数理经济学具有约束方程的最优化Word文件下载.docx

数理经济学具有约束方程的最优化Word文件下载.docx

《数理经济学具有约束方程的最优化Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理经济学具有约束方程的最优化Word文件下载.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

ch（x*‘y*）

最优值为:

L*f（x*‘y*）

c引起的约束条件变化

对目标函数最优值影响的度量。

二阶条件：

约束条件h（x,y）c意味着x和y不是自由变化的,

而应该满足：

dh（x，y）hxdxhydydcO,即：

dx

Dh（x,y）dy或者dy匸dxo

目标函数的二阶全微分：

dzfxdxfydy

d2zd（dz）d（fxdxfydy）

一（fxdxfydy）dx一（fxdxfydy）dyxy

fxxdx2fxydydxfydx

x

fyxdxdyfyydy2fydy

得到:

d2y汁2^dydx

代入上式:

二阶必要条件:

对于Z的极大值：

cPZ为半负定，满足dh0,

对于Z的极小值：

二阶充分条件：

d2Z为半正定，满足dh0:

d2Z为负定，满足dh0,

d2Z为正定，满足dh0；

汪意：

d2Z的有定性不等于

xxxxxyxy

hfh的有定性

xyxyyyyy

因为：

约束规划问题转化为无约束规划，即拉格朗日函数

的无约束极值，拉格朗日函数L（&

yj是选择变量x,y,

的函数，而不仅仅是x’y的函数。

d2z

（fxx

hxx）dx2（fxyhxy）dydX（fyy

2

hyy）dy

d

0dy

7HY

h

h代入上式:

y

Lxxdx2

2LxydydxLyydy

hx

hx2

2Lxy（gjdxdxLyy（=dx）2hy

hy

2LxyhxhyLyyh:

）（乎F

0hx

海塞加边矩阵

Lxx

xy

Lxy

yy

因此，d2Z为正定，

满足dh0；

d2Z为负定，满足dh0；

冋od2z正定满足dh=o当且仅当|H|0d2Z负定

（2）多个变量和多个等式约束的情形maxfgK丄x）

s.th（Xi,X2丄,Xn）ci1,L,m

拉格朗日函数：

L（X"

X2丄，Xn;

!

2,L,m）

m

f（Xi,X2,L,x』i[Cihi（Xi,X2,L,Xn）]

xT

11

'

i

l,L,n

h（Xi,X2丄

Xn）O

1,L

二阶充分条件：

L

hi

h2

h：

h；

M

hm

km

luI

ln1

n；

Lil

42

Lln

L21

「22

L2n

hf

Lnl

Ln2

Lnn

二阶充分条件:

（n-m）个加边顺序主子式：

IHmil,|Hm2|,|Hmn|（|H|）

对于极大值，充分条件是这些加边顺序主子式的符号交替变

换，1临11的符号为

（1）ml0对于极小值，充分条件是这些加边顺序主子式均取相同符号，即都为

（1）m。

2、不等式约束优化问题

（1）非负约束

maxf（x）

s.t.X0

假设f（x）是可微的，由于约束条件的情况：

x0,极值有三种可能

3•内解：

f（x）

0,且X

b.边界解：

C•边界解：

将三种情况合并成一种情况：

f（x）0,X0且xf（x）0

xf（x）0表示X和f（X）至少有一个为零，因此两者的乘积

一定为0o这个特点指X和f（X）互补松弛。

推广到n个选择变量：

maxf（xAX2-Lyxn]

s.tXj0（j1丄，n）

相应的一阶条件:

fjO,xjO且XjfjO（j1丄,n）

2）不等式约束

maxf（xi,X2,X3）

s.t.

g1（xiJX2,X3）ng2（xi/X2,X3）r2

X1,X2,X30

引入两个虚拟变量Si和S2,将上述问题变成等式约束和非负约束形式：

maxf（X1.X2,X3）

g1（xi,X2/X3）Sing2（xi/X2‘X3）S2r2Xi,X2,X3,S1,S2O

1

Lf（xi,X2,X3）i[rig（xi,X2,X3）si]

2[r2g2（Xl,X2,X3）S2]

得到一阶条件:

LLL

L_0

XiX2Xs

siS21

由于Xj和Si是非负的，

因此一阶条件必须修改为：

x；

°

Xi

X」0.

