第14讲枚举法二完整版.docx
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第14讲枚举法二完整版
第14讲枚举法二
兴趣篇
1.★老师把9颗糖分给阿呆和阿瓜,使得他俩每人都有糖,有多少种不同的分法?
答案8种
解答阿呆可以分到1、2、3、4、5、6、7或8颗糖,对应阿瓜分到8、7、6、5、4、3、2或1颗糖.
所以,有8种不同的分法.
2.★用1、2、3这三个数字各一次可以组成多少个三位数?
答案6个
解答可以组成123、132、213、231、312、321这6个三位数。
3.★有一些三位数的各位数字都不是o,且各位数字之和为6.这样的三位数共有多少个?
答案10个
解答三位数的首位不是O,那么至少为1.
①当首位是1时,十位与个位之和就是6-1=5,它们又都不是O,那么十位最小是1,最大是4.按照十位从小到大的顺序枚举,当十位上分别是l、2、3、4时,对应的个位是4、3、2、1.这样的三位数就是:
114、123、132、141;
②当首位是2时,十位与个位之和是6-2=4,同样的方法可知这样的三位数有213、222、231:
③当首位是3时,十位与个位之和是6-3=3,这样的三位数有312、321;
④当首位是4时,十位与个位之和是6-4=2,只能都是1,这样的三位数只有411.
由于各位数字都不是O,那么三位数的首位最大只能是4.
综上所述,得到这样的三位数一共有4+3+2+l=10(个).
4.★★汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙,他们一起去牙医诊所看病,医生发现他们一共有8颗蛀牙.他们三人的蛀牙数量有多少种情况?
21种
解答①当汤姆有1颗蛀牙时,杰瑞和德鲁比一共有8-1=7(颗)蛀牙.
此时它们的蛙牙数可能是如下的情况:
汤姆的蛀牙数
1
1
1
1
1
1
杰瑞的蛀牙数
1
2
3
4
5
6
德鲁比的蛀牙数
6
5
4
3
2
1
②当汤姆有2颗蛀牙时,杰瑞和德鲁比一共有8-2=6(颗)蛀牙.
此时它们的蛙牙数可能是如下的情况:
汤姆的蛀牙数
2
2
2
2
2
杰瑞的蛀牙数
1
2
3
4
5
德鲁比的蛀牙数
③类似地可以枚举出汤姆的蛀牙数分别是3颗、4颗、5颗、6颗的情况,如下所示:
汤姆的蛀牙数
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6
杰瑞的蛀牙数
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
德鲁比的蛀牙数
4
3
2
1
3
2
1
2
1
1
综上所述,一共有6+5+4+3+2+1=21(种)3情况.
5.★★老师让小明写出3个非零的自然数,且3个数的和是9,如果数相同、顺序不同算同一种写法,例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法.请问:
小明一共有多少种不同的写法?
答案7种
解答①当第一个数是1时,后两个数的和是9-1=8.
按照第二个数从小到大的顺序枚举:
(1,1,7),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4).
②当第一个数是2时,后两个数的和是9-2=7,且第二个数不小于第一个数.
按照第二个数从小到大的顺序枚举:
(2,2,5),(2,3,4);
③当第一个数是3时,后两个数的和是9-3=6,这三个数又要按照从小到大的顺序排列,因此只能;
是(3,3,3).
综合以上的分析,可知小明一共有4+2+1=7(种)写法:
(1,1,7),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(2,2,5),(2,3,4),(3,3,3).
6.★★生物老师让大家观察蚂蚁的习性,/jV晚在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁,这12只蚂蚁恰好凑成了3堆,每堆至少有2只,请问:
这3堆蚂蚁可能各有几只?
答案
共7种情况:
(2,2,8),(2,3,7),(2,4,6),(2,5,5),(3,3,6),(3,4,5),(4,4,4)
解答不妨设第二堆的蚂蚁数量不少于第一堆的,第三堆的蚂蚁数量不少于第二堆的.
1第一堆蚂蚁有2只时,后两堆蚂蚁一共有12-2=10(只).
则后两堆可能分别有:
2只和8只,3只和7只,4只和6只,5只和5只.
2第一堆蚂蚁有3只时,后两堆蚂蚁一共有12-3=9(只).
这三堆蚂蚁又要满足从小到大的顺序,于是后两堆可能是3只和6只,4只和5只.
3第一堆蚂蚁有4只时,这三堆蚂蚁只能都是4只.
