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换元法也是解决不等式问题的常用方法,合理地换元是解决问题的关键.
由a<
f(x,y)<
b,c<
g(x,y)<
d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y)(或其他形式),通过恒等变形求得m,n的值,再利用不等式的同向可加和同向可乘的性质求得F(x,y)的取值范围.
同向不等式只能相加,不能相减.即可以利用1≤f(-1)=a-b≤2和3≤f
(1)=a+b≤4相加,得2≤a≤3,但不能利用3≤f
(1)=a+b≤4和1≤f(-1)=
a-b≤2相减得1≤b≤1.
考法指导1.一元二次不等式的解法
(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解,题目简单,情况单一.
(2)含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
①若二次项系数为常数,需先将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
③对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.
2.分式不等式和高次不等式的解法
(1)一般地,解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组求解.
(2)解简单的一元高次不等式(f(x)>
0等),主要通过穿针引线法(或数轴标根法)来求解,其步骤是:
①将f(x)最高次项系数化为正数;
②将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积,然后求出f(x)=0的解,并在数轴上标出;
③自数轴正方向起,用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴;
④记数轴上方为正,下方为负,根据不等号写出解集.
在用穿针引线法求解高次不等式的过程中要注意:
①区间端点能否取到;
②各因式中最高次项的系数要全为正数.
考法指导求解不等式恒成立问题的方法
方法1 不等式解集法
不等式f(x)≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f(x)≥0的解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.
方法2 分离参数法
若不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数)恒成立,将f(x,λ)≥0转化为λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立,进而转化为λ≥g(x)max或λ≤g(x)min,求g(x)(x∈D)的最值即可.
该方法适用于参数与变量能分离,函数最值易求的题目.
方法3 主参换位法
变换思维角度,即把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.一般地,条件给谁范围,就看成有关谁的函数,利用函数单调性求解.
方法4 数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象对称轴,区间端点函数
值或函数图象上、下位置(相对于x轴)关系求解.
此外,若涉及的不等式能转化为一元二次不等式,可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
2.二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.
画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,一般步骤为:
直线定界,虚实分明;
特殊点定域,优选原点;
阴影表示.
注意不等式中有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.特殊点一般选一个,当直线不过原点时,优先选原点.
考法指导 判定二元一次不等式表示的平面区域的方法
方法1:
特殊点法
只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>
0(或<
0)表示直线的哪一侧区域.
若直线不过原点(即C≠0),常把原点(0,0)作为特殊点.若直线经过原点(即C=0),常选(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)等特殊点代入判断.
方法2:
一般式(A>
0),大为右,小为左
当A>
0时,Ax+By+C>
0表示直线右方区域;
Ax+By+C<
0表示直线左方区域.
方法3:
一般式,同为上,异为下
观察B与不等式的符号,若B的符号与不等式符号相同,则表示直线上方区域;
若B的符号与不等式符号相异,则表示直线下方区域.
方法4:
直线l:
Ax+By+C=0将平面分成两部分,则有“同正异负”
(1)A(x1,y1),B(x2,y2)在l:
Ax+By+C=0的同侧⇔(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>
0;
(2)A(x1,y1),B(x2,y2)在l:
Ax+By+C=0的异侧⇔(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<
(3)A(x1,y1)或B(x2,y2)在l:
Ax+By+C=0上⇔(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)=0.
考法指导1.求平面区域的面积,要先作出不等式组表示的平面区域,然后判断平面区域的形状,若为三角形,求出底和高,利用面积公式直接求解,若为不规则图形,则利用割补法求解.
2.求面积时,注意与坐标轴垂直的直线及区域端点坐标,这样易求出底与高,必要时把平面区域分割为特殊图形.
考法指导1.确定最优解的方法
方法1 几何意义法(常用方法)
根据目标函数表达式的特征找到其所代表的几何意义.线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关,当b>
0时,最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线的交点,即平面区域的顶点)的位置得到的;
当b<
0时,则向下方平移可得到最优解.
方法2 变量替代法
把目标函数z代换到原约束条件中,得到新的不等式组,画出此时的平面区域,观察左右或上下边界即可得到最优解.