Xj；

0,Si

s+0；

UJ1,23

把虚拟变量去掉，将

L换成L：

Lf（Xi,X2,Xd

i[Tigi（X.X2X）]

2【「2

g2（X.X2X）]

上£

防

Xj

2g2）0Xj

Xj—

0.

L「igi（Xi.X2.X3）01

库恩一塔克条件。

推广：

n个变量、m个约束的情形

maxf（%,X2丄,xj

s.t.gi（Xi,X2丄,xjr拉格朗日函数：

l,L,m

Lf（为，X2_L;

Xn）i［「igi（X°

X2丄，Xn）］

il

极大化库恩一塔克条件：

T

o,Xj

OXj

°

；

jl,L,n

■

0,i-

•

;

i1,L,m

极小化库恩一塔克条件：

jl,L,n

O.i-

库恩一塔克条件的解释:

①

V.

］

Ln

②

门

Lc

③

i°

（互补松弛条件）

Xii

c

xi

0和

:

边际条件；

-0：

约束条件

XjO和i0:

非负约束

互补松弛条件则意味着对于每一个Xj,其最优解要么满足边际条件

等式成立（一0）,要么变量Xj。

，或者两式同时成立。

对i而言，其最优解要么满足边

—Lc

际条件等式成立（一°

）,这说明第i个约束恰好完

全满足，要么变量i0,或者两式同时成立。

例题：

生产问题（厂商利润最大化）

maxf（Xi,X2丄，Xn）

stgj（xi,X2丄，XQn,il,L,m

XjO,jlfLfn

那么：

fj第j种产品的边际毛利；

i第i种资源的影子价格（使用每单位i种资源的机会成

g；

生产第j种产品的边际单位所消耗的第i种

资源的量;

igj生产第j种产品的边际单位所消耗的第i种资源的边际

投入成本；

茗生产第j种产品的总边际成本;

因此：

边际条件

igj°

要求第j种产品的边际毛利不能大于它总体边际投入成本，即不允许出现投入不足的情况。

①X・05最优解

]xj

①丄°

i0,资源没有用完，则第i种资源的i

影子价格为0；

②一o,i0,若第i种资源有正的影子价格,则资源完全使用；

影子价格

影子价格（ShadowPrice）通常是指一种资源的影子价格，因此影子价格可以定义为：

某种资源处于最佳分配状态时，其边际产出价值就是这种资源的影子价格。

用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。

用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。

用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。

这种影子价格反映劳动产品、自然资源、劳动力的最优使用效果。

二、约束规范

只有满足特定条件时，库恩一塔克条件才是必要条件。

这条件叫约束规范（constraintqualification）约束规范是对非线性规划中的约束函数施加的某些限制，目的是为了排除可行集边界上的某些不规则性，这些不规则性可能会违背能够产生最优解的库恩一塔克条件。

1、边界点的不规则性

例1:

maxxi

s.tX2（1Xl]30

X1,X20

其可行区域：

要是人髭t,最优解是点（1,0）,但是不满足库恩一塔克极大化条件。

LXiJXzflxJ5/

第一个边际条件：

L2

13i（lXi）20

根据互补松弛条件:

X0,2°

L4

但，，不满足库恩一塔克条件。

入X11

这种异常产生的原因在于本例的最优解（1,0）出现向外指的岐点（cusp）o它构成了使库恩一塔克条件在边界的最优解失效的一种不规则性。

当曲线突然反向，使得该点一边的斜率等于该点另一边的斜率时，所形成的尖点（Sharppoint）就是岐点。

岐点是最经常引用的使库恩一塔克条件失效的原因，但事实上岐点的出现既不是库恩一塔克条件在最优解失效的必要条件，也不是充分条件。

例2：

对例1的问题加上新的约束条件

2xiX22

其边界为翘22x1。

显然，可行区域仍然同以前一样，最优解也出现在岐点。

但其满足库恩一塔克条件。

其拉格朗日函数：

拉格朗日函数为：

LX2xj1（10x2X2）32（2Xi）

第二个边际条件：

丄131（10x2X2）2

X2

因为X26为正，1°

x2\=o,因此无论

都得到$二1。

因此，库恩一塔克条件在没有岐点时也

可能不成立

原因？

2、约束规范

如果满足某一约束规范，则边界的不规则性

1取何值,

（有

岐点或没有岐点的不规则性）就不可能出现

令x*（X；

X2丄，£

）是可行区域边界上的一个（可能的解）点，令dx（dxA,dx2丄，dXn）表示由所提到的边界点移动的特定的方向。

要求：

1，如果第j个选择变量在点X*处取零值，那么只允许在Xj轴上有非负变化，即

*

如果XjO,那么dXjO

（1）

2，如果在点X*处恰好满足第i个约束条件的等式约束，那么将只允许dXi,dX2,L,dx„的取值使约束函数值弹（x*）不增加（对极大化问题），或不减少（对极小化问题），即