综合以上3种情况,这3堆蚂蚁可能有以下7种情况:
(2,2,8),(2,3,7),(2,4,6),(2,5,5),(3,3,6),(3,4,5),(4,4,4)
7.★★一个三位数,每一位上的数字都是1、2、3中的某一个,并且相邻的两个数字不相同,一共有多少个满足条件的三位数?
答案12个
解答如下图所示,画一个树形图采表示这个三位数的各位数字.
所以,一共有12个满足条件的三位数.
8.★★如图14-1,一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发,沿着这个正四面体的棱依次不重复地走遍4个顶点再回到顶点A.请问:
这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法?
答案6种
解答要依次走遍4个顶点再回到出发点,简单地尝试就会发现:
A→B→C→D→A就是一种可行的走法,如图1所示.改变一下蚂蚁到达的第三个和第四个点的顺序,发现A→B→D→C→A也是一种可行的走法,如图2所示.
由于蚂蚁从顶点A出发又回到顶点A,因此蚂蚁到达的第二个点、第三个点和第四个点一定要从B、C、D中选择,且互不相同.
按照字典排列法来枚举,则可得到如下6种情况:
A→B→C→D→A;A→C→B→D→A;
A→D→B→C→A;A→B→D→C→A;
A→C→D→B→A;A→D→C→B→A.
9.★★在图14-2中,一共能找出多少个长方形(包括正方形)?
答案29个
解答1×1的长方形有9个;
2×1的长方形有8个,其中横着4个,竖着4个;
3×1的长方形有6个,其中横着3个,竖着3个;
4×1的长方形有4个,其中横着2个,竖着2个;
5×1的长方形有2个,其中横着1个,竖着1个.
因此长方形总共有9+8+6+4+2=29(个).
10.★★如果只能用1元、2元、5元的纸币付款,那么要买价格是13元的东西,一共有多种不同的付款办法?
(不考虑找钱的情况)
答案14种
解答在1元、2元、5元的纸币中,5元的面值最大.而要买13元的东西.最多用2张5元的纸币.
①如果没有5元纸币,要用1元和2元的凑够13元,则2元纸币最多有6张,
当2元纸币分别有o~6张时,对应的1元纸币分别有13张、11张、9张、7张、5张、3张、1张,所以可得以下7种凑法:
5元纸币的张数
0
0
0
0
0
0
0
2元纸币的张数
0
1
2
3
4
5
6
1元纸币的张数
13
11
9
7
5
3
1
②如果5元纸币只有1张,那么余下的13-5=8(元),要由1元和2元的纸币来组成,此时2元纸币最多有4张,当2元纸币分别有O~4张时,对应的1元纸币分别有8张、6张、4张、2张、O张.所以可得以下5种凑法:
5元纸币的张数
1
1
1
1
1
2元纸币的张数
0
1
2
3
4
1元纸币的张数
8
6
4
2
0
③如果5元纸币有2张,那么余下的13-5-5=3(元),要由1元和2元的纸币来组成,就只有2种凑法:
5元纸币的张数
2
2
2元纸币的张数
0
1
1元纸币的张数
3
1
综合以上3种情况,可知一共有7+5+2=14(种)不同的付款方法.
拓展篇
1.★小高、墨莫、卡莉娅三个人去游乐园玩,三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物,这三个人找到的宝物数量可能有多少种情况?
答案21种
解答这三个人分别找到的宝物数量,有如下可能的情况:
小高
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
墨莫
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
0
1
0
卡莉娅
5
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
3
2
1
0
2
1
0
1
0
0
所以一共有21神情况.
2.★★小高、墨莫和卡莉娅三个人一起吃完了一盘薯条,这盘薯条总共有20根,并且每个人吃的薯条都比5根多.请问:
每个人吃的薯条数量有多少种情况?
答案6种
解答从条件来看,小高吃了至少6根薯条;
又墨莫和卡莉娅也都至少吃了6根,总共就是12根,则最多还有20-12=8(根)薯条给小高吃.
所以小高吃的薯条根数是在6~8根之间,分情况进行讨论:
小高
6
6
6
7
7
8
墨莫
6
7
8
6
7
6
卡莉娅
8
7
6
7
6
6
所以一共有6种情况.
3.★★老师要求每个同学写出3个自然数,并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出的3个自然数相同,只是顺序不一样,就算是同一种写法.试问:
同学们最多能给出多少种不同的写法?
