届北京西城14中学高三上学期期中考试数学文试题解析版.docx

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届北京西城14中学高三上学期期中考试数学文试题解析版

2018届北京西城14中学高三上学期期中考试

数学（文）试题（解析版）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知集合或，，则等于（）．

A．或B．C．D．或

【答案】B

【解析】．

故选．

2．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）．

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】不是偶函数

在内单调递增，

项符合要求．

故选．

3．已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】项错，如取，，，

项错，，

，正负无法判断，

故与大小无法判断，

项错，，

无法判断正负，

项对，恒为正．

故选．

4．已知函数，（其中，）的部分图象，如图所示，那么的解析式为（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】周期，

∴，，

∵，

，

∴．

故选．

5．一个四棱锥的三视图如图所示，这个四棱锥的体积为（）．

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】四棱锥底面积，

高为，

体积．

故选．

6．实数，满足，则的取值范围是（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】如图阴影部分，

设，

设阴影部分交点为，，，

设，，，

在处，取得最大值，，

在处，取得最小值，，

∴．

故选．

7．已知直线，和平面，且．则“”是“”的（）．

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由，若，

则直线可能在平面内，可能，

但当，时，可得，

故“”是“”的必要不充分条件．

故选．

8．如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，、是单位圆上的两点，是坐标原点，，，，，则的范围为（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设，，

，

，

∵，

∴，

，

∴．

故选．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．复数，则复数的模等于__________．

【答案】

【解析】，

．

10．直线的倾斜角是__________．

【答案】

【解析】直线为，

倾斜角，

．

11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________．

【答案】

【解析】时，，继续，

时，，继续，

时，，停止，

输出．

12．函数的定义域是__________；最小值是__________．

【答案】

【解析】满足①，②，

解出．

13．直线与直线平行，则的值为__________．

【答案】

【解析】两直线平行，则有，

解出或，

当时，两直线为和，

当时，两直线为和重合（舍），

故舍去则．

14．设函数其中．

①若，则__________．

②若函数有两个零点，则的取值范围是__________．

【答案】①②

【解析】①当时，，

，

∴．

②有个解，

∵函数与在定义域上是单调递增函数且，

．

由题可得．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本小题共分）

已知直线经过点．

（I）点到直线的距离为，求直线的方程．

（II）直线在坐标轴上截距相等，求直线的方程．

【答案】（I）或（II）或

【解析】（I）当直线斜率不存在时，即符合要求，

当直线斜率存在时，设直线为，

整理得，

到直线的距离：

，

解出，

整理得．

（II）由题知，直线斜率一定存在且，

直线，

当时，，

当时，，

∴，

解出或，

即直线为或．

16．（本小题共分）

已知函数．

（I）求的最小正周期．

（II）求在上的最大值和最小值．

【答案】（I）最小正周期为（II）最大值为，最小值为

【解析】（I），

，

，

，

∴．

（II）∵，

，

，

，

即在上，

最小值为，最大值为．

17．（本小题满分分）

已知是等差数列，是正项的等比数列，且，，．

（I）求、的通项公式．

（II）求数列中满足的各项的和．

【答案】（I），（II）

【解析】（I）∵在等差数列中，

，

，

，

又∵在等比数列中，

，

∴．

（II）∵即，

解出，

即，，，，

即为求，

，

，

∴，

．

18．（本小题满分分）

在中，角，，的对边分别为，，，且，．

（I）求角的大小．

（II）若，，求和的面积．

【答案】（I）（II），

【解析】（I），

∴，

∵，

∴，

∴．

（II）∵，

，，

解得或（舍），

∴，

，

．

19．（本小题共分）

如图，等腰梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置（如图），使．

（I）求证：

平面．

（II）求三棱锥的体积．

（III）线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．

【答案】（I）见解析（II）（III）存在，为中点

【解析】（I）∵，故，

∵在等腰梯形中，，

∴在四棱锥中，，

又∵，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵等腰梯形中，

，，

且，

∴，，，

∴，

∴，

∵，

∴平面．

（II），

∵平面，

∴，

．

（III）存在点，为中点，

使得平面，

证明：

取，中点为，，

连接，，，

∵，是，中点，

∴，

∵，

∴，

∴是平行四边形，

∴，

∵面，

面，

∴平面．

20．（本小题满分分）

已知函数．

（I）若，求曲线在点处的切线方程．

（II）求函数的最大值，并求使成立的取值范围．

【答案】（I）（II），

【解析】（I）∵，，

∴，

，，

∴曲线在处，

切线方程为．

（II）∵，

当时，，

当时，，

∴在上单调递增，

在上单调递减，

∴，

，

，

设，

，

，

∴在上单调递减，

∵，

∴当时，．

∴．