1*11

dg（X）gidXig2dX2L

0（极大化）占m如果

0（极小化）

i*

其中所有的偏导数gj都在X处计算。

如果向量dx满足

（1）和

（2）

（testvector）。

gndXn

gi（x*）ri

（2）

则我们称其为测试向量

（1）从点X*出发；

（2）整个包含在可行区域内；

（3）与已知测试向量相切，贝蛾们把这样的弧段称为该测试向量的规范

约束规范：

如果对可行区域边界上的任意点X,对每一测试向量dx,存在一规范弧，那么就满足约束规范。

练习：

验证例1和例3中的最优解不满足约束规范。

3、线性约束条件

如果可行区域是仅由线性约束形成的凸集，那么

约束规范总是满足，且库恩■塔克条件在最优解处总成

线性约束：

x（a（2n

a?

i片a?

2x?

r,

讨论边界上的点是否满足约束规范课后习题

1、已知最优化问题：

s.t.Xl2X221

xi,X20

试用图解法解此题。

并检验最优解点是否满足

（1）约束规范；

（2）库恩■塔克极大化条件。

2、已知最优化问题：

minCxi

s.t.xi2X220

最优解在岐点出现吗？

并检验最优解点是否满足

（1）约束规范；

（2）库恩■塔克极小化条件。

经济应用

1、战争时期配额供应

假设有两件物品：

x和y被定量供应。

消费者的效用函数为

U=U（x,y）0消费者有固定的货币预算B,并面临着外生的价格

PX和Py。

并且，消费者有消费券的

配额C,可以按消费券价格Cx和Cy购买X和yO消费者的问题:

maxUU（x,y）

S.t.PxX

CxX

x,y

PyyB

CyyC

问题的拉格朗日函数：

LU（x,y）i（BPxXPyy）

2（CCxXCyy）

因为约束为线性的，约束规范被满足，

库恩-塔克必要

条件为：

Lx

Ux

lPx

2CxO,x0,

xLx

0,

Ly

Uy

iPy

zCy0,y0,

yLy

B

PxX

Pyy0,i0,i

k

L2

Cyy0,20,

2L2

假设效用函数

Uxv2,B二100,Px

=Pv

=1

o,

CX二2,Cy二1,求最优解

2、尖峰价格

市场的划分：

主要市场和次级市场

尖峰市场和非尖峰市场

如果次级市场的需求和主要市场的规模接近时，

那么能力的约束就是问题，特别是在非尖峰时期进行价格歧视和收取低价时。

即使次级市场比只要市场的规模小，它还是有可能由于更低的（利润最大化）价格使非尖峰需求超过产能。

在这种情况下，产能的选择必须同时考虑这两个市场，从而形成一个经典的非线性

规划问题。

考虑面对一个有以下平均收益曲线的利润最大化企业：

PiPi（Qi）,白天（尖峰）

P2P2（Q2）,晚上（非尖峰）不管白天还是晚

上，企业必须为每单位产品支付bo

此外，企业必须用单位成本c来购买产能。

用K表示以Q的单位数度量的总产能。

企业的最大化问题：

MaxPiQiP2Q2b（Qi

Q2]cK

Qi,Q2,K

s.t.QiKQ2K其中PiPi（Qi）,P2P2（Q2）

Q1Q2'

KO

Qi的总收益

RiPiQiP（Qi）Qi

是只有Qi的函数，我们将问题简化为：

MaxRi（Qi）R2[Q2）b（QiQ2）cK

Qi,Q2,K

s.t.QiK,Q2K,

QiQ'