答案10种
解答不妨设第一个数最小,第三个数最大,可以列出下面的情况:
第一个数
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
第二个数
0
1
2
3
4
1
2
3
2
3
第三个数
8
7
6
5
4
6
5
4
4
3
而当第一个数大于3时,3个数的总和至少是3+3+3=9>8,不符合题恿了.
所以最多能给出10种不同的写法.
4.王老师准备去打羽毛球,他拿了3个一模一样的球桶,每个球桶最多能装8个羽毛球.他数了一下,发现3个球桶里面一共有16个羽毛球.请问:
3个球桶里面可能分别有几个羽毛球?
答案l0种情况,分别是:
(0,8,8),(1,7,8),(2,6,8),(2,7,7),(3,5,8),(3,6,7),(4,4,8),(4,5,7),(4,6,6),(5,5,6)
解答因这三个桶是一模一样的,也就是说,无法分出哪个是第一个桶,哪个是第二个桶,那么,桶里有4、5、7个球和4、7、5个球就算是同一种情形.为了避免类似的重复,可以假设每个桶里的球数是依次变大的,第一个桶里最少,第三个桶里最多.
则可在下表中枚举出所有可能的情况:
第一个桶
0
1
2
2
3
3
4
4
4
5
第二个桶
8
7
6
7
5
6
4
5
6
5
第三个桶
8
8
8
7
8
7
8
7
6
6
当第一个桶里的球数大于6个时,则至少有6×3=18(个)球,与题意不符.
5.商店里有12种不同的签字笔,价格分别是1,2,3,4,…,11,12元.小高准备买3枝不同价格的签字笔,并且希望恰好花掉15元.请问:
小高一共有多少种不同的买法?
答案12种
解答为了方便枚举,假设三枝笔的价格一枝比一枝高.
1一枝笔卖1元时,有以下这5种买法:
第一枝
1
1
1
1
1
第二枝
2
3
4
5
6
第三枝
12
11
10
9
8
2第一枝笔卖2、3、4元时,分别可能有4、2、1种不同的买法:
第一枝
2
2
2
2
3
3
4
第二枝
3
4
5
6
4
5
5
第三枝
10
9
8
7
8
7
6
如果最便宜的那枝笔高于4元,那么至少需要花费5+6+7=18(元),多于15元,所以不可能.
那么一共有12种不同的买法.
6.王老师提着一个带密码锁的公文包,但是他忘记了密码,只记得密码是一个三位数,这个三位数的个位数字比十位数字大,十位数字比百位数字大,并且没有比5大的数字.试问:
王老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包?
答案l0次
解答个位比十位大,十位比百位大,那么就是百位数字最小,而且百位不可能为0.
则把百位作为树根来画树形图,要满足每个后一位上的数要比它前一位上面的数大.
按照从左到右的顺序就可以依次读出每个可能的答案.
比如在第一个树形图中,从上到下分别是:
123、124、125;134、135;145.
接下来的两个树形图中的数分别是:
234、235;245;345.
所以最多只需试10次就能打开公文包.
7.常吴与古力两人进行围棋赛,谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利.如果最后常昊获胜了,那么比赛的进程有多少种可能?
答案10种
解答①如果第一场是常昊胜了,就会有:
3果第一场是古力胜了,就会有:
所以总共有10种可能.8.5块六边形的地毯拼成了图14-3中的形状,每块地毯上都
有一个编号.现在墨莫站在1号地毯上,他想要走到5号地毯上,
如果墨莫每次都只能走到和他相邻的地毯上(两个六边形如果有公
共边就称为相邻),并且只能向右边走,例如1—2--3-5就是一种可
能的走法.请问:
墨莫一共有多少种不同的走法?
答案5种
解答使用典型的树形图枚举法
所以墨莫一共有5种不同的走法.
9.从图14-4的左下角的A点走到右上角的B点,如果要求
只能向上或者向右走,一共有多少种不同的走法?
如果要求只要不走
重复的路线就可以,那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法?
答案:
5种;9种
解答这令图形主要由3个方块构成,则可把路用一条线段来表示,如左下图:
不难看出从A到B至少要走4段路(如右上图),这4段路都是向右或者向上的,而如果不走4段路,那么就肯定要走回头路,也就是肯定有向左或者向下走的路,那么为了补回反走的那段路,就肯定还要多走一段,一共就会多走2段路,所以还有可能是走6段或8段到达B点.
1果只走4段路,那么每一段都必须是向右或者向上的,不然到不了B点,
可以画张树形图,每一条里都有2个右、2个上:
所以一共有5种不同的走法.
