3行测复习资料数学运算18页可直接打印Word文档下载推荐.docx
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D、154
解析:
D等差数列的求和公式为等差数列的和=(首项+末项)/2*项数。
经过观察,可以发现是等差数列的和,这个等差数列的公差是2,在此题中每一项比前一项多2,从首项4到末项24共增加了24-4=20,也就是10个2,因此数列共有10+1=11项,由此我们抽象出等差数列项数的计算公式:
项数=(末项-首项)/公差+1,所以4+6+8+10+…+20+22+24=(4+24)/2X11=154
例题3计算从1至100内(包括100)能被5整除的所有数的和。
A、1050
B、1100
C、1150
D、1200
1至100内能被5整除的数是5,10,15,20…,85,90,95,100,它们的和是5+10+15+…+85+90+95+100=5X(1+2+3+…+18+19+20)=5X(1+20)X20/2=1050
所以A项为正确选项。
2)作商比较法:
A、B为任意两个正数时:
A/B>1→A>B
3)中间值法(选取参照数):
A>B,B>C→A>C(B为选取的中间值)
4)通分比较法:
分母相同,分子越大,数越大;
分子相同,分母越大,数越小。
5)利用关系:
1/n+(n-1)/n=1;
n越大,则1/n越小,(n-1)/n越大;
n越小,则1/n越大,(n-1)/n越小;
如:
1/3>
1/34>
1/2008,2/3<
33/34<
2007/2008
下列排序正确的是()
A、579/580>
42/43>
1427/1428
B、1427/1428>
579/580>
42/43
C、1427/1428>
579/580
D、579/580>
1427/1428>
42/43
B
由于579/580=1-1/580,42/43=1-1/43,1427/1428=1-1/1428,所以,比较三数579/580,42/43,1427/1428的大小,就是比较1/580,1/43,1/1428的大小。
显然,1/43大于1/580,1/580大于1/1428因而,题中三个分数按照从大到小的顺序可以排列为:
42/43。
=甲乙速度和*相遇时间
相遇问题的核心是速度和问题
(2)追及问题
追及路程=甲走的路程—乙走的路程
=甲的速度*追及时间-乙的速度*追及时间
=甲乙速度差*追及时间
追及问题的核心是速度差问题
(3)流水问题
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速—水速
因此:
船速=(顺水速度+逆水速度)/2
水速=(顺水速度—逆水速度)/2
一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时。
已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米。
则甲、丙两港间的距离为()
A、44千米
B、48千米
C、30千米
D、36千米
顺流速度-逆流速度=2×
水流速度,又顺流速度=2×
逆流速度,可知顺流速度=4×
水流速度=8千米/时,逆流速度=2×
水流速度=4千米/时。
设甲、丙两港间距离为X千米,可列方程X÷
8+(X-18)÷
4=12解得X=44。
甲、乙两人联系跑步,若让乙先跑12米,则甲经6秒追上乙,若乙比甲先跑2秒,则甲要5秒追上乙,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距多少米?
A、15
B、20
C、25
D、30
C。
甲乙的速度差为12/6=2米/秒,则乙的速度为2×
5/2=5米/秒,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距5×
9-2×
10=25米。
甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米。
问他走后一半路程用了()分钟。
A、43
B、48.5
C、42.5
D、44
全程的平均速度是每分钟(80+70)/2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟
例题4:
一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟。
有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。
他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。
到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了()分钟。
A、41
B、40
C、42
D、43
骑车人一共看到12辆车,他出发时看到的是15分钟前发的车,此时第4辆车正从甲发出。
骑车中,甲站发出第4到第12辆车,共9辆,有8个5分钟的间隔,时间是5X8=40(分钟)。
3)比例问题----求比值和比例分配
按比例关系确定份数,解题较快;
搞清“谁比谁”。
预资问题可用比例问题方法解决。
一体育俱乐部赠给其成员的票,如按人均算,每个成员可得92张,实际上每个女成员得84张,每个男成员得96张,问该俱乐部男女成员间的比例是多少?
()
A、1:
1B、1:
2C、1:
3D、2:
1
设男女成员的人数分别为x,y,那么96x+84y=92(x+y),解得x:
y=2:
1,得到答案:
D
4)利润问题
总利润=总收益-总成本=销售价*销售量-成本价*销售量
利润=销售价-成本
利润率=利润/成本=(销售价-成本)/成本=销售价/成本-1
销售价=成本*(1+利润率)
成本=销售价/(1+利润率)
某商品按20%的利润定价,又按八折出售,结果亏损4元钱。
这件商品的成本是多少元?