注意两个约束都是线性的。

因而约束规范能够满足，

库恩■塔克条件是必要条件。

其（KT）条件：

MRzb

Q2L20

Lk

C1

0,K

KLk0

L1

KQi

10,

iLx

l2

KQ2

20,

2l

2O,

其中MR是Qi的边际收益。

采用试错法求解：

因为非尖峰市场是一个次级市场，因此它的边际收益应位于主要市场的边际收益函数之下。

而且，对以次级市场而言，产能约束更可能是不发挥限制作用，因此2更可能为0。

首先尝试2=0。

假设Qi,Q2和

K>

0o由互补松弛条件可得：

MRlbc

MR2b结果：

QiK,Q2

Ko

现在假设拉格朗日乘子为正，那么QiQ2Ko此时：

MRlb1

MR2b2c12

例2:

假设尖峰时期的平均收益函数是

5

Pi22105Qi,那么在非尖峰时期的平均收益函数是

P218105Q2每半天生产单位产出要求单位产能成本是每天8分。

无论是在尖峰时期使用还是在非尖峰时期使用，每单位产能成本是一样的。

在产能本身之外，每半天生产一单位的产出（无

论是白天还是夜晚），它都花费6分的营业成本（劳动力和燃料）o求该企业的最优解。

凹规划（非线性规划中的充分性定理）库恩一塔克充分性定理：

凹规划对于极大化问题，库恩和塔克给出了下面的充分条件（充分性定理）。

给定非线性规划：

Maxf（x）

s.t.g1（x）ri（il,2,Lm）xO

如果满足下列诸条件：

（1）目标函数f（x）可微，且为凹函数；

（2）每个约束函数gi（X）可微，且为凸函数；

（3）点X*满足库恩一塔克极大化条件那么，X*为f（x）的整体极大值点。

在这个定理中，我们没有提到约束规范，是因为在（3）中我们已经假设库一塔克条件在X处满足。

上述定理可以表述为：

如果满足约束规范，且满足条件

（1）和

（2）,那么库恩—塔克极大化条件就是极大化的充分必要条件。

充分性定理对极小化问题同样适用。

我们只需将条件

（1）和

（2）中的“凹”“凸”两字互换，在（3）中使用库恩一塔克极小化条

件即可。

阿罗一恩索文充分性定理：

拟凹规划已知非线性规划：

s.t.g1（x）rj（i1,2,Lm）

xO

如果满足下列条件：

（1）目标函数f（x）可微且是拟凹函数；

（2）每个约束函数gi（X）可微且是拟凸函数；

（3）点X*满足库恩一塔克极大值条件；

（4）满足下列诸条件中任意一个：

（a）至少对某个变量为有fj（x*）Oo

（b）对某个可取正值而不违背约束的变量Xj

有fj（x*）0o

（c）n个导数£

（x*）不全为0,函数f（x）在X*的邻域内二阶可微（即在X*处f（X）的所有二阶偏导数都存在）。

（d）函数f（X）为凹函数。

那么，X*为f（x）的整体极大值点。

定理可以解释为：

当满足条件

（1）、

（2）和（4）时，那么库恩一塔克极大化条件变为极大化的充分条件。

而且，如果又满足约束规范，那么库恩一塔克极大化条件变为极大化的充分条件。

阿罗一恩索文充分性定理对极小化问题：

只需将条件

（1）、

（2）中互换“拟凹"

和“拟凸”这两个词，

用极小化条件取代库恩一塔克极大化条件；

把（4）中

的不等号反号；

且把“凹”变为“凸"

字约束规范的检验方法

如果函数gi（x）是非线性的，那么在确定是否满足约束规范方

面，阿罗和恩索文提出的下列检验法：

对极大化问题，如果

（1）每个约束函数g（X）可微且为拟凸函数。

（2）存在一点X0,使在X0处满足作为严格不等式

的所有约束条件。

（3）下列条件中的一个成立：

（a）每个函数gi（x）为凸函数。

（b）每个gi（X）的偏导数在可行区域中的每点X

计值时，不全为0。

那么，约束规范得到满足。

对于极小化问题，只要把

（1）中的“拟凹"

变为

“拟凸"

，把⑶的但）中“凸”变为'

凹”。

两个变量和一个不等式约束的情形

s.t・g（x;

y）b

L（xi,X2,）f（xi,X2）

[g（xyX2）b]

[bg（xi,X2）]

f（Xl,X2）