②如果走了6段路,那么就是说可以是多走了向左和向右的路程各一段,或者走了向下和同上的路程各一段:
③如果走了8段路,那就应该是既多走了向左和向右的路程各一段,同时又多走了向下和向上的路程各一段:
所以一共有5+2+2—9(种)不同的走法.
10.妈妈买来7个鸡蛋,每天至少吃2个,吃完为止.如果天数
不限,可能的吃法一共有多少种?
答案8种
解答7个鸡蛋,每天至少吃2个,所以肯定在1~3天的时间范围里吃完.
①如果1天吃完,那只有1种可能:
第一天吃了全部7个鸡蛋;
②如果2天吃完,那么第一天可以吃2个、3个、4个或5个鸡蛋,第二天把剩下的吃完,也就是分别吃5、4、3、2个,一共有4种情况;
③如果3天吃完,那么每天至少吃2个,3天至少吃6个,还多余1个,可以放在3天中的随便哪一天吃,所以一共有3种情况:
2、2、3;2、3、2;3、2、2.
全部可能的吃法一共有1+4+3=8(种).
11.有一类小于1000的自然数,每个数都由若干个1和若干个2组成,并且在每个数中,1的个数比2的个数多,这样的数一共有多少个?
答案3个
解答由题意可知,这些数只能由2个1和1个2组成,只能是211、121、112这3个.
12.老师拿来三块木板,上面分别写着数字1-2、3.墨莫可以用这些木板拼出多少个不同的数?
解答:
15个
解答因题目并没有要求说3块木板都要使用,所以可以用1块、2块或3块,那么拼出的数就可能是1位数、2位数或3位数.
①拼出的1位数有:
1、2、3,一共3个;
2出的2位数有:
12、13、21、23,31、32,一共6个;
3出的3位数有:
123、132、213、231、312、321,一共6个;
所以总共可以拼出3+6+6=15(个)不同的数.
13.午餐的时候,食堂给同学们准备了苹果、香蕉和橘子这3种水果,每种都有很多个,小高想要挑3个水果吃,请问:
一共有多少种选择?
解答10种
解答要从苹果、香蕉、橘子这3种水果里一共挑出3个水果,那么这3个中可能有1种、2种或3种水果.
①当拿出的水果都是同一种时:
可以是3个苹果或3个香蕉或3个橘子,总共有3种挑法,
②当拿出的3个水果里有2种时.也就是一种有2个,一种有1个:
苹果有2个,还有1个可以是香蕉或橘子;
香蕉有2个,还有1个可以是苹果或橘子;
橘子有2个,还有1个可以是香蕉或苹果,
总共有6种挑法.
③拿出的水果3种都有时,那只有苹果、香蕉、橘子各拿1个这1种挑法了.
所以一共有3+6+1=10(种)选择.
14.
(1)如图14-5(a),方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁,它沿着方格纸上的横线和竖线爬行,方格纸上每一小段的长度都是1厘米.试问:
小蚂蚁爬了2厘米之后,可能在哪些位置?
把可能的位置在图上标出来.(不包括出发点)
┏━┳━┳━┳━┓
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┣━╋━╋━╋━┫
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┣━╋━╋━╋━┫
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┣━╋━╋━╋━┫
┃┃┃┃┃
┗━┻━┻━┻━┛
(a)
┏━┳━┳━┳━┳━┳━┓
┃┃┃┃┃┃┃
┣━╋━╋━╋━╋━╋━┫
┃┃┃┃┃┃┃
┣━╋━╋━╋━╋━╋━┫
┃┃┃┃┃┃┃
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┃┃┃┃┃┃┃
┣━╋━╋━╋━╋━╋━┫
┃┃┃┃┃┃┃
┣━╋━╋━╋━╋━╋━┫
┃┃┃┃┃┃┃
┗━┻━┻━┻━┻━┻━┛
图14-5
(b)
(2)如图14-5(b),方格纸上每一小段的长度也是1厘米,黑点的位置上有一只小蚂蚁,如果它爬了3厘米之后,恰好在黑线上.请问:
这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能?
答案:
(l)有8种可能的位置,如图;
(2)20种
解答
(1)蚂蚁爬了2厘米,也就是2小段,那么自然地,距离黑点2段的点都是可能的位置,而且要达到距离黑点2格的地方,那就需要不走重复的线路.如果走的2段有重复的线路,那么也就是说这两段是一来一回,肯定就回到了出发点.所以不包括出发点,一共有8种可能的位置.