A、80
B、100
C、120
D、150
现在的价格为(1+20%)×
80%=96%,故成本为4÷
(1-96%)=100元。
某商品按定价出售,每个可以获得45元的利润,现在按定价的八五折出售8个,按定价每个减价35元出售12个,所能获得的利润一样。
这种商品每个定价多少元?
()
A、100
B、120
C、180
D、200
每个减价35元出售可获得利润(45-35)×
12=120元,则如按八五折出售的话,每件商品可获得利润120÷
8=15元,少获得45-15=30元,故每个定价为30÷
(1-85%)=200元。
一种商品,甲店进货价比乙店便宜12%,两店同样按20%的利润定价,这样1件商品乙店比甲店多收入24元,甲店的定价是多少元?
A、1000
B、1024
C、1056
D、1200
设乙店进货价为x元,可列方程20%x-20%×
(1-12%)x=24,解得x=1000,故甲店定价为1000×
(1-12%)×
(1+20%)=1056元。
某商店进了一批笔记本,按30%的利润定价。
当售出这批笔记本的80%后,为了尽早销完,商店把这批笔记本按定价的一半出售。
问销完后商店实际获得的利润百分数是()。
A、12%
B、18%
C、20%
D、17%
设这批笔记本的成本是“1”。
因此定价是1×
(1+30%)=1.3。
其中:
80%的卖价是1.3×
80%,20%的卖价是1.3÷
2×
20%。
因此全部卖价是:
1.3×
80%+1.3÷
2×
20%=1.17。
实际获得利润的百分数是:
1.17-1=0.17=17%。
5)植树问题----路线是否封闭及端点是否植树
(1)不封闭路线
(a)两端植树
颗数=段数+1=全长/株距+1
(b)一端植树,则颗数与段数相等
颗数=段数=全长/株距
(c)两端不植树,则颗数比段数少1。
颗数=段数-1=全长/株距-1
(2)封闭路线
在圆形花坛周围种树,已知花坛周长50米,若每隔5米种一棵树,一共可种多少?
()
A、9B、10C、11D、12
按照上面的
(2),选B
在长450米的公路两旁,每隔15米种柳树一棵,在每相邻两棵柳树之间又种槐树一棵。
则共种槐树多少棵?
A、62B、60C、58D、30
按照上面的
(1),两端植树,总共种柳树31棵,则种槐树31-1=30棵;
但是题目里面是“公路两旁”,所以答案应该是60棵
6)方阵问题
N阶方阵,去掉一行(或一列),少N个人;
去掉一行一列,少2N-1个人;
去掉两行一列(或两列一行),少3N-2个人;
去掉两行两列(或周围一圈),少4N-4个人。
例1学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人?
A、256人B、250人C、225人D、196人(2002年A类真题)
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷
4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数:
60÷
4+1=16(人)
整个方阵共有学生人数:
16×
16=256(人)。
所以,正确答案为A。
7)年龄问题---年龄差不变,但倍数关系发生变化。
方法1:
利用倍数差和年龄差解题
小年龄=年龄差/倍数差
大年龄=小年龄+年龄差
若上述年龄为几年前或几年后的,则现在的实际年龄为上述年龄加几年或减几年即可。
方法2:
一元一次方程解法
方法3:
结果代入法,此乃最优方法
今年哥弟两人的岁数加起来是55岁,曾经有一年,哥哥的岁数是今年弟弟的岁数,那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍,问哥哥今年年龄是多大?
A、33
B、22
C、11
D、44
A
设今年哥哥X岁,则今年弟弟是55-X岁,过去某年哥哥岁数是55-X岁,那是在X-(55-X)即2X-55年前,当时弟弟岁数是(55-X)-(2X-55)即110-3X。
列方程为55-X=2(110-3X)
55-X=220-6X
6X-X=220-55
5X=165
X=33
爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。
当爸爸的年龄是哥哥的3倍时,妹妹是9岁;
当哥哥的年龄是妹妹的2倍时,爸爸34岁。
现在爸爸的年龄是多少岁?
A、34
B、39
C、40
D、42
解法一:
用代入法逐项代入验证。
解法二,利用“年龄差”是不变的,列方程求解。
设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为:
x、y和z。
那么可得下列三元一次方程:
x+y+z=64;
x-(z-9)=3[y-(z-9)];
y-(x-34)=2[z-(x-34)]。
可求得x=40。
1998年,甲的年龄是乙的年龄的4倍。
2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍。
问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?