方法3 解不等式法
当目标函数和约束条件分别是线性目标函数和线性约束条件时,把目标函数z代换到原约束条件中去,得到z的不等式组,直接放缩求解.
方法4 界点定值法
当目标函数和约束条件都是线性的,对应目标函数的最值的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点,这时要求目标函数的最值只要把可行域的几个顶点代入,通过对比目标函数的对应取值,即可得到最优解.
方法5 斜率比较法
利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率分别为k1,k2,…,kn,且k1<
k2<
…<
kn,而且目标函数的直线的斜率为k,则当ki<
k<
ki+1时,直线li与li+1相交的点一般是最优解.
2.线性目标函数的取值范围
此类问题实质也是线性目标函数的最值问题,通过求出最大值及最小值即可知道函数的取值范围,具体实施方法同上.
考法指导1.目标函数中设置参数,旨在增加探索问题的动态性和开放性.从目标函数的结论入手,对图形的动态分析,对变化过程中的相关量的准确定位,是求解这类问题的主要思维方法.
2.约束条件中的参数影响平面区域的形状,这时含有参数的不等式表示的区域的边界是一条变动的直线,此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势,确定区域的可能形状,因此,增加了解题时画图分析的难度.求解这类问题时要有全局观念,结合目标函数逆向分析题意,整体把握解题的方向.
考法指导用线性规划求解实际问题的一般步骤为:
(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;
(2)将影响该问题的主要因素作为决策量,设未知量;
(3)根据问题的特点,写出约束条件和目标函数;
(4)准确作出可行域,并求出最优解或其他要求的解;
(5)将求解出来的结论反馈到实际问题当中,设计最佳方案.
注意在实际应用问题中,变量x,y除受题目要求的条件制约外,可能还有一些隐含的制约条件,如在涉及以人数为变量的实际应用问题中,人数必须是自然数,在解题时不要忽略了这些隐含的制约条件.
线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得,因此不能直接代入顶点坐标求最值,可用下面的方法求解.
(1)平移直线法:
先在可行域内打网格,再描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解.
(2)检验优值法:
当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解.
(3)调整优值法:
先求非整数点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后筛选出最优解.
解析 作出不等式组表示的平面区域,如图7-2-11中阴影部分所示.
由z=ax+y得y=-ax+z.
若a=0,则直线y=-ax+z=z,此时z取得最小值的最优解只有一个,不满足题意;
若-a>
0,则直线y=-ax+z在y轴上的截距取得最小值时,z取得最小值,此时当直线y=-ax与直线2x-y-9=0平行时满足题意,此时-a=2,解得a=-2;
若-a<
0,则直线y=-ax+z在y轴上的截距取得最小值时,z取得最小值,此时当直线y=-ax与直线x+y-3=0平行时满足题意,此时-a=-1,解得a=1.
综上可知,a=-2或a=1.
答案 B
1.基本不等式成立的条件是a,b都是正数.在解题时,如果a,b为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题.
2.在运用基本不等式的变形时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.
考法指导 利用基本不等式证明不等式应注意:
(1)创设运用基本不等式的条件,合理拆分项或配凑项是常用技巧,其中拆与凑的目的在于使不等号成立.
(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错.
(3)注意“1”的代换的妙用.
考法指导求最值时常见以下几种情形:
(1)若直接满足基本不等式条件,即满足求最值的三个前提条件“一正、二定、三相等”,则直接应用基本不等式.
(2)若不能直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1”的代换,对不等式进行分拆、组合、添加系数等方法使之能变成可用基本不等式的形式,创造使不等式中等号成立的条件.
(3)若可用基本不等式,但等号不成立,则一般利用函数单调性求解.
常数代换法求解最值的基本步骤为:
①根据已知条件或其变形确定定值(常数);
②把确定的定值(常数)变形为1;
③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;
④利用基本不等式求解最值.
考法指导应用基本不等式解决实际问题的基本步骤为:
(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
(2)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(3)还原为实际问题,写出答案.
注意当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内,就不能使用基本不等式求解,此时根据变量的取值范围利用对应函数的单调性求解.
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