(2)小蚂蚁昀第一步可以往上、下、左、右4个方向走,
可以看到黑点、黑线都在整个图形的中间,那么往上或往下最后可能的情况是一样的,左右也是,所以需要考虑的只是第一步往上和往左的情况就可以了.
①第一步往上,列出相应的树形图:
②若第一步往左,列出相应的树形图:
开始时第一步往上或往左走的情况一共有10种,那么往下和往右的情况也一共有10种.
所以总共就有10×2=20(种)走法.
超越篇
1.萱萱买了一些大福娃和小福娃,一共不到10个,且两种福娃的个数不一样多,请问:
两种福娃的个数可能有多少种不同的情况?
答案:
32种
解答题目要求买了两种福娃,一共不到10个,那么大福娃最少1个,最多8个(如果已经买了9个大福娃的话,就没法再买小福娃了),则可以按照大福娃的个数进行枚举.
从上面图表可以直接数出,一共有32种不同的可能.
2.三条边的边长均为整数,且最长边的边长是8厘米,这样的三角形共有多少种?
答案20种
解答本题其实就是要寻找两个不超过8的边长,满足他们的和大于8.按最短的边长分类进行枚举.
从上面图表可以直接数出,一共有20种不同的三角形.
3有19本书,分成5份.如果每份至少有一本书,且每份的本数都不相同,一共有多少种分法?
答案5种
解答因要求每份至少有一本书,每份本数还都不相同,那么至少已经需要有1+2+3+4+5=15(本)书.
而如果最少的一份有2本,那么至少需要2+3+4+5+6=20(本)书,已经超出题目给出的19本了,所以,最少的一份肯定只有1本.
同时,第4份本来是4本,第5份本来是5本,如果在分的时候,给第4份2本,第5份l本的话,那么第4份和第5份都变成6本了,不满足每份都不柜同的要求.
因此,为了保持每份不同,还必须要求后面每份分到的不能比前面的少.
所以,可能的分法有:
4=0+0+0+4
=0+0+1+3
=0+0+2+2
=0+1+1+2
=1+1+1+1.
分别对应着的情况是:
19=1+2+3+4+9
=1+2+3+5+8
=1+2+3+6+7
=1+2+4+5+7
=1+3+4+5+6.
因此一共有5种不同的分法.
4在NBA总决赛中,由洛杉矶湖人队对阵底特律活塞队,比赛采用7场4胜制,每胜一场会获得1分的积分.最终湖人队获得了胜利,双方的积分是4:
2,并且在整个比赛过程中,湖人队的积分从来没有落后过.问:
比赛过程中的胜负情况共有多少种可能?
答案5种
解答由题意知,湖人队总是不会落后的,所以第一场必然是湖人队取胜.
由于湖人队以4:
2取得了胜利,所以,最后一共进行了6场比赛,最后一场也必须是湖人队取胜.
从图中可以直接看出,一共有5种可能的胜负情况.
5甲、乙、丙三个人传球,第一次传球是由甲开始,将球传给乙或丙……经过4次传球后,球正好回到甲手中,那么一共有多少种不同的传球方式?
答案6种
解答甲开始发球,肯定是传给乙或丙.
假设乙拿到球,他的下一传球必须给甲或丙,所以,传球的过程如下图所示:
从图上可以看出,一共有6种不同的传球方式.
6如图14-6,现在要从图中的A点走到B点,如果每个点最多只能经过一次,那么一共有多少种不同的走法?
答案16种
解答最终要到达B点,那么在这之前,肯定必须到达F点和G点中的某一个.
注意到整个图形是对称的,所以上面两种情况的路线数目肯定是相同的.
若到达F点,那么在这之前,肯定要到达C点和E点中的某一个.
又从A点到C点(不经过F点)的走法有:
AC,AEC,ADEC,ADGEC;
从A点到E点(不经过F点)的走法有:
ACE,AE,ADE,ADGE.
因此,从A点到F点满足题意的不同的走法有8种,所以从A点经F点一步走到B点的走法有8种.
同理,得从A点经G点一步走到B点的走法有8种,所以一共有16种不同的走法.
7
(1)刚开学时,甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图14-7所示,一段时间后,每人都想要换到与原来座位不相邻的位置上.那么有多少种换座位的方法?
(2)甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图14-8所示,如果每人都要换座位,而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上(没有公共边).那么有多少种换座位的方法?
答案:
(1)4种;
(2)8种
解答
(1)用1、2、3、4、5来代表位置.用树形图枚举法如下:
所以有4种换座位的方法.
(2)考虑这6个位置,发现乙和戊的位置只
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