A、34岁,12岁
B、32岁,8岁
C、36岁,12岁
D、34岁,10岁
抓住年龄问题的关键即年龄差,1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍,则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄,2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍,此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄,根据年龄差不变可得3×
1998年乙的年龄=2×
2002年乙的年龄;
(1998年乙的年龄+4);
1998年乙的年龄=8岁;
则2000年乙的年龄为10岁。
10年前田壮的年龄是她女儿的7倍,15年后田壮的年龄是她女儿的2倍,问女儿现在的年龄是多少岁?
A、45
B、15
C、30
D、10
15年后田靶的年龄是女儿的2倍,即两人年龄的差等于女儿当时的年龄,所以,两人年龄的差等于女儿10年前的年龄加25。
10年前田靶年龄是女儿的7倍,所以两人年龄的差等于女儿当时年龄的6(=7-1)倍。
由于年龄的差是不变的,所以女儿10年前的年龄的5(=6-1)倍等于25,女儿当时的年龄为:
25/5=5(岁)。
8)日历问题---同余问题
同余问题,余数相同则性质相同,类似高次方的尾数确定。
一周七天,周期为七。
除以七看余数。
9)鸡兔同笼问题
设头数为a,足数是b。
《孙子算经》解法:
则b/2-a是兔数,a-(b/2-a)是鸡数。
《丁巨算法》解法:
鸡数=(4a-b)/2;
兔数=(b-2a)/2。
10)平均问题----搞清总量与总份数
平均速度=总路程/总时间
平均数=所有数之和/数的个数
在前面3场击球游戏中,某人的得分分别为130、143、144。
为使4场游戏得分的平均数为145,第四场他应得多少分?
4场游戏得分平均数为145,则总分为145×
4=580,故第四场应的580-130-143-144=163分。
11)时钟问题----实质为路程问题中的追及问题,为新考点。
时针速度=5/60=1/12(1小时走5小格或1分钟走1/12小格)
分针速度=60/60=1(1小时走60小格,1分钟走1小格)
速度差=1-1/12=11/12(每分钟差11/12格)
时针的速度是分针速度的1/12,所以分针每分钟比时针多走11/12格。
或者 时针每小时走30度,分针每分钟走6度
分针走一分钟(转6度)时,时针走0.5度,分针与时针的速度差为5.5度。
从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有:
A、1次B、2次C、3次D、4次
时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者270度,理论上讲应为2次,还要验证:
根据角度差/速度差=分钟数,可得90/5.5=16又4/11<60,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;
同理,270/5.5=49又1/11<60,表示经过49又1/11分钟,时针与分针第二次垂直。
经验证,选B可以。
12)盈亏问题——把一定数量(未知)的物品平均分成一定份数(未知),根据每次分的盈(或亏)数量及每份数量,确定物品的总数量和参与分配的人数。
方法一:
两次分配的结果差÷
两次分配数差(每份数量差)=人数
则物品总数=每份数量×
人数+盈(或-亏)
方法二:
列方程法
(1)若设物品数为x,则列方程
第一种分法的人数=第一种分法的人数
(2)若设人数为y,则列方程
第一种分法物品总数=第一种分法物品总数
方法三:
利用被选答案直接快速进行试验和排除。
方法四:
整除试验法。
备选答案减去盈数(加上亏数)应被相应的每份数量数整除。
13)牛顿问题(牛吃草问题)----消长问题,既要消耗,又在生长,但消耗大于生长,其差为消耗原有草量,可维持几天。
实质为追及问题。
(1)求出每天长草量:
不同牛头数与对应天数积的差÷
天数差
(2)原有草量:
(每天吃的草量-每天生长的草量)×
可吃天数
(3)每天实际消耗原有草量(抵消生长量外所吃):
每天吃的草量-每天生长的草量
(4)可吃天数:
原有草量÷
每天实际消耗原有草量
14)和差倍问题----已知两数的和(或差)与他们的倍数关系,求两数的大小。
(1)和差问题(和+差)÷
2=较大数
(和-差)÷
2=较小数
较大数=较小数+差
(2)差倍问题两数差÷
(倍数-1)=小数
小数×
倍数=大数或小数+差=大数
(3)和倍问题和÷
(倍数+1)=小数
小数×
倍数=大数或和-小数=大数
15)数列问题----掌握等差数列、等比数列的通项公式、求和公式等。
等差数列通项公式:
为公差
等差数列求和公式:
等比数列通项公式:
等比数列求和公式:
无穷等比数列求和公式:
16)几何问题
(1)面积问题----解决面积问题的核心是“割、补”思维。
图形多为不规则图形,不能直接计算,所以看到一个关于求解面积的问题,不要立刻套用公式去求解,否则会陷入误区。
对于此类问题的通常解法是利用割、补或做辅助线、平移的方法,将图形分割或者补全为很容易求得面积的规则图形,从而快速求的面积。
因此掌握一些规则图形的面积计算公式是必要的。
(2)体积问题----注意正方体边长变化后体积的变化,将正方体分割为若干个小正方体后表面积的变化。
注意“增加了几倍”和“增加到几倍”的区别。
(3)周长
17)排列组合问题----搞清乘法原理、加法原理,会计算排列数和组合数。
乘法原理做一件事,完成它需要分成
个步骤,做第1步有
种不同的方法,做第二步有
种不同的方法,……,做第
步有
种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法。
加法原理做一件事情,完成它有
类办法,在第1类办法中有
种不同的方法,在第二类办法中有
种不同的方法,……,在第
类办法中有
种不同的方法,那么完成这件事情共有
从1985到4891的整数中,十位数与个位数相同的数有多少个?
