∠2,如何证出EC∥DB.
参考答案:
证明:
∵∠2=∠3(对顶角相等) ∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴DB∥EC(同位角相等,两直线平行)
∴∠4=∠D(两直线平行,同位角相等)
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠4=∠C(等量代换)
∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行)
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)
说明:
此例是平行线的性质与平行线判定综合应用的题目,推理步骤较多,较复杂,拿到这样的题目以后,应先弄清思路,可以这样思考:
[例2]已知:
如图2-1AB∥CD,∠EAB=115°,∠3=140°,求:
∠2的度数。
提示:
从题目中可知,要直接利用∠EAB和∠3,求出∠2的度数,根本不可能,而已知条件有AB∥CD,所以可将问题转化为用平行线的性质来解决,因此
需要作辅助线,想想可以怎样添加辅助线
参考答案:
解法一,过A作AG∥CE交CD于G,则∠3+∠AGC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠3=140°(已知)
∴∠AGC=180°-140°=40°
∵AB∥CD(已知)
∴∠AGC=∠GAB=40°(两直线平行,内错角相等)
∵∠EAB=115°
∴∠EAG=∠EAB-∠GAB=115°-40°=75°
∵AG∥CE(已作)
∴∠2=∠EAG=75°(两直线平行,内错角相等)
解法二:
如图2-2,过E作EF∥AB
∴∠1+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠1=115°
∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°
∵EF∥AB,AB∥CD
∴EF∥CD(平行于同一直线的两直线平行)
∴∠5+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠3=140°
∴∠5=180°-∠3=180°-140°=40°
∴∠2=180°-(∠4+∠5)=180°-105°=75°(平角定义)
说明:
解法一中,求∠2即转化为求∠EAG,所作平行线起到移角的作用;
解法二中,求∠2即转化为求∠4+∠5,可根据AB∥EF∥CD,得∠1+∠4+∠5+∠3=360°,这一结论,又因为,∠1,∠3已知,求出∠4+∠5,从而求出∠2的度数。
[例3]证明:
两条平行线被第三条直线所截,内错角的平分线互相平行。
提示:
证明一个命题,要根据题设,结论、结合图形,写出已知,求证后再写出证明过程,想想如何根据命题画出图形,如何写出已知,求证。
参考答案:
已知:
如图,AB∥CD,EF分别交AB,CD于E、F;EG平分∠AEF,FH平分∠EFD 求证:
EG∥FH
证明:
∵AB∥CD(已知)
∴∠AEF=∠EFD(两直线平行,内错角相等)
∵EG平分∠AEF,FH平分∠EFD(已知)
∴∠1=
∠AEF,∠2=
∠EFD(角平分线定义)
∴∠1=∠2(等量的一半相等)
∴EG∥FH(内错角相等,两直线平行)
说明:
证明思路,由结论想需知,由已知想可知,
四、检测题
1.如图1,FA⊥MN于A,HC⊥MN于C,指出下列各判断中,错误的是()
A.由∠CAB=∠NCD,得AB∥CD
B.由∠DCG=∠BAE,得AB∥CD
C.由∠MAE=∠ACG,∠DCG=∠BAE,得AB∥CD
D.由∠MAB=∠ACD,得AB∥CD
2.若AB∥CD,CD∥EF,则AB∥EF的根据是()
A.平行公理
B.等量代换
C.内错角相等,两直线平行
D.平行于同一直线的两直线平行
3.如图2,直线MN⊥PQ于O,RS是过0点的直线,∠1=50°,则∠2是()
A.50° B.40° C.60° D.以上都不对。
4.如果两条平行线被第三条直线所截,那么一组同位角的平分线的位置关系是()
A.互相垂直
B.互相平行
C.相交但不垂直
D.不能确定
5.在括号内填上适当的理由:
(如图3)
设AC⊥BC,CD⊥AB
∴∠ACB=90°,∠BDC=∠ADC=90°()
设∠B+∠1=90°,又∠2+∠1=90°
∴∠2=∠B()
6.已知:
AD∥BC,∠B=55°,∠C=47°,(如图4)求:
∠BAC的度数
解:
∵AD∥BC()
∴∠1=∠B,∠2=∠C()
∵∠B=55°,∠C=47°()
∴∠1=55°,∠2=47°()
又∵∠1+∠BAC+∠2=180°()
∴∠BAC=180°-∠1-∠2=180°-55°-47°=78°
7.如图5,两直线AB,CD相交于O,且∠AOC=2∠BOC,求:
∠AOD的度数。
解:
∵∠AOC=2∠BOC()
∠AOC+∠BOC=180°()
∴∠BOC= 度
又∵∠BOC=∠AOD()
∴∠AOD= 度
8.已知,如图6,∠BED=∠B+∠D,求证:
AB∥CD
证明:
过E点作EF∥CD
∴∠1= ()
∵∠BED=∠1+∠2
∴∠2=∠BED-∠1
又∵∠BED=∠B+∠D ()
∴∠B=∠BED-∠D
∴∠B=∠2
∴ ∥ ()
又∵CD∥EF(作图)
∴AB∥CD()
9.已知,如图7,∠1+∠2=180°.求证:
∠4=∠5
10.证明:
同垂直于第三条直线的两条直线平行,要求:
画图写出已知,求证并证明。
答案:
1、B 2、D 3、B 4、B
5、垂直定义;同角的余角相等。
6、已知;两直线平行,内错角相等;已知,等量代换;平角定义;
7、已知:
邻补角定义;60°,对顶角相等,60°.
8、∠D;两直线平行,内错角相等,已知;AB∥EF;内错角相等,两直线平行,平行于同一直线的两直线平行。
9、证明:
∵∠1=∠3(对顶角相等)
∠1+∠2=180°(已知)
∴∠2+∠3=180°(等量代换)
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠5=∠6(两直线平行,同位角相等)
又∵∠4=∠6(对顶角相等)
∴∠4=∠5(等量代换)
10、已知:
如图8,a⊥c于A,b⊥c于B,求证:
a∥b.
证明:
∵a⊥c于A,b⊥c于B,(已知)
∴∠1=∠2=90°(垂直定义)
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)
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