满足“十位数与个位数相同”的数,其后两位数形式有10种:
00、11、22、……99。
设整数如下:
千位
百位
十位
个位
为使问题简单,假设所求整数在2000—4999之间,千位可取2、3、4中的任何一个,有3种取法;
百位可取0、1、2……9中的任何一个,有10种取法;
十位与个位可取00、11、22、……99中的任何一个,有10种取法。
根据乘法原理,满足条件的数有
10×
10=300(个)
再加上1985到2000的2个(1988、1999),减去4891到4999的11个(4899、4900、4911……4999),可得满足题目要求的整数有291个。
18)浓度问题(溶液问题)---稀释问题、不同浓度溶液混合问题等。
溶液=溶质+溶剂
浓度=溶质/溶液
浓度为70%的酒精溶液100克与浓度为20%的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少?
A、30%
B、32%
C、40%
D、45%
100克70%的酒精溶液中含酒精100×
70%=70克;
400克20%的酒精溶液中含酒精400×
20%=80克;
混合后的酒精溶液中含酒精的量=70+80=150克;
混合后的酒精溶液的总重量=100+400=500克;
混合后的酒精溶液的浓度=150/500×
100%=30%,选择A。
从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后,再向瓶中倒入10克清水,这样算一次操作,照这样进行下去,第三次操作完成后,瓶中盐水的浓度为()。
A、7%
B、7.12%
C、7.22%
D、7.29%
每次操作从100克盐水中倒出10克盐水,剩余90克,即剩余90%。
每次操作后溶液中剩余的溶质变为原来的90%,又都稀释到100克,浓度变为操作前的90%。
三次操作后浓度为10%×
((90%)的3次方)=7.29%,选择D。
甲容器中有浓度为4%的盐水250克,乙容器中有某种浓度的盐水若干克。
现从乙中取出750克盐水,放入甲容器中混合成浓度为8%的盐水。
问乙容器中的盐水浓度约是多少?
A、9.78%
B、10.14%
C、9.33%
D、11.27%
甲容器中盐水溶液中含盐量=250×
4%=10克;
混合后的盐水溶液的总重量=250+750=1000克;
混合后的盐水溶液中含盐量=1000×
8%=80克;
乙容器中盐水溶液中含盐量=80-10=70克;
乙容器中盐水溶液的浓度=(70/750)×
100%≈9.33%。
选择C。
19)预资问题(预算问题)----对预资问题的分析,我们会发现此类问题与比例问题是相通的。
按照比例问题的解法对预资问题同样适用。
20)跳井问题(爬绳问题)----关键要考虑最后一跳(或爬),即到哪个位置一次可跳出井(或爬到顶),用此位置需要跳(爬)的次数再加一次即可。
即跳出井或爬至绳顶所需次数为:
(井深或绳长-每次所跳或爬米数)/每次实际跳爬高度+1
21)集合问题及容斥原理
S(A+B)=S(A)+S(B)-S(AB)
S(
)=S(I)-S(A+B)
S(A+B+C)=S(A)+S(B)+S(C)-S(AB)-S(BC)-S(AC)+S(ABC)
其中S可看作集合中元素的个数或图形面积。
22)抽屉原理
原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。
假定一年有365天,则366人中至少有两个人的生日相同。
一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。
问最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的?
A、12
B、13
C、15
D、16
根据抽屉原理,当每次取出4张牌时,则至少可以保障每种花色一样一张,按此类推,当取出12张牌时,则至少可以保障每种花色一样三张,所以当抽取第13张牌时,无论是什么花色,都可以至少保障有4张牌是同一种花色,选B。
此题没有包含大小王,若包含则需要增加两张。
23)中国剩余定理(孙子定理、韩信点兵)
韩信点兵:
相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
《孙子算经》也有类似的问题:
今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝,
七子团圆正月半(15),除百零五(105)便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法:
第一句指除以3
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